6.1.3相等向量与共线向量课时练习-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

2022-2023学年度高一数学人教A版（2019）课时练习
6.1.3相等向量与共线向量
一、单选题
1．若为任一非零向量，的模为1，给出下列各式：①；②﹔③；④.其中正确的是（ ）
A．①④ B．③ C．①②③ D．②③
2．已知单位向量，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是（ ）
A．＝ B． C．＞ D．＜
4．设，，分别是的边，，上的点，且=2，，，则与之间的关系为（ ）
A．反向平行 B．同向平行
C．一定不平行 D．不能判断两个向量的关系
5．已知等边三角形中，是线段的中点，，垂足为是线段的中点，则
A． B．
C． D．
6．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在向量，，，，，，，，，，中，与共线的向量有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、多选题
7．下列叙述中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则与的方向相同或相反
C．若，，则
D．对任一非零向量，是一个单位向量
8．有下列说法，其中错误的说法为
A．若////，则//
B．若，，分别表示，的面积，则
C．两个非零向量，，若，则与共线且反向
D．若//，则存在唯一实数使得
三、填空题
9．“”是“//”的________条件．
10．给出以下5个条件：①；②；③与的方向相反；④或；⑤与都是单位向量.其中能使成立的是________(填序号).
11．如图，某人想要从点A出发绕阴影部分走一圈，他可按图中提供的向量行走，则将这些向量按顺序排列为________．
12．下列关于向量的命题，序号正确的是_____.
①零向量平行于任意向量；
②对于非零向量，若，则；
③对于非零向量，若，则；
④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合.
四、解答题
13．如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且，，．在以A，B，C，D，E，F，O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：
（1）与相等的向量有哪些？
（2）的相反向量有哪些？
（3）与共线的向量有哪些？
14．如图所示，点D，E，F分别是直角三角形三边的中点，分别写出图中与，相等的向量以及与的模相等的向量.
15．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
16．如图所示，平行四边形中，是两对角线，的交点，设点集，向量集合，试求集合中元素的个数.
参考答案：
1．B
【详解】对于①，的大小不能确定；对于②，两个非零向量的方向不确定；对于④，向量的模是一个非负实数，只有③正确．
2．C
【详解】对于A，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同，A错误；
对于B，向量，为单位向量，但向量， 不一定为相反向量，B错误；
对于C，向量，为单位向量，则，C正确；
对于D，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同或相反，即与不一定平行，D错误.
3．B
【详解】与是等腰梯形的两腰，则它们必不平行，但长度相同，故，
又向量不是实数，是不能比较大小的.
4．A
【解析】利用向量的线性运算，求得，由此判断出两者反向平行.
【详解】
5．C
【详解】∵是线段的中点，∴==；
∵是线段的中点，∴=；
又=；
令，
则-=（，
∴，，解得，，∴，
6．C
【详解】在向量，，，，，，，，，，中与共线的向量有：向量，，．故选C．
7．ABC
【详解】对于A，因为向量是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误；
对于B，零向量与任意向量平行，且零向量的方向是任意的，所以若，
则对于非零向量，必有，但与的方向不一定相同或相反，故B错误；
对于C，若，则零向量与任意向量平行，
所以对任意向量与，均有，，故此时与不一定平行，故C错误；
对于D，由单位向量的定义可得，对任一非零向量，其单位向量为，故D正确.
8．AD
【详解】A. 若////，则//，如果，都是非零向量，，显然满足已知条件，但是结论不一定成立，所以该选项是错误的；
B. 如图，D,E分别是AC,BC的中点，
，
所以则,所以该选项是正确的；
C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向，所以该选项是正确的；
D. 若//，如果是非零向量，，则不存在实数使得，所以该选项是错误的.
9．充分不必要
【详解】因为，所以的方向相同，所以；
由可得与的方向是相同或者相反，并且不清楚模的情况，所以推不出，
10．①③④
【详解】相等向量一定是共线向量，①能使；，不能确定方向，所以②不能确定，方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使；零向量与任一向量平行，④成立，单位向量的模相等，但方向不确定，所以⑤不能推出.
11．
【详解】若按的方向行走，由于相等向量的长度和方向相同，则与此个向量相等的向量依次为.
若按的方向行走，与图中提供的向量方向不同，不合题意.
所以正确的排列顺序为.
12．①③
【详解】因为零向量与任一向量平行，所以①正确；
对于非零向量，若，则和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，
故不一定等于，故②错误；
对于非零向量，若，则与是相等向量或相反向量，故，故③正确；
对于非零向量，若，则和是平行向量，也是共线向量，但与所在直线不一定重合.
13．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）与长度相同，方向相同的向量有：；
（2）与长度相同，方向相反的向量有：；
（3）与方向相同或相反的向量有：.
14．；；与的模相等的向量有，，，.
【详解】如图所示，点D，E，F分别是直角三角形三边的中点，所以，
根据中位线定理可知，，，
于是，；；
与的模相等的向量有，，，.
15．（1）5；（2）2.
【详解】解：由题可知，每个小方格都是单位正方形，
每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，
则，
（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，
则与相等的向量共有5个，如图1；
（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2.
16．12
【详解】由题可知，集合中的元素实质上是中任意两点连成的有向线段，共有20个，即，，。
由平行四边形的性质可知，共有对向量相等：即，，，，，，，，
因为集合元素具有互异性，所以集合中的元素共有12个。