2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册6.4.3 余弦定理 同步练习 （有答案）

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6.4.3 余弦定理
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝6，c＝4，sin ＝，则b＝(　　)
A．9 B．36 C．6 D．6
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值是(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若(a＋c－b)(a＋c＋b)＝ac，则B的大小为(　　)
A. B. C. D.
4．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且acos B＋bcos A＝2，cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin(A＋C)＝－，则向量在向量上的投影数量为(　　)
A. B．－ C. D．－
5．在△ABC中，∠A＝，AB＝2，BC边上的中线AD的长度为，则AC＝(　　)
A．1 B. C．2 D.
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是(　　)
A．若b2＋c2－a2>0，则△ABC为锐角三角形
B．若△ABC为钝角三角形，则b2＋c2－a2<0
C．若acos A＝bcos B，则△ABC为等腰直角三角形
D．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC只有一个
7. （多选）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角B可以是（ ）
A． B． C． D．
8. （多选）在中，已知为的中点，E为的中点，与相交于点M，下列结论中正确的是（ ）
A．点M为的重心 B．
C． D．
9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b2＋c2＝2a2，则cos A的最小值为________．
10．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，则AC边上的中线长为________．
11．[课标全国Ⅱ文2020·17，12分]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2(＋A)＋cos A＝.
(1)求A；
(2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形．
12. 在中，三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.
易错点1　忽视构成三角形的条件而致错
13．已知△ABC的三条边的长度分别为4米、5米、6米，将三边都截掉x米后，剩余的部分组成一个钝角三角形，则x的取值范围是(　　)
A．(0，5) B．(1，5)
C．(1，3) D．(1，4)
易错点2　不能正确利用隐含条件而致错
14．在不等边三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a为最大边，若a2答案及解析
1．【答案】D
【详解】∵sin＝，∴cos B＝1－2sin2＝1－2×＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝62＋42－2×6×4×＝36，解得b＝6.故选D.
2．【答案】C
【详解】根据题意，由余弦定理可得
c＝
＝＝3.
因为a>b>c，所以A>B>C，即A为最大角．
因此cos A＝＝＝－.故选C.
3．【答案】B
【详解】∵(a＋c－b)(a＋c＋b)＝(a＋c)2－b2＝a2＋c2－b2＋2ac＝ac，
∴a2＋c2－b2＝－ac，则cos B＝＝－.又B∈(0，π)，∴B＝.故选B.
4．【答案】B
【详解】由cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin(A＋C)＝－，
得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，
则cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－.又acos B＋bcos A＝2，根据余弦定理得，a·＋b·＝2，解得c＝2，故向量在向量上的投影数量为||cos A＝c·cos A＝2×＝－.故选B.
5．【答案】A
【详解】设AC＝x，BC＝2y，由AD为BC边上的中线，则CD＝y，BD＝y.
在△ACD中，由余弦定理得x2＝＋y2－2··y·cos∠ADC，
在△ABD中，由余弦定理得4＝＋y2－2··y·cos∠ADB，
由cos∠ADC＝－cos∠ADB，可得x2＋4＝＋2y2，即2y2＝x2＋.①
在△ABC中，由余弦定理得(2y)2＝x2＋4－2×2×x×cos ，将①式代入可得x2＋2x－3＝0，解得x＝1或x＝－3(舍)，即AC＝1，故选A.
6．【答案】D
【详解】对于A，由b2＋c2－a2>0，可得cos A＝>0，只能说明A为锐角，不能说明B和C的大小，故不能得到△ABC是锐角三角形，A错误；对于B，若△ABC为钝角三角形，但不确定哪个角是钝角，若角A为锐角，则b2＋c2－a2>0，
若角A为钝角，则b2＋c2－a2<0，B错误；
对于C，acos A＝bcos B，由余弦定理可得a·＝b·，两边同乘2abc可得，a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，展开得(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝64＋100－80＝84，因为b>0，所以b＝2 ，故符合条件的△ABC只有1个，D正确．
故选D.
7. 【答案】AB
【详解】，
当且仅当时等号成立，
所以，
所以AB选项正确，CD选项错误.
故选：AB
8. 【答案】ABD
【详解】对于A，由重心的概念，三角形中线的交点为三角形的重心，故A正确；
对于B，中，已知，E为的中点，可得,
,根据选项A，由重心的性质可知,从而可知，故B正确；
对于C，在中，由余弦定理，
有，故C不正确；
对于D，由选项C，在中，由余弦定理，
.
故选：ABD
9．【答案】
【详解】在△ABC中，由余弦定理可知cos A＝≥＝＝，当且仅当b＝c＝a时，等号成立．
10．【答案】7
【详解】由已知及余弦定理可得cos A＝＝＝.设中线长为x，由余弦定理得x2＝＋AB2－2··AB·cos A＝42＋92－2×4×9×＝49，即x＝7.所以AC边上的中线长为7.
11．【答案】(1)【解】因为cos2＋cos A＝，
所以sin2A＋cos A＝，
即1－cos2A＋cos A＝，解得cos A＝.
又0(2)【证明】由(1)知cos A＝＝，即b2＋c2－a2＝bc.①
又b－c＝a，②
所以将②代入①得，b2＋c2－3(b－c)2＝bc，
整理可得2b2－5bc＋2c2＝0，
解得b＝2c或b＝.
又因为b－c＝a>0，所以b＝2c，
所以a＝c，故b2＝a2＋c2，
所以△ABC是直角三角形．
13. 【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）依题意，由余弦定理得，
，由正弦定理得，
，，
，由于，所以，则
由于，所以，则，
所以或（舍去），
所以.
（2）由于，所以为锐角，即，
而，即.
，
令，，
，
所以在区间上，递增；
在区间上递减.
，
所以，
所以的取值范围是.
13．【答案】C
【详解】根据题意，将三边都截掉x米后，三角形的三边长分别为(4－x)米、(5－x)米、(6－x)米，且0∵4－x＞0，5－x＞0，6－x＞0，
cos α＝<0，
∴1＜x＜4.
∵4－x＋5－x＞6－x，
∴x<3，∴1＜x＜3，
故x的取值范围是(1，3)．故选C.
14．【答案】{A|60°【详解】∵a20，则cos A＝>0.
∴A＜90°.又∵a为最大边，∴A＞60°.
故A的取值范围是{A|60°第 page number 页，共 number of pages 页
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