17.2一元二次方程的解法（2） 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
沪科版八年级下册
17.2一元二次方程的解法(2)
教学目标
1.理解配方的基本过程，会用配方法解一元二次方程；
2.在探究如何对比完全平方公式进行配方的过程中， 进一步加深对化归的数学思想的理解．
教学重点： 用配方法解一元二次方程．
教学难点： 理解配方法及用配方法解一元二次方程．
复习旧知
一般地，对形如x2=p(p≥0)或(mx＋n)2=p(p≥0)的方程，根据平方根的意义，用直接开平方法将这个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程，分别求出这两个一元一次方程的解，即可求出原一元二次方程的两个解.
复习旧知
(1) 7x2 －28=0；
　解下列方程
(2) (x－1)2=13.
解：
(1)
移项，得
7x2 =28
化简，得
x2 =4
∴x=
±2
∴ x1=2，
x2=－2.
∴ x1=1＋ ，
或 x－1=－ .
x2=1－ .
(2)根据平方根的意义，得
即
13
x－1 =
x－1 =
13
13
13
13
±
新知导入
　　 形如下列形式的方程，该怎样解？ 　　　 x2＋2x－1 =0
　　 x2－75x＋350 =0
　　 x2 －x－56 =0
能否将它们转换成(mx＋n)2=p(p≥0)的形式？
新知导入
∴ x1=－2＋ ，
或 x＋2=－ .
x2= －2－ .
根据平方根的意义，得
即
5
(x＋2)2=5；
整理，得
x＋2 =
x＋2 =
5
5
5
5
解方程 x2＋4x＋4=5；
±
讲解新知
　　
　　怎样解方程　x2＋2x－1 =0　 ① ？
　　怎样把方程①化成
方程②的形式呢？
　　怎样保证变形的
正确①性呢？
左边可写成平方形式
x2 ＋2x = 1　 ③
试与方程　 x2＋4x＋4=5　 ② 比较，
x2 ＋2x－1 = 0 ①
移项
x2＋2x =1
两边加 1
(x＋ )2 =
＋1
＋1
讲解新知
　　 在解法中，为什么在方程③两边加 1？ 加其他数可以吗？如果不可以，说明理由．
两边加 1
x2 ＋2x =1　③
x2＋2x＋1 =1＋1
(x＋1)2 =2
2
2
( )2
a2＋2ab＋b2
2b=2
b=
2
2
=
12
1
=1
讲解新知
　　 在解法中，为什么在方程③两边加 1？ 加其他数可以吗？如果不可以，说明理由．
两边加 1
　　 一般地，当二次项系数为 1 时，二次式加上一次项系数一半的平方，二次式就可以写成完全平方的形式．
x2 ＋2x =1　③
x2＋2x＋1 =1＋1
(x＋1)2 =2
2
2
( )2
=
12
=
1
讲解新知
用配方法解方程的过程
两边加 一次项系数一半的平方
移项
左边写成完全平方形式
开平方降次
解一次方程
x2＋2x－1 = 0
x2＋2x = 1
，
x2＋2x＋1 =1＋1
(x＋1)2 =2
x＋1= ，
或 x＋1=－ .
2
2
∴ x1=－1＋
x2=－1－ .
2
2
x＋1=
±
2
转化为两个一元一次方程
讲解新知
　　 议一议：结合方程①的解答过程，说出解一般二次项系数为 1 的一元二次方程的基本思路是什么？具体步骤是什么？
　　 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，
叫做配方法．
讲解新知
用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
　　 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，
叫做配方法．
　　 (1)移项：将常数项移到等号右边；
(2)将方程二次项系数化成 1.方程两边除以a
　 (3)配方:方程两边加一次项系数一半的平方.
　 (4)化为(x＋n)2= p(n，p 是常数，p≥0)的形式；
　 (5)用直接开平方法求得方程的解．
例题解析
　例1 用配方法解下列方程
(1) x2－4x－1=0；
(2) 2x2－3x－1=0.
x2－4x＋ = 1＋ ；
解：
(1)
移项，得
x2－4x=1；
配方，得
(x－2)2=5；
开平方，得
x－2 =
5
∴ x1=2＋ ，
x2=2－ .
x2－ x＋ = ＋ ；
(2)
移项，得
2x2－3x=1；
配方，得
(x－ )2= ；
开平方，得
x－ =
二次项系数化为1，得
x2－ x= ；
3
2
3
4
3
4
3
4
4
17
∴ x1= ，
x2=－ .
4
17
＋3
4
17
－3
1
2
1
2
3
2
3
4
±
( )2
( )2
4
4
±
5
5
17
16
课堂练习
用配方法解下列方程:
(1) x2＋x－1=0；
解：
移项，得
x2＋x=1；
配方，得
x2 ＋x＋ = 1＋ ；
(x＋ )2 =
开平方，得
x＋ =
∴ x1= ，
x2= － .
±
1
2
( )2
1
2
( )2
1
2
5
4
1
2
2
5
2
5
－1
2
5
＋1
课堂练习
(2) x2－3x－2=0；
解：
移项，得
x2－3x=2；
配方，得
x2－3x＋ = 2＋ ；
(x－ )2 =
开平方，得
x－ =
∴ x1= ，
x2= － .
±
3
2
( )2
3
2
( )2
3
2
17
4
3
2
2
17
2
17
＋3
2
17
－3
课堂练习
　
(3) 2x2＋5x－1=0；
解：
移项，得
2x2＋5x=1；
配方，得
x2＋ x＋ = ＋ ；
(x＋ )2 =
开平方，得
x＋ =
∴ x1= ，
x2=－ .
±
5
4
( )2
5
4
( )2
5
4
33
16
5
4
二次项系数化为 1，得
x2＋ x= ；
5
2
1
2
5
2
1
2
4
33
4
33
－5
4
33
＋5
课堂练习
　
(4) 3x2－6x ＋1=0.
解：
移项，得
3x2－6x=－1；
配方，得
x2－2x＋ =－ ＋ ；
(x－1)2 =
开平方，得
x－1 =
∴ x1= ，
x2=－ .
±
二次项系数化为 1，得
x2－2x=－ ；
1
3
1
3
3
6
3
6
＋3
3
6
－3
1
1
2
3
例题解析
用配方法证明：
无论x为何实数，
2x2－8x＋18的值都不小于10.
证明：
2x2－8x＋18=
2(x2－4x)
＋18
=2(x2－4x＋4－4)
＋18
=2[(x－2)2－4]
＋18
=2(x－2)2－8
＋18
=2(x－2)2＋10
∵(x－2)2
≥0，
∴ 2(x－2)2＋10≥0.
∴无论x为何实数，
2x2－8x＋18的值都不小于10.
学以致用
对于二次三项式x2－10x＋36，小明同学作如下结论：
无论x为何实数，
它的值都不等于10. 他的判断对吗？说明理由.
答：小明的判断是对的.理由如下：
x2－10x＋36=
(x2－10x＋25－25)
＋36
=[(x－5)2－25]
＋36
=(x－5)2－25
＋36
=(x－5)2＋11
∵(x－5)2
≥0，
∴ (x－5)2＋11≥11.
∴无论x为何实数，
x2－10x＋36的值都不等于10.
∴ x2－10x＋36的最小值为11.
课堂总结
　　(1)用配方法解一元二次方程的基本思路是什么？ 　　 把方程配方为　　　　　 的形式，
运用开平方法，降次求解．
(2)配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些
(3)在配方法解一元二次方程的过程中应该注意哪些问题
(mx＋n)2=p(p≥0)
巩固新知
1.用配方法解一元二次方程x2－8x－2=时，此
方程可变形为(　　).
A．(x＋4)2=18 B．(x＋4)2=14
C．(x－4)2=18 D．(x－4)2=14
C
2.对于任意实数x，
代数式x2－6x＋10的值是一个( ).
A．整数 B．正数 C．负数 D．非负数
B
巩固新知
4.若m满足x2＋4x＋m=(x＋2)2－1，则m的值为 .
5.对于代数式x2－4x＋5，当x= 时，有最小值 .
3.若一元二次方程4x2－8x－3=0可变形为(x－a)2=b的形式，
则ab= .
2
3
1
7
4
作业布置
今天作业
课本P31页第2、3题
谢谢
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