平面向量的概念专项练习
一、单选题
1．下列物理量中哪个是向量( )
A．质量 B．功 C．温度 D．力
【答案】D
【解析】质量、功、温度只有大小没有方向不是向量，故ABC错误，
力既有大小又有方向，是向量，故D正确，故选：D．
2．下列说法错误的是( )
A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等
C．的长度为0，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移动
【答案】B
【解析】因为，所以和互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确；
单位向量长度都为，但方向不确定，故B选项错误；
根据零向量的概念，易知C选项正确；
向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确；
3．下列命题中，正确的是( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【解析】若，但是两个向量的方向未必相同，所以不一定成立，A不正确;
若，则两向量的方向相同，模长相等，则，B正确;
向量不能比较大小，C不正确;
若，则，D，不正确. 故选:B.
4．下列说法：
①零向量是没有方向的向量；②零向量的方向是任意的；③零向量与任意一个向量共线.
其中，正确说法的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】由零向量定义及性质知：其方向任意，且与任意向量共线，
故①错误，②③正确；故选：C
5．下列命题中正确的是( )
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量
C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
【答案】A
【解析】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确；
两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误；
两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，
终点未必相同，故C错误；
与是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误.故选：A
6．有下列命题：
①若，则；
②若，则四边形是平行四边形；
③若，，则；
④若，，则.
其中，假命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据平面向量的概念及向量平行的相关知识逐个判断即可.
【解析】，则的方向不确定，则不一定相等， ①错误;
若，则的方向不一定相同，
所以四边形不一定是平行四边形，②错误;
若，，则，③正确；
若，，则时，不一定成立，所以④错误.
综上，假命题的是①②④，共3个. 故选:C.
7．如图是的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与 平行且模为的向量共有( )
A．12个 B．18个 C．24个 D．36个
【答案】C
【分析】利用共线向量、模的计算公式、正方形的对角线即可得出.
【解析】由题意知，每个小正方形的对角线与平行且模为的所在的向量，
的格点图中包含12个小正方形，
所以有12条对角线，与平行的向量包含方向相同和相反，
所有共有24个向量满足.故选：C.
二、多选题
8．如图，在中，分别是的中点，则( )
A．与共线 B．与共线
C．与共线 D．与共线
【答案】BD
【分析】根据向量共线概念即可求解结果．
【详解】对于A，因为与不平行，且不在同一条直线上，所以与不共线，A错；
对于B，因为D，E分别是AB，AC的中点，则与平行，故与共线，B正确；
对于C，因为与不平行，且不在同一条直线上，所以与不共线，C错；
对于D，因为D是AB的中点，所以，所以与不共线，D正确．故选：BD
9．下面的命题正确的有( )
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若，满足且与同向，则
D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”
【答案】AD
【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.
【详解】对于A，由相反向量的概念可知A正确；
对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；
对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；
对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，
可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；
若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，
此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.故选：AD.
10．下列叙述中错误的是( )
A．若，则
B．若，则与的方向相同或相反
C．若，，则
D．对任一非零向量，是一个单位向量
【答案】ABC
【分析】根据向量不能比较大小可判断A；根据共线向量的定义可判断B；当时可判断C；根据单位向量的定义可判断D，进而可得答案.
【详解】对于A，因为向量是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误；
对于B，零向量与任意向量平行，且零向量的方向是任意的，所以若，
则对于非零向量，必有，但与的方向不一定相同或相反，故B错误；
对于C，若，则零向量与任意向量平行，
所以对任意向量与，均有，，故此时与不一定平行，故C错误；
对于D，由单位向量的定义可得，对任一非零向量，其单位向量为，故D正确. 故选：ABC.
三、填空题
11．如图，在的矩形中，起点和终点都在小方格顶点，且模与的模相等的向量(除本身)共有_____________个.
【答案】39
【解析】图中占图的矩形，在整个的矩形中共能数出10个这么大的矩形，
则这些矩形的对角线共有个，向量有方向，每一条对角线有两个方向，
则模与的模相等的向量有个。
则模与的模相等的向量(除本身)共有个.
12．在四边形ABCD中，，，则四边形ABCD是
【答案】梯形
【解析】∵，∴，
又，∴四边形ABCD是梯形
四、解答题
13．在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．
(1)，点A在点O北偏西45°方向；
(2)，点B在点O正南方向．
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.
【解析】(1)∵，点A在点O北偏西45°方向，
∴以O为圆心，3为半径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为A点：
(2)∵，点B在点O正南方向，
∴以O为圆心，图中OQ为半径化圆，圆弧与OR的交点即为B点：
14．已知飞机从A地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．
【答案】答案见解析.
【解析】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系．
由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限，
向量如图所示，
由已知可得，
为正三角形，所以．
又，，
所以为等腰直角三角形(中线、高线合一用全等推等腰)，
所以，．
故向量的模为，方向为东南方向．平面向量的概念专项练习
一、单选题
1．下列物理量中哪个是向量( )
A．质量 B．功 C．温度 D．力
2．下列说法错误的是( )
A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等
C．的长度为0，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移动
3．下列命题中，正确的是( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．下列说法：
①零向量是没有方向的向量；②零向量的方向是任意的；③零向量与任意一个向量共线.
其中，正确说法的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
5．下列命题中正确的是( )
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量
C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
6．有下列命题：
①若，则；
②若，则四边形是平行四边形；
③若，，则；
④若，，则.
其中，假命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图是的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与 平行且模为的向量共有( )
A．12个 B．18个 C．24个 D．36个
二、多选题
8．如图，在中，分别是的中点，则( )
A．与共线 B．与共线
C．与共线 D．与共线
9．下面的命题正确的有( )
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若，满足且与同向，则
D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”
10．下列叙述中错误的是( )
A．若，则
B．若，则与的方向相同或相反
C．若，，则
D．对任一非零向量，是一个单位向量
三、填空题
11．如图，在的矩形中，起点和终点都在小方格顶点，且模与的模相等的向量(除本身)共有_____________个.
12．在四边形ABCD中，，，则四边形ABCD是
四、解答题
13．在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．
(1)，点A在点O北偏西45°方向；
(2)，点B在点O正南方向．
14．已知飞机从A地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．
