6.2平面向量的运算同步练习-河南省杞县高中2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

第2节 平面向量的运算 同步练习
一、单选题（12题）
1．在矩形中，，则向量的长度等于（ ）
A．4 B． C．3 D．2
2．在四边形中，若，则（ ）
A．四边形是矩形 B．四边形是菱形
C．四边形是正方形 D．四边形是平行四边形
3．已知在边长为2的等边中，向量，满足，，则（ ）
A．2 B． C． D．3
4．下列各式中，一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（ ）
A． B． C． D．
6．在平行四边形ABCD中，等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知G是的重心，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
8．点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ）
A． B．3 C． D．
9．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A． B． C． D．
10．已知与是非零向量，且，则是与垂直的（ ）
A．充分不必要条件； B．必要不充分条件；
C．充要条件； D．既不充分也不必要条件．
11．对于非零向量与，下列不等式中恒成立的是（ ）
A．； B．； C．； D．．
12．设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题（4题）
13．已知向量，为单位向量，当向量、的夹角等于时，则向量在向量方向上的投影向量是________．
14．已知，，则的取值范围是________．
15．在中，D为AC边的中点，E为AB上一点，交于一点F，且，若，，则实数的值为________．
16．在中，，，，则________．
三、解答题（4题）
17．如图，按下列要求作答．
(1)以A为始点，作出；
(2)以B为始点，作出；
(3)若为单位向量，求、和．
18．化简下列各式：
(1)；
(2).
19．已知.其中与不共线且B，C，D三点共线，求的值.
20．已知非零向量，满足，，试求，的夹角．
参考答案：
1．A
【分析】根据向量的加法运算法化简，根据矩形的特征可求对角线的长度，进而可求模长.
【详解】在矩形中，由可得,又因为,故，故，
故选:A
2．D
【分析】根据平面向量加法的运算法则及向量相等的充要条件判断即可；
【详解】解：，，
，且，四边形是平行四边形．
故选：D．
3．C
【分析】由向量加法的平行四边形法则可知，只需求线段长度即可得出结论.
【详解】如图所示：
设点是的中点，
由题可知：
.
故选：C..
4．C
【分析】根据向量的加减法的几何意义进行判断即可。
【详解】解：当与的方向相同时，有，故A不正确；
当与的方向既不相同也不相反时，有，所以，故C正确；D不正确；
当与的方向相反时，有，若，则能成立，故B不正确.
故选：C.
5．A
【分析】根据向量的运算法则，准确化简，即可求解.
【详解】由向量的运算法则，可得
．
故选：A.
6．D
【分析】根据平面向量的加法和减法的运算法则即可得解.
【详解】解：.
故选：D.
7．D
【分析】利用向量的加法法则及重心的性质即可求解.
【详解】延长交于，则为的中点，，
，
故选：D
8．D
【分析】如图，延长交于点，设，则，根据平面向量共线定理得推理求出，从而可确定的位置，即可得出答案.
【详解】如图，延长交于点，
设，则，
因为共线，
所以，解得，
所以，，
则，
由，
得，即，
所以，
所以，
所以.
故选：D.
9．C
【分析】根据向量共线判断三点共线即可．
【详解】解：
，
又与过同一点B，
∴ A、B、D三点共线．
故选：C．
10．C
【分析】利用条件证明必要性和充分性即可.
【详解】因为与是非零向量，且，当时，
，
所以与垂直，故充分性成立，
若与垂直，
则
因为与是非零向量，且，
所以，
所以必要性成立，
故若与是非零向量，则是与垂直的充要条件，
故选：C.
11．B
【分析】由向量数量积公式，结合，可判断答案.
【详解】设非零向量与的夹角为，则，，
则
故选：
12．B
【分析】根据投影向量的定义结合已知求得，再由与垂直，得，结合数量积得运算律即可得解.
【详解】解：因为在方向上的投影向量为，
所以，
所以，
因为与垂直，
所以，
即，解得.
故选：B.
13．
【分析】根据投影向量的定义结合条件即得.
【详解】因为向量、的夹角等于，，为单位向量，
所以向量在向量上的投影向量是.
故答案为：.
14．
【分析】由向量模长的三角不等式可求得的取值范围.
【详解】由向量模长的三角不等式可得，当且仅当、的方向相同时，等号成立；
，当且仅当、的方向相反时，等号成立.
因此，的取值范围是.
故答案为：.
15．##0.5
【分析】根据向量的数乘运算和三角形重心的定义求解.
【详解】因为，所以为三角形的重心，所以为的中点，
所以，所以.
故答案为: .
16．
【分析】由题得，与的夹角为，结合平面向量数量积公式解决即可.
【详解】由题知，，，，
所以与的夹角为，
所以，
故答案为：.
17．(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)，，
【分析】（1）根据向量加法的平行四边形法则即可作出；（2）先将共线向量计算出结果再作出；（3）根据利用勾股定理即可计算出各向量的模长.
【详解】（1）将的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出，如下图所示：
（2）先将共线向量的起点同时平移到B点,计算出,再将向量与之首尾相接，利用三角形法则即可作出，如下图所示：
（3）由是单位向量可知，根据作出的向量利用勾股定理可知，
；
由共线向量的加法运算可知；
利用图示的向量和勾股定理可知，.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由向量的加法法则与减法法则求解即可；
（2）由向量的加法法则与减法法则求解即可；
（1）
；
（2）
19．.
【分析】利用平面向量的线性运算、共线的性质进行求解.
【详解】由B，C，D三点共线，得，
又，
所以，
，
所以，即，
所以，解得.
20．.
【分析】根据向量垂直的表示及向量数量积的运算律可得，，然后利用向量的夹角公式结合条件即得.
【详解】因为，，
所以，，
即，
所以，，，
所以，又，
所以，即，的夹角为．