2018-2022年宁夏高考数学立体几何试题（全国乙卷理科)（含解析）

18-22年宁夏高考立体几何
1. (18第9题)在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
2. (19第7题) 设，为两个平面，则的充要条件是( )
A. 内有无数条直线与平行 B. 内有两条相交直线与平行
C. ，平行于同一条直线 D. ，垂直于同一平面
3. (20第7题)右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个断点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为
( )
A. B. C. D.
4. (20第10题) 已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的表面上，若球的表面积为，则球心到平面的距离为( )
A. B. C. D.
5. (21第5题) 在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为( )
A. B. C. D.
6. (22第7题) 在正方体中，，分别为，的中点，则( )
A. 平面平面 B. 平面平面
C. 平面平面 D. 平面平面
7. (22第9题) 已知球的半径为，四棱锥的顶点为，底面的四个顶点均在球的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )
A. B. C. D.
8. (18第16题) 已知圆锥的顶点为，母线、所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为 ．
9. (19第16题) 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”图半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图是一个棱数为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为则该半正多面体共有 个面，其棱长为 ．
10. (20第16题)设有下列四个命题：
：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
过空间中任意三点有且仅有一个平面．
若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
若直线平面，直线平面，则．
则下述命题中所有真命题的序号是________．
．
11. (22第16题) 以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______ 写出符合要求的一组答案即可．
12. 本小题分
如图，在三棱锥中，，，为的中点．
证明：平面；
若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
13. 本小题分
如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，．
证明：平面；
若，求二面角的正弦值．
14. 本小题分
如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，，分别为，的中点，为上一点，过和的平面交于，交于．
证明：，且平面；
设为的中心，若，且，求直线与平面所成角的正弦值．
15. 本小题分
如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为中点，且．
求；
求二面角的正弦值．
16. 本小题分
如图，四面体中，，，为中点．
证明：平面平面
设，，点在上，当的面积最小时，求与平面所成角的正弦值．
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，属于基础题．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出异面直线与所成角的余弦值．
【解答】
解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
在长方体中，，，
，，，，
，，
设异面直线与所成角为，
则，
异面直线与所成角的余弦值为．
故选C．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基础题．
由充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论．
【解答】
解：对于，内有无数条直线与平行，与相交或；
对于，内有两条相交直线与平行，则；
对于，，平行于同一条直线，与相交或；
对于，，垂直于同一平面，与相交或．
故选B．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题三视图，考查空间想象能力，属基础题．
由三视图，通过还原几何体，观察可知对应点．
【解答】
解：该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选A．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查球的表面积，点到平面的距离，属于中档题．
根据正三角形是面积为得到的外接圆半径，根据球的表面积为得到球的半径，利用勾股定理即可得到答案．
【解答】
解：设的外接圆圆心为，
设，圆的半径为，球的半径为，
的边长为，则，
可得，于是，
由题意知，球的表面积为，
则，由，求得，
即到平面的距离为．
故选C．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力．
由，得是直线与所成的角或所成角的补角，由此利用余弦定理，求出直线与所成的角．
【解答】
解：，
是直线与所成的角或所成角的补角，
设正方体的棱长为，
则，，，
，
，
直线与所成的角为．
故选：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了面面垂直的判断，面面垂直的性质，属于中档题．
【解答】
解：对于选项：在正方体中，因为分别为，的中点，易知
，从而平面，又因为平面，所以平面平面，
所以选项正确
对于选项：因为平面平面，由上述过程易知平面平面
不成立
对于选项的直线与直线必相交，故平面面有公共
点，从而的错误
对于选项：连接，，，易知平面平面，
又因为平面与平面有公共点，故平面与平面
不平行，所以选项错误．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆锥体积，最值计算．
【解答】
解：考虑与四棱锥的底面形状无关，不失一般性，假设底面是
边长为的正方形，底面所在圆面的半径为，则，
所以该四棱锥的高，所以体积
，设，
，，当，，单调递增，
当，，单调递减，所以当时，取最大，此时，

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆锥的结构特征和侧面积、三角形面积公式、直线与平面所成的角，属于中档题．
利用已知条件结合同角三角函数基本关系求出的值，根据三角形面积公式求出圆锥的母线长，利用母线与平面所成角求出底面半径，即可求出圆锥的侧面积．
【解答】
解：因为圆锥的母线、所成角的余弦值为，，
所以．
所以的面积为，
所以，
所以，所以．
因为与圆锥底面所成角为，
所以圆锥的底面半径，
所以该圆锥的侧面积为
故答案为：

9.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查了几何体的内接多面体，属中档题．
中间层是一个正八棱柱，有个侧面，上层是有个面，下层也有个面，故共有个面；中间层正八棱柱的棱长加上两个棱长的倍等于正方体的棱长．
【解答】
解：该半正多面体中间层是一个正八棱柱，有个侧面，
故该半正多面体共有个面；
设其棱长为，因为每个顶点都在棱长为的正方体上，
则，解得．
故答案为；．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查含逻辑联结词的命题真假的判断以及立体几何相关知识，属于中档题．
根据空间直线与直线、直线与平面的位置关系逐个判断四个命题的真假，再根据复合命题的真假规则判定真假即可．
【解答】
解：对于：可设与，所得平面为
若与相交，则交点必在平面内
同理与的交点在平面内，故直线在平面内，即在平面内，故为真命题．
对于过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数个平面，故为假命题．
对于空间中两条直线不相交，还有可能异面，故为假命题．
对于若，则垂直于平面内的所有直线，故，故为真命题．
综上可知，为真命题，为真命题，为真命题．
故答案为．
11.【答案】或
【解析】
【分析】
该题考查了三棱锥的三视图，需要学生掌握三视图中各个图形边长的等量关系，以及对于三视图中特殊线条能够还原到原立体图形中，需要较强空间想象，属于中等题．
通过观察已知条件正视图，确定该正视图的长和高，结合长、高、以及侧视图视图中的实线、虚线来确定俯视图图形．
【解答】
解：观察正视图，推出正视图的长为和高，图形的高也为，即可能为该三棱锥的侧视图，
图形的长为，即可能为该三棱锥的俯视图，
当为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为，
当为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为．
故答案为：或．
12.【答案】解：证明：连接，
，是的中点，
，且，
又，
，，
则，
则，
，平面，平面，
平面；
解：建立以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系如图：
，，，，
，
设，，
则，
则平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，
则
令，则，，
即，
二面角为，
，
即，
解得或舍，
则平面的法向量，
，
与平面所成角的正弦值，．
【解析】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的应用以及二面角，线面角的求解，建立坐标系求出点的坐标，利用向量法是解决本题的关键，属于较难题．
由已知条件可证明，，再利用线面垂直的判定定理即可；
根据可建立空间直角坐标系，标出点的坐标，根据二面角的大小求出平面的法向量，利用向量法求线面角即可．
13.【答案】证明：长方体中，平面，平面，
，
，，平面
平面
解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
平面，平面，
，又，
，
则，，，，，
平面，平面，
，
，且，平面，
平面，
故取平面的法向量为，
设平面 的法向量，
由，得
取，得，，，
，
二面角的正弦值为．
【解析】本题主要考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
推导出，，由此能证明平面
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值．
14.【答案】证明：、分别为，的中点，侧面是矩形，
四边形为矩形，
，又，
底面为正三角形，为的中点
，又，，，
，又
．
连接，
三棱柱上下底面平行，平面与上下底面分别交于，
，
平面，，
，
又，
四边形为平行四边形
由知直线在平面内的投影为
直线与平面所成的角即为与所成的角
为正三角形的中心，，
令，则，，
则 ，故在中，．
过作，交于，则在等腰梯形中，，，
在中，．
直线与平面所成的角的正弦值为．

【解析】本题主要考查直线与平面平行与垂直的证明、直线与平面所成的角，属于拔高题．
根据平行公理可证，由面面垂直的判定定理可证平面平面；
由题可得直线在平面内的投影为，则直线与平面所成的角即为与所成的角，在梯形中计算与所成的角，可得直线与平面所成的角的正弦值。
15.【答案】解：连结，
因为底面，且平面，
则，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，则，
所以，
又，
则有，
所以∽，
则，所以，解得；
因为，，两两垂直，故以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，故，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，故，
所以，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的正弦值为．
【解析】本题考查了空间中线段长度求解以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
连结，利用线面垂直的性质定理证明，从而可以证明平面，得到，证明∽，即可得到的长度；
建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后求出平面的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可．
16.【答案】解：，且为公共边与全等，．
又为中点且，，同理．
又，且均含于平面，平面．
又平面，平面平面．
在中，，，，．
在中，，，，，为中点，，．
又，，即．
直线、直线、直线两两互相垂直．
由点在上且与全等，，
由于为中点
当的面积最小时
在中，，，
如图，以点为坐标原点，直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系．
、、、、
、、
设平面的法向量为
可得设
设与所成的角为，与平面所成角的为
所以与平面所成角的正弦值为．

【解析】本题考查面面垂直的判定，及线面角的求解，属于中档题．