广东省汕头市龙湖实验中学2022-2023学年九年级下学期开学考试数学试题（含答案）

汕头市龙湖实验中学2022-2023学年度下学期开学测评卷
初三数学
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
2．如果是一元二次方程的解，那么的值是( )
A．0 B．2 C．6 D．
3．卡塔尔世界杯足球赛中，“运动员梅西射门一次，成功进球得分”这事件是( )
A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．随机事件
4．已知函数的图像如图所示，则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．
第4题 第5题 第6题
5．如图，在中，，，分别是边，，上的点，，，且，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，将绕点A逆时针旋转得，若点在线段的延长线上，则的度数为( )
A． B． C． D．
7．如图，点P是反比例函数图像上的一点，轴于F点，且面积为4．若点也是该图像上的一点，则m的值为( )
A．－2 B．－4 C．2 D．4
8．如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．20
第7题 第8题 第9题
9．如图，菱形的边长为2，，以为圆心的弧与边、相切，则阴影部分的面积为( )
　　A． B． C． D．
10．如图，已知，在正方形中，，以点B为圆心，1为半径作，点P在上移动，连接．将绕点A逆时针旋转至，连接．在点P移动过程中，长度的最小值是( )
　　A． B． C． D．3
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．平面直角坐标系中，一点关于原点的对称点的坐标是_________．
12．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度为，水面宽为，则输水管的半径为______．
第12题 第13题 第15题
13．在平行四边形中，点E是边上一点，且，交对角线于点F，则与的面积比值为_____________．
14．已知二次函数的图象上有两点，，则___________（填“>”“<”或“=”）
15．如图，已知A1,A2,A3,…An,…是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=An 1An…=1，分别过点A1,A2,A3,…An,…作x轴的垂线交反比例函数y= (x>0)的图象于点B1,B2,B3,…,Bn,…，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△BnPnBn+1的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+Sn=______________.
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16．计算：．
17．如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合．
(1)求证：；
(2)若，直接写出的度数：_____________．
18． 如图，等腰中，．
(1)利用尺规作以为直径的，与的交点记为点D，与的交点记为点E，连接；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在所作的图形中，试说明：．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．为引导学生知史爱党、知史爱国，西南大学附属中学组织全校学生进行“党史知识”竞赛，该校学生处随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格，并绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)学生处一共随机抽取了_______名学生的竞赛成绩；在扇形统计图中，表示“一般”的扇形圆心角的度数为__________；
(2)将条形统计图补充完整：
(3)学生处决定从本次竞赛成绩前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加全市“党史知识”竞赛，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．
20．年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢．某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店年月的“冰墩墩”销量为万件，年月的“冰墩墩”销量为万件．
(1)求该店“冰墩墩”销量月到月的月平均增长率；
(2)该零售店月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价元的“冰墩墩”按每件元出售，每天可销售件，在此基础上售价每涨元，那么每天的销售量就会减少件，若在售价不高于115元，商店在确保盈利的情况下如何确定售价，才能使每天销售“冰墩墩”的利润最大？最大利润是多少元？
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点在轴上，且，求点的坐标；
(3)当时，自变量的取值范围为 ．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．已知，如图，是的直径，点为上一点，作弦于点，交于点，过点作直线交的延长线于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
23．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．
直线经过点B，C
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴直线与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由；
（3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
汕头市龙湖实验中学2022-2023学年下学期开学测评卷答案
初三数学
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( B )
A． B． C． D．
2．如果是一元二次方程的解，那么的值是( D )
A．0 B．2 C．6 D．
3．卡塔尔世界杯足球赛中，“运动员梅西射门一次，成功进球得分”这事件是( D )
A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．随机事件
4．已知函数的图像如图所示，则下列结论正确的是( D )
A． B．
C． D．
第4题 第5题 第6题
5．如图，在中，，，分别是边，，上的点，，，且，那么的值为（ A ）
A． B． C． D．
6．如图，将绕点A逆时针旋转得，若点在线段的延长线上，则的度数为( A )
A． B． C． D．
7．如图，点P是反比例函数图像上的一点，轴于F点，且面积为4．若点也是该图像上的一点，则m的值为( D )
A．－2 B．－4 C．2 D．4
8．如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ B ）
A．5 B．10 C．12 D．20
第7题 第8题 第9题
9．如图，菱形的边长为2，，以为圆心的弧与边、相切，则阴影部分的面积为( B )
　　A． B． C． D．
10．如图，已知，在正方形中，，以点B为圆心，1为半径作，点P在上移动，连接．将绕点A逆时针旋转至，连接．在点P移动过程中，长度的最小值是( A )
　　A． B． C． D．3
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．平面直角坐标系中，一点关于原点的对称点的坐标是_____．
12．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度为，水面宽为，则输水管的半径为___10___．
第12题 第13题 第15题
13．在平行四边形中，点E是边上一点，且，交对角线于点F，则与的面积比值为________9_____．
14．已知二次函数的图象上有两点，，则______<_____（填“>”“<”或“=”）
15．如图，已知A1,A2,A3,…An,…是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=An 1An…=1，分别过点A1,A2,A3,…An,…作x轴的垂线交反比例函数y= (x>0)的图象于点B1,B2,B3,…,Bn,…，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△BnPnBn+1的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+Sn=______________.
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16．计算：．
解：原式
17．如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合．
(1)求证：；
(2)若，直接写出的度数：___30°___．
解：（1）证明：由旋转的性质可得：，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
18． 如图，等腰中，．
(1)利用尺规作以为直径的，与的交点记为点D，与的交点记为点E，连接；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在所作的图形中，试说明：．
（1）解：如图， 即为所求作．
（2）证明：，
，
∵四边形为的内接四边形，
，
又，
，
，
．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．为引导学生知史爱党、知史爱国，西南大学附属中学组织全校学生进行“党史知识”竞赛，该校学生处随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格，并绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)学生处一共随机抽取了____40___名学生的竞赛成绩；在扇形统计图中，表示“一般”的扇形圆心角的度数为_____108°_____；
(2)将条形统计图补充完整：
(3)学生处决定从本次竞赛成绩前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加全市“党史知识”竞赛，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．
解：（2）把条形统计图补充完整如下；
（3）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好选中甲和乙的结果有2种，
∴恰好选中甲和乙的概率为．
20．年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢．某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店年月的“冰墩墩”销量为万件，年月的“冰墩墩”销量为万件．
(1)求该店“冰墩墩”销量月到月的月平均增长率；
(2)该零售店月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价元的“冰墩墩”按每件元出售，每天可销售件，在此基础上售价每涨元，那么每天的销售量就会减少件，若在售价不高于115元，商店在确保盈利的情况下如何确定售价，才能使每天销售“冰墩墩”的利润最大？最大利润是多少元？
解：（1）设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为，
由题意可得，，
解得，舍去，
答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为
（2）设每件商品的涨价元，利润为元，
则每件商品的销售利润为元，每天的销售量为件，
依题意可得
，
由 得，
抛物线开口向下
当，利润最大元，
既当售价为元时，利润最大为元
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点在轴上，且，求点的坐标；
(3)当时，自变量的取值范围为 或 ．
（1）∵点在比例函数上，
∴，
∴，
∴；
∵点在反比例函数上，
∴，
∴，
∴点，
∵点，点经过一次函数，
∴，
解得：，
∴．
∴一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为：．
（2）如图，所示：
设点，
∵点在一次函数且与轴相交，
∴点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴点或．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．已知，如图，是的直径，点为上一点，作弦于点，交于点，过点作直线交的延长线于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
（1）证明：，
，
，
．
，
，
即，
是的半径，
是的切线；
（2）证明：连接，如图，
是的半径，，
，
，
，
，
．
；
（3）解：连接，如图，
由（2）知：，
，，
．
，
，
．
是的直径，
．
，
．
．
，
．
，
．
，，
．
23．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．
直线经过点B，C
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴直线与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由；
（3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1将C（0，5）B（5，0）代入
∴
解得
∴该抛物线的解析式为
（2）的为直角三角形，理由如下：
∵解方程=0，
则x1=1，x2=5
∴A（1，0），B（5，0）
∵抛物线的对称轴为直线x=3
∴△APB为等腰三角形
∵C的坐标为（5，0），B的坐标为（5，0）
∴OB=CO=5，即∠ABP=45°
∴∠ABP=45°，
∴∠APB=180°-45°-45°=90°
∴∠APC=180°-90°=90°
∴的为直角三角形；
（3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于，AC于E，
∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1
∴∠AM1B=2∠ACB
∵△ANB为等腰直角三角形．
∴AH=BH=NH=2
∴N（3，2）
设AC的函数解析式为y=kx+b
∵C(0，5)，A(1，0)
∴解得b=5，k=-5
∴AC的函数解析式为y=-5x+5
设EM1的函数解析式为y=x+n
∵点E的坐标为（）
∴=×+n，解得：n=
∴EM1的函数解析式为y=x+
∵解得
∴M1的坐标为（）；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2
设M2（a，-a+5）
则有：3=，解得a=
∴-a+5=
∴M2的坐标为（，）．
综上，M1（），M2（，）．