17.4一元二次方程根与系数的关系（2） 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
17.4一元二次方程根与系数的关系(2)
沪科版八年级下册
教学目标
1.理解一元二次方程的根与系数关系，并会初步应用．
2.灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题．
教学重点： 一元二次方程根与系数的关系的初步应用．
教学难点：用一元二次方程根与系数关系解决实际问题．
复习旧知
1.一元二次方程 ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两根x1，x2与各项系数之间存在怎样下的关系？
x1＋x2
－
b
a
= ，
x2
x1
= .
c
a
2.这个关系通常称为什么定理？
韦达定理.
3.我们学习了韦达定理在哪方面的应用？
由已知方程的一个根求出另一个根及未知系数.
复习旧知
(a＋b)2
=a2＋2ab＋b2
a2＋b2
=(a＋b)2
－2ab
(a－b)2
=(a＋b)2
－4ab
4.我们学习过的完全平方式用字母是怎样表述的？
常见的有哪些形式？
(a－b)2
=a2－2ab＋b2
复习旧知
1.已知x1、x2是一元二次方程 x2 －10x－3=0的
两个实数根，则x1＋x2和x1 · x2的值分别是(　　).
A. －10，3 B. 10，3 C. －10， －3 D. 10，－3
2.已知x1、x2是一元二次方程 2x2－3x＋6=0的
两个实数根，则x1x2的值是(　　).
A. 6 B.3 C. －6 D. －3
D
B
复习旧知
3.已知关于x的方程 2x2 ＋mx＋n=0的两个根是0和1，
则m= ，n= .
－2
0
4.已知关于x的方程 x2＋x－a=0的一个根2，
则它的另一个根为 .
－3
新知导入
利用根与系数的关系可以由已知一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数，它常有如下的应用：
1. 与一元二次方程的根相关的计算；
2.不解方程，判断两根的性质；
3.解决有关综合问题等.
新知讲解
1.利用根与系数的关系求与两根相关的代数式的值.
常见的与两根相关的代数式有：
(1)x12＋x22
－2x1 · x2
=(x1＋x2)2
1
x1
1
x2
＋
(2)
x1＋x2
x1 · x2
=
(3)(x1－x2)2
－4x1 · x2
=(x1＋x2)2
x2
x1
x1
x2
＋
(4)
x12＋x22
x1 · x2
=
x1 · x2
=
－2x1 · x2
(x1＋x2)2
例题解析
例1.已知x1、x2是一元二次方程 2x2－5x＋6=0的
两个实数根，求下列代数式的值.
(1)(x1－2)(x2－2)；
解：
根据根与系数关系，得
x1＋x2
－
－5
2
=
= ，
5
2
x2
x1
=
6
2
=3
(1)(x1－2)(x2－2)=
x2
x1
－ 2x1
x2
－2
＋4
=x1 · x2
－2(x1＋x2) ＋4
=3 －
2
＋4
×
(2)x12＋x22.
(2)x12＋x22
－2×3
=( )2
－2x1 · x2
=(x1＋x2)2
=2
5
2
5
2
= .
1
4
例题解析
例2.方程2x2－3x＋1=0的两个根记作x1，x2，
不解方程，求x1－x2的值.
解： ∵ a=2，b=－3 ，c=1；
x1x2 = ，
∴x1＋x2 = ，
∵(x1－x2 )2=x12－2x1x2＋x22
∴(x1－x2 )2=x12＋x22
－2x1x2
－2x1x2
＋2x1x2
=(x1＋x2 )2－4x1x2
∴ x1－x2 =
1
2
=( )2－4
3
2
1
2
=
1
4
×
1
2
±
－3
2
－
3
2
=
课堂练习
4.若x1 ， x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个实数根，
求下列各式的值：
(1) (x1＋1)(x2＋1)，
(2) ＋ .
1
x1
1
x2
解： ∵ x1 ， x2是方程两个实数根，
∴ x1＋x2 =－2，
∴(1) (x1＋1)(x2＋1)=
=
－2
=
=
x2
x1x2
＋
x1
=
－2
=
4
3
x1 x2
＋ x1＋x2＋1，
＋
3
2
＋1
1
2
3
2
－
x1 x2 =－ .
3
2
(2) ＋
1
x1
1
x2
方法总结
例1.已知x1、x2是一元二次方程 2x2－5x＋6=0的 两个实数根，求下列代数式的值.
(1)(x1－2)(x2－2)；
(2)x12＋x22.
例2.方程2x2－3x＋1=0的两个根记作x1，x2，
求x1－x2的值.
利用根与系数的关系求与两根相关的代数式的值时，一般是
利用因式分解或代数式的恒等变形，将式子转化为只含有x1＋x2
与x1 · x2形式，再根据一元二次方程根与系数的关系求出两根的和
与两根的积，然后整体代入计算.
例题解析
2.利用根与系数的关系求方程中字母的值.
例3.已知x1、x2是关于x的一元二次方程 x2＋(2m＋1)x＋m2＋1=0的两个实数根，当x12＋x22=15时，求m的值.
解：
根据根与系数关系，得
x1＋x2
－(2m＋1)，
=
x2
x1
=m2＋1.
∵x12＋x22
－2x1 · x2
=(x1＋x2)2
=15
－(2m＋1)]2
∴[
－2(m2＋1)
=15
∴ m2＋2m－8=0
∴ (m＋2)(m－4)=0，
∴m=－2， m=4.
∵Δ≥0，
－(2m＋1)]2
∴[
－4(m2＋1) ≥0，
∴ m≥ ，
∴m=－2.
4
3
课堂练习
已知α 、 β是关于x的一元二次方程 x2－2x＋m=0的
两个实数根，当 ＋ = － 时，求m的值.
1
α
1
β
2
3
解：
根据根与系数关系，得
α＋β=2，
β=m
α
∵ ＋
1
α
1
β
α＋β
α· β
=
= －
2
3
2
m
∴
= －
2
3
∴ m= －3
例题解析
　　 4.已知关于 x 的一元二次方程 x2＋ 4x＋2k = 0 有两个不相等的实数根．
　　(1)求 k 的取值范围；
　　(2)当 k 取最大整数值时，用公式法求该方程的解；
　　(3)求方程的两根的和与积(用 k 表示)．
例题解析
　　 4.已知关于 x 的一元二次方程 x2＋ 4x＋2k = 0 有两个不相等的实数根．
　　(1)求 k 的取值范围；　　
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ
＞0.
∵Δ=
－4×1×2k
=16 －8k
∴k
∴16－8k＞0，
解:(1)
42
＜2
例题解析
　　4.已知关于 x 的一元二次方程 x2＋ 4x＋2k = 0 有两个不相等的实数根．(2)当 k 取最大整数值时，用公式法求该方程的解； (3)求方程的两根的和与积(用 k 表示)． 　　
∵k＜2，
(2)
∴当 k 取最大整数值时，
k=1.
方程 即为：x2＋ 4x＋2 = 0
∴x =
2×1
－4
±
8
=
2
－4
±
2
2
∴ x1=－2＋ ，
x2=－2 － .
2
2
(3)
∵ a=1，b=4 ，c=2k；
∴
x1
＋
x2
x2
x1
=－4，
=2k.
课堂练习
已知关于x的一元二次方程:x2－(t－1)x＋t－2=0．
(1)求证：对于任意实数t，方程都有实数根；
(2)求t为何值时，方程的两个根互为相反数？
(1)
证明：
∴Δ=
b2－4ac
∵a=1，
b=－(t－1)，
c=t－2，
=[－(t－1)]2
－4(t－2)
=t2－2t ＋1 － 4t＋8
=t2－6t ＋9
=(t2－3)2
∵对于任意实数t，
总有(t2－3)2≥0，
∴ Δ≥0.
∴对于任意实数t，方程都有实数根.
∵方程的两个根互为相反数，
∴ t－1=0，
∴ t=1.
(2)
课堂小结
1.利用根与系数的关系求与两根相关的代数式的值
要注意哪些方面的问题？
2.利用根与系数的关系求方程中字母的值要注意什么问题？
字母的取值要满足
Δ≥0这个条件.
整合提升
1.若α、β是一元二次方程 x2－x－2=0的 两个实数根，则
(1＋α)＋β(1－α)的值是( ).
A.4 B.2 C.1 D. － 2
A
2.已知x1、x2是关于x的一元二次方程 x2－ mx＋m－3=0
的两个实数根，且x12＋x22=5，则m的值为( ).
A. －1 B.1 C.2 D. －2
B
整合提升
4.已知实数α、β满足 2α2－3α－1=0，2β2－3β－1=0，且
α ≠ β，则 － 的值是 .
1
α
1
β
3.已知x1、x2是关于x的一元二次方程 x2－2x＋k－1=0的 两个实数根，且 =x12＋2x2－1，则k的值为 .
x2
x1
x1
x2
＋
2
±
17
整合提升
已知关于x的一元二次方程:x2－2x－3m2=0．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根为α，β，且α＋2β=5，求m的值
(1)
证明：
∴Δ=
b2－4ac
∵a=1，
b=－2，
c=－3m2，
=(－2)2
－4(－3m2)
=4＋12m2
∵对于任意实数m，
总有m2≥0，
∴ 4＋12m2＞0.
∴方程总有两个不相等的实数根.
∵α＋β=2，
∴ α=－1，
β=3.
(2)
∴Δ＞0，
∵αβ=－3m2，
α＋2β=5，
∴ m2=1.
∴ m= ± 1.
作业布置
今天作业
课本P40页第3、4、5题
谢谢
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