人教A版（2019）高二数学选择性必修第二册课件 4.2.2等差数列的前n项和 第一课时(共30张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高二数学选择性必修第二册课件 4.2.2等差数列的前n项和 第一课时(共30张PPT) |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-10 21:27:46 | ||
图片预览
文档简介
(共30张PPT)
4.2.2
等差数列的前n项的和(1)
选择性必修第二册 第四章 数列
学习目标
1.了解等差数列的前n项和公式发现的背景；
2.推导并掌握等差数列的前n项和公式；
3.能在具体的问题情境中,能运用等差数列的前n项和公式解决一些简单的数学问题和实际问题；
4.核心素养：数学建模、数学推理、数学运算。
高斯（Gauss,1777-1855），德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，被称为历史上最伟大的三位数学家之一，他与阿基米德、牛顿齐名，是数学史上一颗光芒四射的巨星，被誉为“数学王子”.
一、情景引入
有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发
现了一个堆放铅笔的V形架，
V形架的最下面一层放
一支铅笔，往上每一层
都比它下面一层多放一
支，最上面一层放100支.
老师问：高斯，你知道这
个V形架上共放着多少支铅笔吗？
问题1就是：
计算1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
高斯的算法
计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组：
第一个数与最后一个数一组；
第二个数与倒数第二个数一组；
第三个数与倒数第三个数一组，……
每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
首尾配对相加法
中间的一组数是什么呢？
商店的一个堆放铅笔的V形架上最上面一层
若放101支.你知道这个V形架上共放着多少支铅笔吗？
问题2
问题就是：
计算：1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 100 ＋ 101
思路1（拿出中间项，再首尾配对）
原式=(1+101)+ (2+100)+ (3+99)+… + (50+52)+51
思路2（拿出末项，再首尾配对）
原式=(1+2+3+… + 100)+101
思路3（先凑成偶数项，再配对）原式=(1+2+3+… + 100+102)-102
思路3（先凑成偶数项，再配对）原式=0+1+2+3+… + 100+101
1.问题呈现
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。
你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
二、探究新知
问题：图案中，第1层到第21层一共多少颗宝石？
这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项。
通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对” 的算法还得分奇、偶个项的情况求和。
有无简单的方法？
借助几何图形之直观性，把这个“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。
问题：图案中，第1层到第21层一共多少颗宝石？
1
2
3
21
21
20
19
1
获得算法：
问题：图案中，第1层到第21层一共多少颗宝石？
探究了以上两个实际问题的求和，我们对数列求和有了一定的认识，那么能否将“倒序相加法”推广到任意一个等差数列呢？
这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和， 很有创意，用数学式子表示就是：
1+ 2+ 3+ 4+……+21
21+20+19+18+……+1
对齐相加（其中下第二行的式子与第一行的
式子恰好是倒序）
这实质上是我们数学中一种求和的重要方法
倒序相加法
若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层
多放一支，最上面
一层有很多支铅笔，
老师说有n支。问：
这个V形架上共放
着多少支铅笔？
问题就是：
1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ (n-1) ＋ n
若用首尾配对相加法，需要分类讨论.
三角形
平行四边形
倒序相加法
n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1
那么，对一般的等差数列，如何求它的
前n项和呢？
分析：这其实是求一个具体的等差数列前n项和.
①
②
倒序相加法
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn .
如何才能将等式的右边化简？
①
②
倒序相加法
2.等差数列求和公式
等差数列的前n项和的公式：
思考：（1）公式的文字语言；
（2）公式的特点；
不含d
可知三求一
等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半。
公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆
等差数列前 n 项和公式.
n
a1
an
公式的记忆
a1
(n-1)d
n
a1
an
将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.
我们可结合梯形的面积公式来记忆
等差数列前 n 项和公式.
在等差数列 {an} 中，如果已知五个元素 a1, an,
n, d, Sn 中的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量
结论：知 三 求 二
三、巩固新知
1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn ：
（1）a1=5，an=95，n=10
（2）a1=100，d=－2，n=50
500
2550
2.例6 已知数列｛an｝是等差数列：
（1）a1=7，a50=101，求S50
解:
计算
（1） 5+6+7+···+79+80
（2） 1+3+5+···+（2n-1）
（3）1-2+3-4+5-6+···+（2n-1）-2n
-n
3.变式练习
n2
3230
提示：n=76
4.例7. 已知一个等差数列{an}前10项的和是310,前20项的和是1220， 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗
1).已知在等差数列{an}中， ，.
求S7.
5.变式练习
2).求集合 的元素个
数，
并求这些元素的和.
解：
由 得
∴正整数 共有14个即 中共有14个元素
即：7，14，21，…，98 是以 为首项，
以 为末项的等差数列.
∴
5.变式练习
答案: 27
3).
4).等差数列－10，－6，－2，2，
…的前______项的和为54？
答案: n=9，或n=-3（舍去）
仍是知三求一
n2-6n-27=0
5.变式练习
5).已知一个共有n项的等差数列前4项之和为26,末四项之和为110,且所有项的和为187，求n.
n=11
提示：a1+a2+a3+a4=26
an+an-1+an-2+an-3=110
a1+an=34
5.变式练习
5.变式练习
知识打包 存放备用
an=a1+(n-1)d
对于Sn、an 、a1、n、d 五个量，“知三求二”.
方程(组)思想
(待定系数法)
倒序求和法
掌握与应用
1.等差数列前n项和的公式；
2.等差数列前n项和公式的推导方法
——倒序相加法；
3.在两个求和公式中,各有五个元素,只要
知道其中三个元素,结合通项公式就可
求出另两个元素.
（两个）
作业: 课本P24 习题 1题
四、课堂小结
4.2.2
等差数列的前n项的和(1)
选择性必修第二册 第四章 数列
学习目标
1.了解等差数列的前n项和公式发现的背景；
2.推导并掌握等差数列的前n项和公式；
3.能在具体的问题情境中,能运用等差数列的前n项和公式解决一些简单的数学问题和实际问题；
4.核心素养：数学建模、数学推理、数学运算。
高斯（Gauss,1777-1855），德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，被称为历史上最伟大的三位数学家之一，他与阿基米德、牛顿齐名，是数学史上一颗光芒四射的巨星，被誉为“数学王子”.
一、情景引入
有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发
现了一个堆放铅笔的V形架，
V形架的最下面一层放
一支铅笔，往上每一层
都比它下面一层多放一
支，最上面一层放100支.
老师问：高斯，你知道这
个V形架上共放着多少支铅笔吗？
问题1就是：
计算1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
高斯的算法
计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组：
第一个数与最后一个数一组；
第二个数与倒数第二个数一组；
第三个数与倒数第三个数一组，……
每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
首尾配对相加法
中间的一组数是什么呢？
商店的一个堆放铅笔的V形架上最上面一层
若放101支.你知道这个V形架上共放着多少支铅笔吗？
问题2
问题就是：
计算：1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 100 ＋ 101
思路1（拿出中间项，再首尾配对）
原式=(1+101)+ (2+100)+ (3+99)+… + (50+52)+51
思路2（拿出末项，再首尾配对）
原式=(1+2+3+… + 100)+101
思路3（先凑成偶数项，再配对）原式=(1+2+3+… + 100+102)-102
思路3（先凑成偶数项，再配对）原式=0+1+2+3+… + 100+101
1.问题呈现
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。
你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
二、探究新知
问题：图案中，第1层到第21层一共多少颗宝石？
这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项。
通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对” 的算法还得分奇、偶个项的情况求和。
有无简单的方法？
借助几何图形之直观性，把这个“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。
问题：图案中，第1层到第21层一共多少颗宝石？
1
2
3
21
21
20
19
1
获得算法：
问题：图案中，第1层到第21层一共多少颗宝石？
探究了以上两个实际问题的求和，我们对数列求和有了一定的认识，那么能否将“倒序相加法”推广到任意一个等差数列呢？
这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和， 很有创意，用数学式子表示就是：
1+ 2+ 3+ 4+……+21
21+20+19+18+……+1
对齐相加（其中下第二行的式子与第一行的
式子恰好是倒序）
这实质上是我们数学中一种求和的重要方法
倒序相加法
若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层
多放一支，最上面
一层有很多支铅笔，
老师说有n支。问：
这个V形架上共放
着多少支铅笔？
问题就是：
1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ (n-1) ＋ n
若用首尾配对相加法，需要分类讨论.
三角形
平行四边形
倒序相加法
n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1
那么，对一般的等差数列，如何求它的
前n项和呢？
分析：这其实是求一个具体的等差数列前n项和.
①
②
倒序相加法
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn .
如何才能将等式的右边化简？
①
②
倒序相加法
2.等差数列求和公式
等差数列的前n项和的公式：
思考：（1）公式的文字语言；
（2）公式的特点；
不含d
可知三求一
等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半。
公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆
等差数列前 n 项和公式.
n
a1
an
公式的记忆
a1
(n-1)d
n
a1
an
将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.
我们可结合梯形的面积公式来记忆
等差数列前 n 项和公式.
在等差数列 {an} 中，如果已知五个元素 a1, an,
n, d, Sn 中的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量
结论：知 三 求 二
三、巩固新知
1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn ：
（1）a1=5，an=95，n=10
（2）a1=100，d=－2，n=50
500
2550
2.例6 已知数列｛an｝是等差数列：
（1）a1=7，a50=101，求S50
解:
计算
（1） 5+6+7+···+79+80
（2） 1+3+5+···+（2n-1）
（3）1-2+3-4+5-6+···+（2n-1）-2n
-n
3.变式练习
n2
3230
提示：n=76
4.例7. 已知一个等差数列{an}前10项的和是310,前20项的和是1220， 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗
1).已知在等差数列{an}中， ，.
求S7.
5.变式练习
2).求集合 的元素个
数，
并求这些元素的和.
解：
由 得
∴正整数 共有14个即 中共有14个元素
即：7，14，21，…，98 是以 为首项，
以 为末项的等差数列.
∴
5.变式练习
答案: 27
3).
4).等差数列－10，－6，－2，2，
…的前______项的和为54？
答案: n=9，或n=-3（舍去）
仍是知三求一
n2-6n-27=0
5.变式练习
5).已知一个共有n项的等差数列前4项之和为26,末四项之和为110,且所有项的和为187，求n.
n=11
提示：a1+a2+a3+a4=26
an+an-1+an-2+an-3=110
a1+an=34
5.变式练习
5.变式练习
知识打包 存放备用
an=a1+(n-1)d
对于Sn、an 、a1、n、d 五个量，“知三求二”.
方程(组)思想
(待定系数法)
倒序求和法
掌握与应用
1.等差数列前n项和的公式；
2.等差数列前n项和公式的推导方法
——倒序相加法；
3.在两个求和公式中,各有五个元素,只要
知道其中三个元素,结合通项公式就可
求出另两个元素.
（两个）
作业: 课本P24 习题 1题
四、课堂小结