6.2.1 向量的加法运算6.2.2 向量的减法运算同步练习- 2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

第六章 6.2.1 向量的加法运算 +6.2.2 向量的减法运算
1．下列说法：
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同；
②在△ABC中，必有＋＋＝0；
③若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；
④若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．
其中正确说法的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
2．已知正六边形ABCDEF，则＋－＝(　　)
A. B.
C. D.
3．已知向量a表示“向东航行3 km”，向量b表示“向南航行3 km”，则a＋b表示(　　)
A．向东南航行6 km
B．向东南航行3 km
C．向东北航行3 km
D．向东北航行6 km
4．下列三个结论：①若a＋b＝0，b＋c＝0，则a＝c；②＝的等价条件是点A与点C重合，点B与点D重合；③若a＋b＝0且b＝0，则－a＝0.其中正确的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．0
5．如图，在矩形ABCD中，＋＋＝(　　)
A. B.
C. D.
6．在平行四边形ABCD中，M为AB上任一点，则－＋＝(　　)
A. B. C. D.
7．P为四边形ABCD所在平面上一点，＋＋＋＝＋，则P为(　　)
A．四边形ABCD对角线交点
B．AC中点
C．BD中点
D．CD边上一点
8．在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则下列向量与＋不相等的是(　　)
A. B.＋
C.＋ D.＋
9．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝(　　)
A．0 B．3 C. D．2
10．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则(　　)
A．a，b同向
B．a，b反向
C．a＝－b
D．a，b无论什么关系均可
11．给出下列不等式或等式：
①||a|－|b||＜|a＋b|＜|a|＋|b|；
②||a|－|b||＝|a＋b|＝|a|＋|b|；
③||a|－|b||＝|a＋b|＜|a|＋|b|；
④||a|－|b||＜|a＋b|＝|a|＋|b|.
其中，一定不成立的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
12．已知向量|a|＝2，|b|＝4，且a，b不是方向相反的向量，则|a－b|的取值范围是(　　)
A．(2，6) B．[2，6)
C．(2，6] D．[2，6]
13．(多选)[河南洛阳2022高一联考]下列结果为零向量的是(　　)
A.＋(－)
B.－＋－
C.－＋
D.＋＋－
14．(多选)[广东佛山一中2022高一段考]下列各式中结果为零向量的有(　　)
A.＋－
B.＋＋＋
C.－＋－
D.＋－＋
在△ABC中，D是BC上一点，则＋－＝________.
16．设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值与最小值分别为________．
17．已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|＝________.
18．已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则＝________.
19．如图所示，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示下列各式：
(1)－；
(2)＋；
(3)－.
20．如图，已知D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，求证：＋＋＝0.
21．已知某人在静水中游泳的速度的大小为4 km/h，河水的流速的大小为4 km/h，现此人在河中游泳．
(1)如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度的大小为多少？
(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度的大小为多少？
答案及解析
1.【答案】B
【详解】①错误，若a＋b＝0，其方向是任意的；②正确；③错误，A，B，C三点共线时也可满足；④错误，|a＋b|≤|a|＋|b|.
2.【答案】B
【详解】如图，由正六边形的特征可知＝，＝，所以＋－＝＝，故选B.
3.【答案】B
【详解】
如图，设＝a，＝b，则OA＝OB＝3，OA⊥OB，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，由平行四边形法则可知＝a＋b.∵OA⊥OB，OA＝OB，∴平行四边形OACB是正方形，∴方向为东南方向．∵OA＝OB＝3，∴OC＝3 .故选B.
4.【答案】B
【详解】∵a＋b＝0，∴a，b互为相反向量．又b＋c＝0，∴b，c互为相反向量，故 a＝c，故①正确．当＝时，应有||＝||，且由点A到点B与由点C到点D的方向相同，但不一定有点A与点C重合，点B与点D重合，故②错误．若a＋b＝0且b＝0，则a＝0，－a＝0，故③正确．
5.【答案】B
【详解】在矩形ABCD中，＝，则＋＋＝＋＋＝＋＝.故选B.
6.【答案】B
【详解】－＋＝＋＋＝＋＝，在平行四边形ABCD中，＝，所以－＋＝.故选B.
7.【答案】B
【详解】∵＝＋，＝＋，∴＋＋＋＝＋＋＋，即－＝－，故2＝2，＋＝0，故P为AC中点．故选B.
8.【答案】A
【详解】如图，因为在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，
所以＝＝，＝＝.
因为＝＋＋，＝＋＋，所以2＝＋＋＋＋＋＝＋，所以A符合题意．
因为＝＋，＝＋，
所以＋＝＋＋＋＝＋，所以B不符合题意．
因为＝＋，＝＋，
所以＋＝＋＋＋＝＋，所以C不符合题意．
因为＋＝＋＋＋＝＋，所以D不符合题意．
故选A.
9.【答案】D
【详解】因为＋＝，所以|a＋b＋c|＝|2c|.因为|c|＝，所以|a＋b＋c|＝2 ，故选D.
10.【答案】A
【详解】当两个非零向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b的方向都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|；向量a与b同向时，a＋b的方向与a，b的方向都相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|；向量a与b反向且|a|<|b|时，a＋b的方向与b的方向相同(与a的方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|.故选A.
11.【答案】A
【详解】①当a与b不共线时成立；②当a＝b＝0或b＝0，a≠0或a＝0，b≠0时成立；③当两个非零向量a与b共线，方向相反时成立；④当两个非零向量a与b共线，且方向相同时成立．
12.【答案】B
【详解】由已知必有||a|－|b||≤|a－b|<|a|＋|b|，则所求的取值范围是[2，6)．故选B.
13.【答案】BCD
【详解】对于A，＋(－)＝＋(＋)＝＋＝≠0，故选项A不正确；
对于B，－＋－＝＋－＝－＝0，故选项B正确；
对于C，－＋＝＋＝0，故选项C正确；
对于D，＋＋－＝＋－＝－＝0，故选项D正确．
故选BCD.
14.【答案】AC
【详解】由向量的减法运算得，＋－＝－＝0，故结果为零向量；＋＋＋＝＋(＋＋)＝＋＝，结果不为零向量；－＋－＝＋＋＋＝(＋＋)＋＝＋＝0，故结果为零向量；＋－＋＝－＋＋＝，结果不为零向量．故选AC.
15.【答案】
【详解】由题意得＋－＝－＝.
16.【答案】20，4
【详解】当a，b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|＝8＋12＝20；当a，b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||＝4.当a，b不共线时，||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|，即4<|a＋b|<20，所以最大值为20，最小值为4.
17.【答案】4
【详解】如图所示，设＝a，＝b，则||＝|a－b|.
以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则||＝|a＋b|.由于(＋1)2＋(－1)2＝42，故||2＋||2＝||2，所以△OAB是直角三角形，∠AOB＝90°，从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形．根据矩形的对角线相等得||＝||＝4，即|a＋b|＝4.
18.【答案】
【详解】如图，设＝a，＝b，则＝＋＝a＋b，＝－＝a－b.∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴BA＝OA＝OB，∴△OAB为等边三角形．设其边长为1，则|a－b|＝||＝1，|a＋b|＝.∴＝
19.【答案】(1)－＝(－)－(－)＝d－a－b＋a＝d－b.
(2)＋＝(－)＋(－)＝b－a＋f－c.
(3)－＝(－)－(－)＝f－e－f＋c＝c－e.
20.【答案】【证明】∵D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，
∴EF∥AD，DE∥AF，
∴四边形ADEF为平行四边形，
由向量加法的平行四边形法则，得＋＝.①
同理，在平行四边形BEFD中，＋＝.②
在平行四边形CFDE中，＋＝.③
由①②③得＋＋＝＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝0.
21.【答案】(1)如图①，用表示河水的流速，表示该人在静水中游泳的速度．以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则为此人游泳的实际速度．
在Rt△OAC中，||＝4，||＝||＝4 ，所以||＝||2＋||2)＝8，
tan∠AOC＝＝，所以∠AOC＝60°.
故此人实际前进速度的大小为8 km/h，方向与水流方向的夹角为60°.
(2)如图②，用表示河水的流速，表示此人在静水中游泳的速度，以O′A′，O′B′为邻边作平行四边形O′A′C′B′，则表示此人实际游泳的速度．
所以有||＝||2－||2)＝4 ，所以tan∠B′O′C′＝＝，所以∠B′O′C′≈35.26°.
故此人实际前进速度的大小为4 km/h，此人应朝与水流方向成125.26°角的方向游．