2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.4数学归纳法 课件（17张PPT）

第四章
数列
4.4
数学归纳法
学习目标
1.了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明一些简单的命题.
新课探究
【探究】已知数列{an}满足a1=1，????????+??=?????????????????(n∈N*)，
证明????????=????(n∈N*) ①
?
【证明】：(1)当????=1时，由已知，????????=1，①式成立
(2)当????≥2时，假设????=????(????∈?????)，①式成立，即
????????=1
根据递推公式????????+1=12?????????(n∈N*)，有
????????+1=12?????????=12?1=1
即当????=????+1(????∈?????)时，①式也成立
由(1)、(2)可知，①式对任意n∈N*都成立
?
方法总结
由此发现一个证明与正整数n有关的命题方法，可按照如下两个步骤进行：
（1）证明????=????0(????0∈?????)时，命题成立
（2）假设????=????(????≥????0，????∈?????)时命题成立，
证明????=????+1(????∈?????)时，命题也成立。
综上得，命题对任意n∈N*都成立
?
新课引入
1.数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当 时命题成立；
(2)(归纳递推)以当“ (k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当 时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.
n＝k
n＝k＋1
n＝n0(n0∈N*)
n0
新课引入
2.数学归纳法的证明形式
记P(n)是一个关于正整数n的命题.我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：
条件：(1)? 为真；(2)若 为真，则 也为真.
结论： 为真.
3. 数学归纳法中的两个步骤
在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当 时结论成立，即命题 ；第二步是证明一种 关系，实际上是要证明一个新命题： .只要将这两步交替使用，就有 真， 真…… 真， 真……，从而完成证明.
P(n0)
P(k)
P(k＋1)
P(n)
n＝n0
P(n0)为真
递推
若P(k)为真，则P(k＋1)也为真
P(n0)
P(n0＋1)
P(k)
P(k＋1)
新课引入
例1：有用数学归纳法证明:
12+22+?+????2=16????(????+1)(2????+1)(n∈N*)
?
【证明】：(1)当????=1时，由已知原式左边=1
原式右边=16×1×(1+1)×(2×1+1)=1×2×36=1，所以原式成立
(2)假设当????=????(????∈?????)，等式成立
即12+22+?+????2=16????(????+1)(2????+1)
两边同时加上(????+1)2，有
12+22+?+????2+(????+1)2=16????(????+1)(2????+1) +(????+1)2
?
新课引入
【证明】：(1)当????=1时，由已知原式左边=1
原式右边=16×1×(1+1)×(2×1+1)=1×2×36=1，所以原式成立
(2)假设当????=????(????∈?????)，等式成立
即12+22+?+????2=16????(????+1)(2????+1)
两边同时加上(????+1)2，有
12+22+?+????2+(????+1)2=16????(????+1)(2????+1) +(????+1)2
=????(????+1)(2????+1) +6(????+1)26=(????+1)(2????2+7????+6) 6 =(????+1)(????+2) (2????+3)6
=16????[(????+1)+1][2(????+1)+1]， 当????=????+1时，等式也成立
由(1)、(2)可知，原等式对任意n∈N*都成立
?
方法总结
用数学归纳法证明等式的策略
应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：
(1)n＝n0时，等式的结构.
(2)n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项.
例题解析
例2：求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1) (n∈N*).
【证明】 (1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立.
(2)假设当n＝k时，等式成立，
即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1).
当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2
＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)
＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，
所以n＝k＋1时，等式也成立.
由(1)、(2)可知，等式对任何n∈N*都成立.
例题解析
例3：求证：1????+1+1????+2+1????+3+?+1????+????>1324(????≥2，????∈?????)
?
【证明】：(1)当????=2时，原式左边=12+1+12+2=13+14=712>1324，原不等式成立
(2)假设当????=????(????∈?????)，原不等式成立
即1????+1+1????+2+1????+3+?+1????+????>1324
那么1(????+1）+1+1(????+1）+2+1(????+1）+3+?+1(????+1）+?????1+1(????+1）+????+1(????+1）+????+1
=1????+2+1????+3+?+1????+????+1????+????+1+1????+????+2>1324?1????+1+1????+????+1+1????+????+2
=1324+12????+1?12????+2=1324+1(2????+1)(2????+2)>1324，当????=????+1，原不等式成立
由(1)、(2)可知，原不等式对任何????≥2，n∈N*都成立.
?
【注意】数学归纳法中的起始值不一定是1
方法总结
用数学归纳法证明不等式的四个关键
(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0＝k＋1.
(2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设.
方法总结
(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明.
(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立，得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、放缩法等.
例题解析
例3：在数列{an}中，????1=1，????2=14,且????????+1=(?????1)?????????????????????(????≥2，????∈?????)，求????1，????2，猜想????????的表达式，并加以证明
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【解】：∵????2=14，且????????+1=(?????1)?????????????????????(????≥2，????∈?????)
∴????3=????22?????2=142?14=17，????4=2????33?????3=2×173?17=110，猜想????????=13?????2(????∈?????)
下面用数学归纳法证明猜想正确
(1)当????=1，????=2时，易得猜想正确
(2)假设当????=????(????≥2，????∈?????)时猜想正确，即????????=13?????2(????∈?????)
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例题解析
【解】：∵????2=14，且????????+1=(?????1)?????????????????????(????≥2，????∈?????)
∴????3=????22?????2=142?14=17，????4=2????33?????3=2×173?17=110，猜想????????=13?????2(????∈?????)
下面用数学归纳法证明猜想正确
(1)当????=1，????=2时，易得猜想正确
(2)假设当????=????(????≥2，????∈?????)时猜想正确，即????????=13?????2(????∈?????)
当????=????+1时，
????????+1=(?????1)?????????????????????=(?????1)13?????2?????13?????2=?????13?????23????2?2?????13?????2=?????13????2?2?????1=?????1(3?????1)(?????1)=13????+1=13(????+1)?2
∴当????=????+1时猜想也成立
由(1)、(2)可知，猜想对任何n∈N*都成立.
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课堂小结
1.知识清单：
(1)数学归纳法的概念.
(2)数学归纳法的步骤.
2.方法归纳：归纳—猜想—证明.
3.常见误区：
(1)对题意理解不到位导致n0的取值出错；
(2)推证当n＝k＋1时忽略n＝k时的假设.
作业布置