17.4一元二次方程根与系数的关系（1） 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
17.4一元二次方程根与系数的关系(1)
沪科版八年级下册
教学目标
1.了解一元二次方程的根与系数关系，能进行简单应用．
2.在一元二次方程根与系数关系的探究过程中，感受由
特殊到一般的认识方法．
教学重点： 一元二次方程根与系数的关系的探究及简单应用．
教学难点：一元二次方程根与系数的关系的应用．
复习旧知
x =
2a
－b
±
4ac
b2
－
(b2－4ac≥0)
2.一元二次方程 ax2＋bx＋c =0(a≠0)的求根公式是什么？
求根公式揭示了两根与各项系数之间的直接关系．
1.一元二次方程 的一般形式是什么？
ax2＋bx＋c =0(a≠0).
一元二次方程 的一般形式是
两根与各项系数之间的是否还存在更深层次的关系呢？
新知导入
十七世纪时，法国数学家韦达发现一元二次方程
ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两根x1，x2与各项系数之间存在
如下的关系：
x1＋x2
－
b
a
= ，
x2
x1
= .
c
a
这个关系通常称为韦达定理.
这个关系是如何推导出来的呢？
新知讲解
我们由 ax2＋bx＋c =0(a≠0)的求根公式知道分别为x1，x2分别为：
x1=
－b
2a
＋
4ac
b2
－
2a
－b
－
4ac
b2
－
x2=
∴
=
2a
－b
－
4ac
b2
－
x1＋x2
－b
4ac
b2
－
＋
=
－2b
=
－
b
a
2a
x2
x1
=

(－b
＋
4ac
b2
－
)
(－b
4ac
b2
－
)
－
2a

2a
b2
－(b2
－4ac)
4a2
=
=
4ac
4a2
=
c
a
新知讲解
x1＋x2
－
b
a
= ，
x2
x1
= .
c
a
韦达定理:
当一元二次方程 ax2＋bx＋c=0(a≠0)的二次项系数为1时，它的一般形式为x2＋px＋q=0，设它的两根为x1，x2，则有
x1＋x2
=－p，
x2
x1
=q.
例题解析
(4) 3x2－4x＋5=7.
(1) x2 －6x－15 =0；
(3) 5x－1=4x2 ；
(2) 3x2＋7x－9=0；
例　根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积：
解：(1) ∵ a=1，b=－6 ，c=－15；
∴
x1
＋
x2
－
b
a
=
－
－6
1
=6
x2
x1
=
c
a
=
1
－15
=
－15
=
∵ a=3，b=7 ，c=－9；
=
－
x2
x1
=
3
－9
=
－3
(2)
∴
x1
＋
x2
5
4
例题解析
(4) 3x2－4x＋5=7.
(3) 5x－1=4x2 ；
例　根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积：
∵ a=4，b=－5 ，c=1，
∴
x1
＋
x2
－
－5
4
=
x2
x1
=
c
a
=
4
1
=
∵ a=3，b=－4 ，c=－2，
=
－
x2
x1
=
3
－2
=
－
(2)
∴
x1
＋
x2
－4
3
解：(3)
4x2－5x＋1=0 .
3x2－4x－2=0
5
4
=
4
3
2
3
整理，得
整理，得
课堂练习
(4) 4x2－7x＋1=0；
(1) x2 －3x＋1=0；
(6) 5x－1=4x2.
(2) 3x2－2x－2=0；
下列各方程中，两根 之和与两根积各是多少？
解：(1) ∵ a=2，b=－3 ，c=1，
∴
x1
＋
x2
－
b
a
=
－
－3
1
=3
x2
x1
=
c
a
=
1
1
=1
=
∵ a=3，b=－2 ，c=－2，
=
－
x2
x1
=
3
－2
=
－
(2)
∴
x1
＋
x2
－2
3
(3) 2x2－9x＋5=0；
(5) 2x2＋3x=0；
=
2
3
2
3
课堂练习
(4) 4x2－7x＋1=0；
(1) x2 －3x＋1=0；
(6) 5x－1=4x2.
(2) 3x2－2x－2=0；
下列各方程中，两根 之和与两根积各是多少？
解：(3) ∵ a=2，b=－9 ，c=5，
∴
x1
＋
x2
－
－9
2
=
x2
x1
=
c
a
=
2
5
=
∵ a=4，b=－7 ，c=1，
=
－
x2
x1
=
(4)
∴
x1
＋
x2
－7
4
(3) 2x2－9x＋5=0；
(5) 2x2＋3x=0；
=
7
4
1
4
9
2
课堂练习
(4) 4x2－7x＋1=0；
(1) x2 －3x＋1=0；
(6) 3x2=1.
(2) 3x2－2x－2=0；
1.下列各方程中，两根 之和与两根积各是多少？
解：(5) ∵ a=2，b=3 ，c=0，
∴
x1
＋
x2
－
b
a
=
－
3
2
x2
x1
=
c
a
=
2
0
=0
=
∵ a=3，b=0 ，c=－1，
=
－
x2
x1
=
3
－1
=
－
(6)
∴
x1
＋
x2
0
3
(3) 2x2－9x＋5=0；
(5) 2x2＋3x=0；
=0
1
3
课堂练习
2.判定下列各方程后面括号内的两个数是不是它的两个根.
(1) x2＋5x＋4=0；
(2) x2－6x－7=0 ；
(3) 2x2－3x＋1=0；
(4) 3x2＋5x－2=0；
(5) x2－8x＋11=0.
(1，4)
(4－ ，4＋ )
( ，1)
1
2
1
3
(－1，7)
5
5
(－ ，2)
√ ×
×
×
√
√
√
例题解析
例1.已知关于x的方程 2x2＋kx－4=0的一个根为－4，求它的另一个根及k的值.
解：设方程的另一个根为x2，
∴
∴
答：方程的另一个根为 ，k的值为 7 .
－4＋x2 = ，
k
2
－4x2 = ，
4
2
k=7
x2 = ，
1
2
1
2
－
一元二次方程的根与系数的关系应用
由已知方程的一个根求出另一个根及未知系数.
课堂练习
解：设方程的另一个根为x2，
∴
∴
答：方程的另一个根为 ，m的值为 16 .
1＋x2 = ，
－19
3
x2 = ，
m
3
m=16
x2 = ，
16
3
16
3
－
3.已知关于x的方程 3x2－19x＋m=0的一个根
为1，求它的另一个根及m的值.
课堂练习
解： ∵关于x的方程 x2 ＋x＋m=0有两个实数根－2与n，
∴
∴
答：m的值为－2，n的值为1.
－2＋n = ，
－2n = ，
m
n=1
m=－2，
－1
4.已知关于x的方程 x2 ＋x＋m=0有两个实数根－2与n，求m与n的值.
课堂小结
1.一元二次方程根与系数的关系是什么？
2.我们是如何得到一元二次方程根与系数关系的？
巩固新知
1.已知x1、x2是一元二次方程 x2＋5x－7=0的
两个实数根，则x1＋x2的值是(　　).
A. 7 B. －7 C. －5 D. 5
C
2.已知x1、x2是一元二次方程 x2＋6x－8=0的
两个实数根，则x1 · x2的值是(　　).
A. 8 B. 6 C. －6 D. －8
D
巩固新知
3.已知x1、x2是一元二次方程 x2＋10x＋3=0的
两个实数根，则x1＋x2和x1 · x2的值分别是(　　).
A. －10，3 B. 10，3 C. －3，10 D. 3 ，－10
4.已知x1、x2是一元二次方程 3x2－4x－6=0的
两个实数根，则x1＋x2的值是(　　).
A. 2 B. C. － D. －2
4
3
4
3
A
B
巩固新知
5.已知x1、x2是关于x的一元二次方程 x2－5x＋m=0的
两个实数根，则x1＋x2的值是(　　).
A. m B. －m C. 5 D. －5
6.已知关于x的一元二次方程 x2＋bx＋c=0的 两个实数根
x1=1、x2= －2，则b和c的值分别是(　　).
A. －1，2 B. 1，－2 C. 1，2 D. －1 ，－2
C
D
巩固新知
7.设a，b是x2＋2x－4 =0的两个的实数根，
则a＋b－ab的值为( ).
C
A. 6 B. －6 C. 2 D. －2
8.关于x的一元二次方程 x2－5x－m=0的两个
实数根互为倒数，则m的值是(　　)
A. 5 B. －5 C. 1 D. －1
D
巩固新知
9.已知方程x2－mx－9=0的两根互为相反数， 则m= .
0
10.已知－2关于x的方程 x2－2ax＋8=0的一个根，
则它的另一个根为 .
－4
巩固新知
11.已知关于x的一元二次方程 x2－2x＋m=0有
两个不相等的实数根x1、x2，则(　　).
x1＋x2＜0 B. x1x2＜0
C. x1x2＜1 D. x1x2＞－1
C
作业布置
今天作业
课本P40页第1、2题
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin