6.2平面向量的运算跟踪练习（答案）
选择题
1、已知a，b为两个非零向量，则下列说法中不正确的是( D )
A．2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍
B．－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的
C．－2a与2a是一对相反向量
D．a－b与－(b－a)是一对相反向量
2、已知向量a与b不共线，＝a＋mb，＝n a＋b(m，n∈R)，则与共线的条件是( D )
A．m＋n＝0 B．m－n＝0
C．mn＋1＝0 D．mn－1＝0
3、若D为△ABC的边AB的中点，则＝( A )
A．2－ B．2－
C．2＋ D．2＋
4、如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝( D )
A．0 B．
C． D．
5、在△ABC中，下列命题正确的是( B )
A．－＝
B．＋＋＝0
C．若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等边三角形
D．若·＞0，则△ABC为锐角三角形
6、我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若＝a，＝b，＝3，则＝( B )
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
7、在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝( A )
A．a＋b B．a＋b
C．a－b D．a－b
8、如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，点E为线段CD上靠近C的三等分点，点F为线段BC的中点，则＝( A )
A．－＋ B．－＋
C．－＋ D．－＋
9、(多选)下列说法正确的是( ABC )
A.非零向量a与b同向是a＝b的必要不充分条件
B.若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上
C.a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向
D.设λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
10、(多选)如图所示，在△ABC中，D是AB的中点，下列关于向量表示正确的是( AD )
A.＝＋
B.＝＋
C.＝＋
D.＝＋
11、(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( ACD )
A.若＝＋，则点M是边BC的中点
B.若＝2－，则点M在边BC的延长线上
C.若＝－－，则点M是△ABC的重心
D.若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
12、(多选)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离之半.这个定理就是著名的欧拉线定理.设△ABC中，点O，H，G分别是其外心、垂心、重心，则下列四个选项中结论正确的是( AB )
A.＝2
B.＋＋＝0
C.设BC边的中点为D，则有＝3
D.＝＝
二、填空题
13、已知D为△ABC的边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为____－2____．
14、在△ABC中，若＝2，＝＋λ，则λ＝________．
15、如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
16、如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于点K，其中＝，＝，＝λ，则λ＝________．
17、经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n(m，n∈R)，则＋＝____3____．
18、已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.其中正确命题有___②③④_____.
三、解答题
19、如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设＝a，＝b.
(1)试用a，b表示，，；
(2)证明：B，E，F三点共线.
(1)解 在△ABC中，因为＝a，＝b，
所以＝－＝b－a，
＝＋＝＋
＝a＋(b－a)＝a＋b，
＝＋＝－＋＝－a＋b.
(2)证明 因为＝－a＋b，
＝＋＝－＋
＝－a＋＝－a＋b
＝，
所以＝，与共线，
且有公共点B，
所以B，E，F三点共线.
20、已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠0，且λ≠1).
(1)求证：A，B，M三点共线；
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．
【解】 (1)证明：因为＝λ＋(1－λ)，
所以＝λ＋－λ，
－＝λ－λ，
所以＝λ(λ∈R，λ≠0，且λ≠1).
又与有公共点A，
所以A，B，M三点共线．
(2)由(1)知，＝λ，
若点B在线段AM上，则与同向，且λ≠0，λ≠1，所以||>||>0，所以λ>1.故实数λ的取值范围为(1，＋∞).
21、 设两向量a与b不共线.
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b).求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.
(1)证明 ∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b).
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.
∴，共线，又它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线.
(2)解 ∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，
使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的两个向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
22、经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R＋.
(1)证明：＋为定值；
(2)求m＋n的最小值.
(1)证明 设＝a，＝b.
由题意知＝×(＋)
＝(a＋b)，
＝－＝nb－ma，
＝－＝a＋b，
由P，G，Q三点共线得，
存在实数λ，使得＝λ，
即nb－ma＝λa＋λb，
从而
消去λ得＋＝3.
(2)解 由(1)知，＋＝3，
于是m＋n＝(m＋n)
＝≥(2＋2)＝.
当且仅当m＝n＝时，m＋n取得最小值，最小值为.6.2平面向量的运算跟踪练习
选择题
1、已知a，b为两个非零向量，则下列说法中不正确的是( )
A．2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍
B．－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的
C．－2a与2a是一对相反向量
D．a－b与－(b－a)是一对相反向量
2、已知向量a与b不共线，＝a＋mb，＝n a＋b(m，n∈R)，则与共线的条件是( )
A．m＋n＝0 B．m－n＝0
C．mn＋1＝0 D．mn－1＝0
3、若D为△ABC的边AB的中点，则＝( )
A．2－ B．2－
C．2＋ D．2＋
4、如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
A．0 B．
C． D．
5、在△ABC中，下列命题正确的是( )
A．－＝
B．＋＋＝0
C．若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等边三角形
D．若·＞0，则△ABC为锐角三角形
6、我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若＝a，＝b，＝3，则＝( )
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
7、在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝( )
A．a＋b B．a＋b
C．a－b D．a－b
8、如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，点E为线段CD上靠近C的三等分点，点F为线段BC的中点，则＝( )
A．－＋ B．－＋
C．－＋ D．－＋
9、(多选)下列说法正确的是( )
A.非零向量a与b同向是a＝b的必要不充分条件
B.若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上
C.a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向
D.设λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
10、(多选)如图所示，在△ABC中，D是AB的中点，下列关于向量表示正确的是( )
A.＝＋
B.＝＋
C.＝＋
D.＝＋
11、(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A.若＝＋，则点M是边BC的中点
B.若＝2－，则点M在边BC的延长线上
C.若＝－－，则点M是△ABC的重心
D.若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
12、(多选)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离之半.这个定理就是著名的欧拉线定理.设△ABC中，点O，H，G分别是其外心、垂心、重心，则下列四个选项中结论正确的是( )
A.＝2
B.＋＋＝0
C.设BC边的中点为D，则有＝3
D.＝＝
二、填空题
13、已知D为△ABC的边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为________．
14、在△ABC中，若＝2，＝＋λ，则λ＝________．
15、如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
16、如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于点K，其中＝，＝，＝λ，则λ＝________．
17、经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n(m，n∈R)，则＋＝________．
18、已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.其中正确命题有________.
三、解答题
19、如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设＝a，＝b.
(1)试用a，b表示，，；
(2)证明：B，E，F三点共线.
20、已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠0，且λ≠1).
(1)求证：A，B，M三点共线；
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．
21、 设两向量a与b不共线.
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b).求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.
22、经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R＋.
(1)证明：＋为定值；
(2)求m＋n的最小值.
