2023年3月河北省普通高中学业水平合格性考试模拟（二）数学试题（有解析）

2023年3月河北省普通高中学业水平合格性考试
数学模拟试卷（二）
一、选择题（本题共30小题，每题3分，共90分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知函数（），其中，若方程恰好有3个不同解，，（），则与的大小关系为（ ）
A. 不能确定 B. C. D.
2. 已知集合，，若，则实数的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 已知某圆柱体的底面半径为，高为，则该圆柱体的侧面的面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 某学校有男生400人，女生600人．为调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（ ）．
A. B. C. D.
5. 若复数z满足，其中是虚数单位，则的值为（ ）
A. B. 2 C. D. 3
6. 已知平行四边形中，，，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7. 若，则（ ）
A. B. C. D.
8. “”是“”（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 以下给出了4个函数式：①；②；③；④.其中最小值为4 的函数共有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
10. 已知集合，，若，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 下列统计量可用于度量样本，，......，离散程度的是（ ）
A. ，，......，的众数 B. ，，......，的中位数
C. ，，......，的极差 D. ，，......，的平均数
12. 已知向量，满足，，，则（ ）
A B. C. D.
13. 定义在R上的偶函数在上是减函数，则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
14. 已知实数，，满足，则下列不等式中不可能成立的是（ ）
A. B. C. D.
15. 已知R是实数集，集合，则下图中阴影部分表示的集合是（ ）
A. B.
C. D.
16. 复数满足，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
17. 如图，某几何体平面展开图为6个小正方形组合而成的图形，则在原几何体中AB与CD所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
18. 已知复数，则（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 2
19. 向量是的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
20. 设集合，，则（ ）
A B. C. D.
21. 已知，则函数的最小值是（ ）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
22. 下表为随机数表的一部分：
08015 17727 45318 22374 21115 78253
77214 77402 43236 00210 45521 64237
已知甲班有位同学，编号为号，规定：利用上面的随机数表，从第行第列的数开始，从左向右依次读取个数，则抽到的第位同学的编号是（ ）
A. B. C. D.
23. 某校对高一新生进行体能测试（满分100分），高一（1）班有40名同学成绩恰在内，绘成频率分布直方图（如图所示），从中任抽2人的测试成绩，恰有一人的成绩在内的概率是（ ）
A. B. C. D.
24. 已知三棱锥的棱，，两两互相垂直，，以顶点为球心，1为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到的交线最长为（ ）
A. B. C. D.
25. 若函数对恒有意义，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
26. 已知复数z在复平面内对应的点为，z是的共轭复数，则=（ ）
A. B. C. D.
27. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
28. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．则投篮结束时，乙只投了1个球的概率为（ ）
A. B. C. D.
29. 新中国成立至今，我国一共进行了7次全国人口普查，历次普查得到的全国人口总数如图1所示，城镇人口比重如图2所示.下列结论不正确的是（ ）
A. 与前一次全国人口普查对比，第五次总人数增长量高于第四次总人数增长量
B. 对比这7次全国人口普查的结果，我国城镇人口数量逐次递增
C. 第三次全国人口普查城镇人口数量低于2亿
D. 第七次全国人口普查城镇人口数量超过第二次全国人口普查总人口数
30. 已知，则大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、解答题（本题共1题，共10分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
31. 已知，，分别求
（1）
（2）
（3）的取值范围.
2023年3月河北省普通高中学业水平合格性考试
数学模拟试卷（二）
一、选择题（本题共30小题，每题3分，共90分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知函数（），其中，若方程恰好有3个不同解，，（），则与的大小关系为（ ）
A. 不能确定 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，得到（极大值），（极小值），（极大值），（极小值）．再分三种情况讨论结合数形结合分析得解.
【详解】，．
当时，，
即，
当时，，
若，则，；
若，则，，
又，∴，
又（极大值），（极小值），（极大值），
（极小值）．
要使恰好有3个不同解，结合图象得：
①当，即时，得，不存在这样的示数．
②当，即时，解得，
此时，又因为与关于对称，
∴，∴．
③当，即时，解得．
此时，，是方程的两实根，
所以，而，所以.
故选：A．
【点睛】方法点睛：研究函数的零点问题常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数得到分析函数的图象即得解）. 数形结合是高中数学的一种重要数学思想，要注意灵活运用，提高解题效率.
2. 已知集合，，若，则实数的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由交集的结果，根据及集合的性质，即可求的值.
【详解】由，而，故，
故选：B.
3. 已知某圆柱体的底面半径为，高为，则该圆柱体的侧面的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据侧面积公式求解即可
【详解】由题意，则该圆柱体的侧面的面积为
故选：D
4. 某学校有男生400人，女生600人．为调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用均值的计算公式以及方差的计算公式，准确运算，即可求解.
【详解】由题意，总体的均值为，
根据分层抽样的性质，可得总体的方差为：
.
故选：D
5. 若复数z满足，其中是虚数单位，则的值为（ ）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由已知得，设，化简计算可得.
【详解】因为，所以，故设，则，所以.
故选：B.
6. 已知平行四边形中，，，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设点的坐标为，根据题意可得出，结合平面向量的坐标运算可求得点的坐标.
【详解】设点的坐标为，则，即，解得，即.
故选：C
7. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式得到，再利用二倍角公式计算得到答案.
【详解】，故，.
故选：B
8. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】由不等式性质由得，充分性满足，但，时，满足，但不满足，不必要．应为充分不必要条件．
故选：A．
9. 以下给出了4个函数式：①；②；③；④.其中最小值为4 的函数共有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的性质可判断③符合题意，根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出①④符合题意，②不符合题意．
【详解】对于①，因为，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，①符合题意；
对于②，，函数定义域为，而且，如当，，②不符合题意．
对于③，，当且仅当时取等号，所以其最小值为4，③符合题意；
对于④，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，④符合题意.
所以一共有个.
故选：B
10. 已知集合，，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据可求得，再求即可.
【详解】因为集合，，
且，则有，
或，
则.
故选：B.
11. 下列统计量可用于度量样本，，......，离散程度的是（ ）
A. ，，......，的众数 B. ，，......，的中位数
C. ，，......，的极差 D. ，，......，的平均数
【答案】C
【解析】
【分析】利用众数、中位数、极差、平均数的定义以及含义分析即可求解.
【详解】解：众数是指统计分布上具有明显集中趋势的数值，代表数据的一般水平；中位数是统计数据中选取中间的数，是一种衡量集中趋势的数值；极差是用来表示统计资料中的变异数量，反应的是最大值与最小值之间的差距，刻画一组数据的离散程度；平均数是反应数据的平均水平是一种衡量集中趋势的数值.
故选：C
12 已知向量，满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据模长公式求出，进而求出，再利用模长公式进行求解.
【详解】因为，所以，
所以，则，
所以，
即．
故选：C．
13. 定义在R上的偶函数在上是减函数，则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据偶函数定义，将自变量转化到区间上，利用单调性比较大小即可.
【详解】因为为偶函数，所以，，又，且在上是减函数，所以.
故选：A
14. 已知实数，，满足，则下列不等式中不可能成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，得到，所以，，分别令，和，结合选项，得到正确，即可求解.
【详解】由题意，实数满足，可得，所以，，
当时，，，此时，故B可能成立；
当时，，，此时，故A可能成立；
当时，，，此时，故C可能成立；
所以由排除法得D不可能成立．
故选：D.
15. 已知R是实数集，集合，则下图中阴影部分表示的集合是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简集合A，B，根据给定的韦恩图，结合补集、交集的定义求解作答.
【详解】依题意，，
由韦恩图知，阴影部分表示的集合是，而或，
所以.
故选：D
16. 复数满足，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的几何意义求解即可.
【详解】复数满足，其对应的点是以原点为圆心，为半径的圆上的点，
复数几何意义是复数对应的点到点的距离，
所以的最大值为，
故选：D.
17. 如图，某几何体的平面展开图为6个小正方形组合而成的图形，则在原几何体中AB与CD所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先得出该几何体的直观图，再由以及等边三角形的性质得出AB与CD所成角.
【详解】该平面展开图为正方体的平面展开图，该几何体的直观图如图所示，把AB平移到DE位置，则为AB与CD所成的角，连接CE，易知为等边三角形，所以.
故选：C.
18. 已知复数，则（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法运算可得答案.
【详解】，因此．
故选：B.
19. 向量是的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】利用数量积的定义判断即可
【详解】由题意，向量垂直是对非零向量而言的，故充分性不成立；
若，则，，故
因此必要性成立
故向量是的充要条件
故选：B
20. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用集合的交集运算求解.
【详解】因为集合，，
所以，
故选：C
21. 已知，则函数的最小值是（ ）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本不等式可求得最小值．
【详解】∵，∴，
当且仅当，即时等号成立．∴的最小值是6．
故选：B．
22. 下表为随机数表的一部分：
08015 17727 45318 22374 21115 78253
77214 77402 43236 00210 45521 64237
已知甲班有位同学，编号为号，规定：利用上面的随机数表，从第行第列的数开始，从左向右依次读取个数，则抽到的第位同学的编号是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据随机数表法读取出前位同学的编号，由此可得出结果.
【详解】从第行第列的数开始，从左向右依次读取个数，读取前位同学的有效编号为、、、、、、、，
因此，抽到的第位同学的编号是.
故选：A.
23. 某校对高一新生进行体能测试（满分100分），高一（1）班有40名同学成绩恰在内，绘成频率分布直方图（如图所示），从中任抽2人的测试成绩，恰有一人的成绩在内的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据频率分布直方图得到内有2人，内有4人，然后列举出所有的基本事件，用古典概型求概率的公式求概率即可.
【详解】由频率分布直方图知内有2人，不妨记为a，b；在内有4人，不妨记为1，2，3，4.从6人中任取2人的基本事件为，共15个，事件“恰有一人的成绩在内”的基本事件有8个，所以所求的概率为.
故选：B.
24. 已知三棱锥的棱，，两两互相垂直，，以顶点为球心，1为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到的交线最长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件可得球与三棱锥的表面的交线均为以点为顶点，半径为，圆心角为的圆弧，然后利用等体积法算出点到平面的距离，然后可得球与表面的交线为以的中心为圆心，半径为的圆，然后可得答案.
【详解】因为三棱锥的棱，，两两互相垂直，，
所以球与三棱锥的表面的交线均为以点为顶点，半径为，圆心角为的圆弧，其长度为，
设点到平面的距离为，
因为，所以是边长为的等边三角形，
由可得，解得，
所以球与表面的交线为以的中心为圆心，半径为的圆，其长度为，
因为，
所以以顶点为球心，1为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到的交线最长为，
故选：D
25. 若函数对恒有意义，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数函数以及基本不等式求出的取值范围即可．
【详解】由题意得：对恒成立，
即恒成立，
令，当且仅当即时，有最小值，
故，
故选：．
26. 已知复数z在复平面内对应的点为，z是的共轭复数，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意，再根据复数代数形式的除法运算法则计算可得；
【详解】解：由题知，则，所以.
故选：D.
27. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数与对数函数的性质，得到且，令，设，结合函数的单调性与最值，得出，即可求解.
【详解】根据指数函数与对数函数的性质，可得，即，
，，所以且
令，因为，所以，
设，则函数在上为单调递增函数，
所以，
因为且，所以，
所以，所以，
所以.
故选：D.
28. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．则投篮结束时，乙只投了1个球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，乙只投了1个球包括甲未投进乙投进结束，甲未投进乙未投进甲再投投进结束两个互斥事件的和，由互斥事件的和的概率及独立事件同时发生的概率求解.
【详解】设，分别表示甲、乙在第k次投篮时投中，则，，（，2），记“投篮结束时，乙只投了1个球”为事件D．
则
故选：B
29. 新中国成立至今，我国一共进行了7次全国人口普查，历次普查得到的全国人口总数如图1所示，城镇人口比重如图2所示.下列结论不正确的是（ ）
A. 与前一次全国人口普查对比，第五次总人数增长量高于第四次总人数增长量
B. 对比这7次全国人口普查的结果，我国城镇人口数量逐次递增
C. 第三次全国人口普查城镇人口数量低于2亿
D. 第七次全国人口普查城镇人口数量超过第二次全国人口普查总人口数
【答案】C
【解析】
【分析】对于A，计算出第五次总人数增长量和第四次总人数增长量即可判断；
对于B，由题意可得我国城镇人口数量逐次递增即可判断；
对于C，计算出第三次全国人口普查城镇人口数即可判断；
对于D,计算出第七次全国人口普查城镇人口数即可判断.
【详解】解：对于A,与前一次全国人口普查对比，第五次总人数增长量为万，第四次总人数增长量为万，故A正确.；
对于B，对比这7次全国人口普查结果，人口总数以及城镇人口比重都在增长，所以我国城镇人口数量逐次递增，故B正确；
对于C，第三次全国人口普查城镇人口数约为万，故C不正确；
对于D,第七次全国人口普查城镇人口数约为万，D正确.
故选：C.
30. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数的单调性进行判断即可.
【详解】，因为函数是实数集上的增函数，
所以由可得：，即，
故选：C
二、解答题（本题共1题，共10分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
31. 已知，，分别求
（1）
（2）
（3）的取值范围.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】利用不等式的性质进行求解（1）（2）（3）即可.
（1）
，而，
所以有
（2）
；
【小问3详解】
，而，
所以有.