6.4.3余弦定理、正弦定理同步练习-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

6.4.3.余弦定理、正弦定理
一、单选题
1．在相距4千米的A，B两点分别观测目标点C，如果，，那么A ，C两点间的距离是（ ）
A．千米 B．千米 C．千米 D．()千米
2．已知三角形ABC 的三个内角所对的边分别为.若，则该三角形的形状是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形
3．如图所示，为了测量山高，选择和另一座山的山顶作为测量基点，从点测得点的仰角，点的仰角，，从点测得，已知山高，则山高（单位：）为（ ）
A． B． C． D．
4．已知灯塔A在观察站B的正东方向，相距10千米，灯塔C在灯塔A的北偏西方向上，且灯塔C在观察站B的东偏北方向上，则灯塔A，C之间的距离是（ ）
A．千米 B．千米
C．千米 D．千米
5．三角形的三边所对的角为，，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．若三角形ABC面积为，则三角形ABC周长的最小值为12
C．当，时，
D．若，，则三角形ABC面积为
6．为了增强数学的应用性，强化学生的理解，某学校开展了一次户外探究.当地有一座山，高度为，同学们先在地面选择一点，在该点处测得这座山在西偏北21.7°方向，且山顶处的仰角为30°；然后从处向正西方向走700米后到达地面处，测得该山在西偏北81.7°方向，山顶处的仰角为60°.则山高为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．三角形ABC的内角的对边分别为，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则有两解
C．若三角形ABC为钝角三角形，则
D．若三角形为斜三角形，则
8．某人在湖面之上5米处测得空中一气球的仰角为，而湖中气球倒影的俯角为，若不考虑水的折射，则气球离水面的高度（单位：米）为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在三角形ABC中，角所对的边分别为，已知，则下列判断中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则该三角形有两解
C．三角形ABC周长有最大值12 D．三角形ABC面积有最小值
10. 如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里．当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面正确的是（ ）
A．乙船的行驶速度与甲船相同 B．乙船的行驶速度是海里/小时
C．甲乙两船相遇时，甲行驶了小时 D．甲乙两船不可能相遇
11．在锐角三角形中，分别是角的对边，已知，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．在锐角三角形ABC中，b=1，c=2，则a的取值不可能是（ ）
A． B．2 C． D．3
三、填空题
13．已知三角形中，，D是边上一点，且满足，则的最大值是__________．
14．2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强、视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目.如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处C点的高度，小王在场馆内的A、B两点测得C的仰角分别为、，，且，则大跳台最高高度______.
15．宝塔山是延安的标志，是革命圣地的象征，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，在宝塔山的山坡A处测得，从A处沿山坡直线往上前进到达B处，在山坡B处测得，，则宝塔CD的高约为_________m.（，，结果取整数）
16．圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的必到景点，其集圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为米，在它们之间的地面上的点M（B、M、D三点共线）处测得楼顶A和教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为______米.
四、解答题
17．在三角形ABC 中，角的对边分别为，．
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围．
18．已知锐角三角形ABC 内角的对边分别为.若.
(1)求；
(2)若，求的范围.
参考答案：
1．C
【分析】利用正弦定理列方程，解方程求得的长度．
【详解】在中，，，
所以，
由正弦定理得，即千米．
故选：C．
2．B
【分析】利用正弦定理和余弦定理化角为边可得答案.
【详解】因为，由正弦定理可得，
因为，所以，整理可得.
故选：B.
3．C
【分析】分析出三角形ABC为等腰直角三角形，求出的长，在中，利用正弦定理可求得的长，然后在中可求得的长，即为所求.
【详解】在中，，因为，则为等腰直角三角形，
故，
在中，，，则，
由正弦定理可得，，
在中，，又因为，则.
故选：C.
4．A
【分析】利用正弦定理即得.
【详解】如图，由题可知在中，千米，，，
由正弦定理可得，
所以(千米).
故选：A.
5．C
【分析】对于A，根据正弦定理和余弦定理可求出；对于B，由面积为，求出，由余弦定理得到，再根据基本不等式可求出周长的最小值；对于C，由余弦定理可求出结果；对于D，由正弦定理求出，再根据三角形的面积公式可求出结果.
【详解】对于A，由，得，
得，
由正弦定理得，
所以，
因为，所以，故A说法正确；
对于B，因为三角形ABC面积为，所以，所以，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，
故三角形ABC的周长的最小值为.故B说法正确；
对于C，当，时，由余弦定理得，
所以，得，
解得或（舍），故C说法不正确；
对于D，若，，由正弦定理得，
得，
所以三角形ABC面积为，
因为，
所以面积为.故D说法正确.
故选：C
6．C
【分析】设山高为h米,利用仰角的正切表示出AO、BO,在△AOB中利用余弦定理列方程,求得h的值.
【详解】设山的高度为h,在Rt△中, ,所以.
在Rt△中, ，所以.
在△中,.
由余弦定理得：，
即，
解得：.
即山OT的高度为 (米)
故选：C
7．C
【分析】由大角对大边及正弦定理判断A；由，可得有两解，从而判断B；由余弦定理判断C；由三角形的内角和公式、两角和和正切公式及诱导公式判断D.
【详解】对于A选项，若，则，由正弦定理可得，
所以，，故A选项正确；
对于B选项，，则，如图：
所以三角形ABC有两解，B选项正确；
对于C选项，若为钝角三角形且为钝角，则，可得，C选项错误；
对于D，因为，
所以
因为，
所以，
所以，所以D正确.
故选：C.
8．C
【分析】结合题意作出示意图，利用直角三角形中正切函数的定义得到关于气球离水面的高度的方程，解之即可.
【详解】结合题意作出示意图，易知点与点关于湖面对称，则，，
故，
在直角三角形ABC中，，即，在中，，，
故，即，故，
所以气球离水面的高度为.
故选：C.
.
9．ABC
【分析】对于ABC，根据正，余弦定理，基本不等式，即可解决；对于D，由正弦定理得，根据三角恒等变换解决即可.
【详解】对于A，，，由正弦定理得
所以，故A正确；
对于B，由正弦定理得得，所以，
因为有两个解，
所以该三角形有两解，故B正确；
对于C，由，得
，
所以，当且仅当时取等号，此时三角形周长最大为等边三角形，周长为12，故C对；
对于D，由得,
故
由于，
无最小值，
所以三角形ABC面积无最小值，有最大值为，故D错误.
故选：ABC
10．AD
【分析】连接，求出，再用余弦定理求出，计算乙船速度判断A，B；延长与延长线交于O，计算甲乙到达点O的时间判断C，D作答.
【详解】如图，连接，依题意，（海里），而海里，，
则是正三角形，，海里，在中，，海里，
由余弦定理得：，且有，
所以乙船的行驶速度是海里/小时，A正确，B不正确；
延长与延长线交于O，显然有，即，海里，海里，海里，
甲船从出发到点O用时（小时），乙船从出发到点O用时（小时），，即甲船先到达点O，
所以，甲乙两船不可能相遇，C不正确，D正确.
故选：AD
【点睛】关键点睛：解三角形应用问题，根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型是解题的关键．
11．AB
【分析】利用正弦定理与余弦定理化简等式，即可求出，结合为锐角三角形，即可得出，，利用正弦定理易知，结合由此即可求出的取值范围.
【详解】由正弦定理及已知可得，
由余弦定理可得，
因为，所以，
所以．
故
．
因为，，所以，
所以
所以，所以．
因为，，所以．
故选：AB．
12．ACD
【分析】结合余弦定理求得三角形为锐角三角形时的取值范围后可得结论．
【详解】由余弦定理，当为锐角时，，则，反之也成立．
因此由是锐角三角形，
得，解得．
故选：ACD．
13．
【分析】根据题意，得到，则有，再由余弦的定理，得到，进而得到，利用判别式法或者换元法，进行化简和计算，可得答案.
【详解】
∵，．
由余弦定理得，则，
方法一：判别式法：令，有解，
，解得
．∴
方法二：换元法．
令
上式
令，则有，
，∴
故答案为：
14．60
【分析】根据题意，分别得出，.然后在，根据余弦定理，即可求出的值.
【详解】由已知可得，，，.
则在中，，所以.
同理可得，.
在中，有，，，，
根据余弦定理可得，，
即，解得（舍去负值）.
所以，.
故答案为：60.
15．44
【分析】根据题意可得为等腰三角形，即可得，然后在中利用正弦定理可求得结果.
【详解】因为，，，
所以，
所以，所以，
因为，
所以，
，
在中，由正弦定理得，
，
所以
所以，
故答案为：44.
16．
【分析】根据已知条件，结合几何图形的特点，利用正余弦定理解三角形即可.
【详解】根据题意可得：，
在三角形中，，故可得，
在三角形中，由正弦定理可得：，即，解得，
在三角形中，，故可得.
即索菲亚教堂的高度为.
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）中，由正弦定理边角互化得，再根据余弦定理求解即可；
（2）三角形ABC 中，利用正弦定理得，，再结合三角恒等变换，即可求得的取值范围．
【详解】（1）解：因为在中，，
所以，由正弦定理边角互化得：，整理得：；
所以，由余弦定理可得：，
因为，所以
（2）解：在三角形ABC中，由正弦定理得，，
所以，，
所以；
因为，所以，
所以，
所以，即b＋c的取值范围是.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将化为有关边长的条件，再利用余弦定理可得答案；
（2）利用正弦定理得到，则.
后利用结合A的范围可得答案.
【详解】（1）由正弦定理，
又，得；
（2）因为，
所以，
，因为三角形为锐角三角形，
所以，解得，
令，所以，
所以.