17.3一元二次方程根的判别式 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
17.3一元二次方程根的判别式
沪科版八年级下册
教学目标
1.了解根的判别式的概念，能用根的判别式判别根的情况. 2.会用根的判别式求方程中字母的值或进行有关的证明.
教学重点：用根的判别式判别根的情况.
教学难点：理解根的判别式的应用．
复习旧知
(1) 正数的平方根有两个，它们互为相反数.
(3) 负数没有平方根.
(2) 0有一个平方根，它是0本身.
1.什么叫平方根？
2.平方根有哪些性质
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
用式子表示为：
如果x2=a，那么x叫做a的平方根.
复习旧知
3.解下列的一元二次方程：
(2) x2－2x＋1=0；
(1) x2－3x＋2=0；
(3) x2＋3=0.
解：(1)
(x－1)(x－2)=0
∴x1=1
x2=2
(x－1)2=0
(2)
∴x1=x2=1
(3)
∵ b2－4ac
=02－4×1×3
=－12＜0
∴原方程无实数解
新知导入
在前面学习一元二次方程的解法中，你是否注意到
一元二次方程根的情况有几种？
一元二次方程ax2＋bx＋c=0 (a≠0)有实数根的条件是什么？
ax2＋bx＋c=0 (a≠0)何时有两个不相等的实数根？
ax2＋bx＋c=0 (a≠0)何时有两个相等的实数根？
讲解新知
用配方法求
ax2＋bx＋c = 0 (a≠0)的根.
解：
移项，得
配方，得
二次项系数化为1，得
ax2＋bx=－c；
x2＋ x =－ ；
x2＋ x＋ =－ ＋ ；
c
a
( )2
b
2a
( )2
(x＋ )2 = ；
b
2a
4ac
b2
4a2
－
b
a
b
a
c
a
b
2a
讲解新知
(x＋ )2 = ；
4ac
b2
4a2
－
b
2a
∵a ≠ 0，
∴4a2＞0.
(1)当b2－4ac＞0时，
4ac
b2
4a2
－
＞0.
开平方，得
x＋ =
b
2a
±
2a
4ac
b2
－
－b
∴
x1=
2a
＋
4ac ，
b2
－
x2=
2a
－b
－
4ac .
b2
－
显然 x1≠x2.
当b2－4ac＞0时，
即
方程有两个不相等的实数根.
讲解新知
(x＋ )2 = ；
4ac
b2
4a2
－
b
2a
∵a ≠ 0，
∴4a2＞0.
(2)当b2－4ac=0时，
4ac
b2
4a2
－
=0.
开平方，得
x＋ =
b
2a
0
显然 x1=x2
当b2－4ac=0时，
即
方程有两个相等的实数根.
=
－
b
2a
讲解新知
(x＋ )2 = ；
4ac
b2
4a2
－
b
2a
∵a ≠ 0，
∴4a2＞0.
4ac
b2
4a2
－
即
方程没有实数根.
(3)当b2－4ac＜0时，
＜0，
(x＋ )2
b
2a
＜0，
∴原方程没有实数根.
∵任何实数的平方不会是负数，
∴
当b2－4ac＜0时，
新知讲解
当　　　时， 方程没有实数根.
当　　　时， 方程有两个相等的实数根；
当　　　时， 方程有两个不相等的实数根；
Δ＞0
式子b2－4ac
Δ= 0
Δ＜0
叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0
根的判别式，
用希腊字母Δ表示。
即Δ=
b2－4ac.
例题解析
　例 不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1) 5x2－3x－2=0；
(2) 25y2＋4=20y；
(3) 2x2＋ x＋1=0.
3
解：(1) ∵ a=5，b=－3 ，c=－2；
∴Δ=b2－4ac
－4×5×(－2)
=49
=(－3)2
＞0.
∴原方程有两个不相等的实数根.
=9＋40
(2)
∴Δ=b2－4ac
－4×25×4
=(－20)2
∴原方程有两个相等实数根.
∵ a=25，b=－20 ，c=4；
=400－400
=0
原方程可化为：
25y2－20y＋4=0；
例题解析
　例 不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1) 5x2－3x－2=0；
(2) 25y2＋4=20y；
(3) 2x2＋ x＋1=0.
3
解：(3) ∵ a=2，b= ，c=1，
∴Δ=b2－4ac
－4×2×1
=－5
=( )2
∴原方程没实数根.
=3－8
3
3
＜0
用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先将原方程
化成一般形式，再确定各项系数，然后代入根的判别式计算，根据
结果与0的大小进行判断.
课堂练习
(1) 2x2－5x－4=0；
(2) 7t2 －5t－2=0；
(3) x(x－1)=3；
(4) 3y2＋25=10 y.
3
　不解方程，判断下列方程的根的情况：
解：(1) ∵ a=2，b=－5，c=－4；
∴Δ=b2－4ac
－4×2×(－4)
=57
=(－5)2
＞0.
∴原方程有两个不相等的实数根.
=25＋32
(2) ∵ a=7，b=－5，c=－2；
∴Δ=b2－4ac
－4×7×(－2)
=81
=(－5)2
＞0.
∴原方程有两个不相等的实数根.
=25＋56
课堂练习
(3) x(x－1)=3；
(4) 3y2＋25=10 y.
3
　不解方程，判断下列方程的根的情况：
∵ a=1，b=－1，c=－3，
∴Δ=b2－4ac
－4×1×(－3)
=13
=(－1)2
＞0.
∴原方程有两个不相等的实数根.
=1＋12
∵ a=3，b=－10 ，c=25，
∴Δ=b2－4ac
－4×3×25
=0
=(－10 )2
∴原方程有两个相等的实数根.
=300－300
(3)
原方程可化为：
x2－x－3=0，
(4)
3y2－10 y＋25=0.
原方程可化为：
3
3
3
例题解析
用根的判别式求方程中字母的值或字母
的取值范围时要注意什么问题？
2.若关于x的方程x2－3x－m=0有两个不相等
的实数根，求m的取值范围.
解:∵方程x2－3x－m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ
＞0.
∵Δ=
=9＋4m
(－3)2
∴m＞
－4×(－m)
∴9＋4m＞0，
－
9
4
课堂练习
2.求证：关于x的方程 x2＋(2k＋1)x＋k－1=0有两个不相等的实数根.
证明：
∴Δ=
－
b2－4ac
∵a=1，
b=2k＋1，
c=k－1，
=(2k＋1)2
4(k－1)
=4k2＋4k＋1
－4k＋4
=4k2＋5
∵k为实数，
∴k2≥0，
∴4k2≥0，
∴4k2＋5＞0，
∴Δ＞0.
∴方程有两个不相等的实数根.
课堂练习
3.k为何值时，关于x的方程 4x2－(k＋2)x＋k－1=0有两个相等的实数根 求出这时方程的根.
解：∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=0.
∵Δ=
[－(k＋2)]2
－4×4(k－1)
=k2＋4k＋4
－16k＋16
=k2－12k＋20
∴k2－12k＋20=0
∴(k－10)(k－2)=0
∴k=10，或k=2.
4x2－12x＋9=0
当k=10时，有
∴(2x－3)2=0
∴x1=x2=
3
2
4x2－4x＋1=0
当k=2时，有
∴(2x－1)2=0
∴x1=x2=
1
2
课堂小结
1.用根的判别式判别根的情况要主要哪些事项？
2.用根的判别式求方程中字母的值或字母的取值
范围时要注意什么问题？
巩固新知
1.一元二次方程2x2 ＋x －2=0根的情况是(　 ).
A.没有实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.只有一个实数根
2.若一元二次方程x2 －ax＋16=0有两个相等的实数根，则
a的值为(　 ).
A．a=8 B．a1=8，a2=－8
C．a=4 D．a1=4，a2= － 4
C
B
巩固新知
3. 关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1=0 有
两个不相等的实数根，则a的取值范围是( ).
A. a＞2 B. a＜2
C. a＜－2 D. a＜2且a≠1
4. 关于x的一元二次方程ax2＋4x－2=0 有实数根，
则负整数a= .(填写一个即可)
D
2
课堂练习
5.若关于x的一元二次方程 (m－1)x2－2mx＋m=0有实数根，求m的取值范围.
解：∵方程有实数根，
∵Δ=
(－2m)2
－4(m － 1)m
=4m2－4m2＋4m
∴Δ≥0，
=4m
∴4m≥0，
∴m≥0，
∵m－1 ≠ 0，
∴m≠1，
∴m的取值范围为
m≥0，但m≠1.
课堂练习
6.求证：关于x的方程 ＋(m＋1)x＋m2＋m＋1=0
没有实数根.
证明：
∴Δ=
－
b2－4ac
∵a= ，
b=m＋1，
c=m2＋m＋1，
=(m＋1)2
4× (m2＋m＋1)
=m2＋2m＋1
－2m2－2m－2
= －m2－1
∵m为实数，
∴m2≥0，
∴ －m2≤0，
∴ －m2－1＜ 0，
∴Δ＜0.
∴方程没有实数根.
x2
2
1
2
1
2
作业布置
今天作业
课本P36页第1、5题
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin