2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册6.2.4向量的数量积(二) 课件（15张PPT）

6.2.4 向量的数量积
(二)
复习导入
向量a与b的数量积的含义是什么？向量的数量积具有哪些运算性质？
a·b=|a||b|cosθ，其中θ为向量a与b的夹角
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1) a·e= e·a =|a|cosθ．
(2)a⊥b? a·b=0．（直线垂直的条件）
(3)当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|．特别地，a·a=|a|2或|a|= .（长度）
(4)|a·b|≤|a||b|．（由|cosθ|≤1得到）
（a向量在b向量上的投影向量）
新知探究
与向量的线性运算一样，定义了向量的数量积后，就要研究一下数量积运算是否满足一些运算律．
思考：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？
大胆猜想小心求证
新知探究
大胆猜想小心求证
　　证明：如图，任取一点O，作 =a，
=b， =c， =a+b．设a，b，a+b与c的夹角分别为?1，?2，?，它们在c上的投影分别为 ， ， ，与c方向相同的单位向量为e，则 =|a|cos?1 e， =|b| cos?2 e， =|a+b|cosθ e．
因为a= ，所以 ，
则 .
文字语言：向量a+b在向量c上的投影向量等于向量a，b在向量c上的投影的和。
（动手画图，自行证明）
新知探究
向量夹角为钝角
向量夹角为直角
新知探究
数量积运算律
（交换律）
（数乘结合律）
（分配律）
新知探究
问题
所得结果为一个与 共线的向量；
所得结果为一个与 共线的向量；
与 不一定共线，故结论不一定成立。
新知巩固
例1 我们知道，对任意a，b∈R，恒有
　　(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)(a-b)=a2-b2．
对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？
（1）(a+b)2=a2+2a·b+b2；
（2）(a+b)·(a-b)=a2-b2．
（1）(a+b)2
=(a+b)·(a+b)
=a·a+a·b+b·a+b·b
=a2+2a·b+b2；
（2）(a+b)·(a-b)
=a·a-a·b+b·a-b·b
=a2-b2．
解：
新知巩固
例2 已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为60?，求(a+2b)·(a-3b)．
解：(a+2b)·(a-3b)
　 =a·a-3a·b+2b·a-6b·b
=|a|2-a·b-6|b|2
=|a|2-|a||b|cos?-6|b|2
=62-6×4×cos60?-6×42
=-72．
新知巩固
例3 已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线．当k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直？
解：a+kb与a-kb互相垂直的充要条件是
(a+kb)·(a-kb)=0，
即a2-k2b2=0．
因为 a2=32=9，b2=42=16，所以 9-16k2=0．
因此 k= ．
也就是说，当k= 时，a+kb与a-kb互相垂直．
课堂练习
1. 已知|????|=1, |????|=2, |????|=3, 向量????与????的夹角为???????? ,向量????与????的夹角为???????? , 计算：
?
(1) (????·????)???? ; (2) ????(????·????) .
?
2. 已知|????|=????, |????|=1, 且?????????与????+????????互相垂直, 求证????⊥????.
?
课堂练习
12
课堂练习
13
梳理总结
这一节课我们学习了哪些知识？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}运算律
实数乘法
向量数量积
交换律
????????=????????
?????????=?????????
分配律
(????+????)????=????????+????????
(????+????)?????=?????????+?????????
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}多项式乘法
向量数量积
(????+????)2=????2+2????????+????2
(????+????)????=????????+?????????????+????????
(?????????)2=????2?2????????+????2
(?????????)????=????????????????????+????????
(????+????)(?????????)=????2?????2
(????+????)(?????????)=?????????????????
平面向量数量积的运算律
平面向量数量积的运算性质
再 见