2013－2014学年度沪科版八年级下册第18章《一元二次方程》单元测试卷（详细解析+考点分析+名师点评）
文档属性
| 名称 | 2013－2014学年度沪科版八年级下册第18章《一元二次方程》单元测试卷（详细解析+考点分析+名师点评） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 44.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-03-14 14:22:01 | ||
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文档简介
2013-2014学年度沪科版八年级数学下册第17章
《一元二次方程》单元测试卷
一、填空题（每小题3分，共30分）
1．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根是 _________ ．
2．一元二次方程（m+1）x2+3x+m2﹣3m﹣4=0的一个根是0，则m= _________ ．
3．一元二次方程2x2+4x﹣1=0的二次项系数、一次项系数及常数项之和为 _________
4．某电子计算机厂今年1月生产计算机1200台，3月份上升到2700台，如果每月增长率不变，求每月增长率是多少？解：设每月增长率为x，依题意得方程 _________ ．
5．某种商品的进货价为每件a元，零售价为每件100元，若商品按零售价的80%降价销售，仍可获利20%（相对于进货价），则a= _________ 元．
6．设方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根为x1、x2，则x1+x2= _________ ．
7．已知关于x的方程x2﹣3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m的值为 _________ ．
8．已知方程x2﹣mx+6=0有两个相等的实数根，则m= _________ ．
9．若m，n是方程x2+2006x﹣1=0的两个实数根，则m2n+mn2﹣mn的值是 _________ ．
10．已知方程x2+kx﹣6=0的一个根为xl=2，则另一个根x2= _________ ，k= _________ ．
二、选择题（每题3分，共30分）
11．已知实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣1）=2，则x2+y2=（ ）
A． 2 B． ﹣1 C． 2或﹣1 D． ﹣2或1
12．若方程（m﹣1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A． m≠1 B． m≥0 C． m≥0且m≠1 D． m为任何实数
13．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（ ）
A． 有两个不相等的实数根 B． 有一个实数根
C． 有两个相等的实数根 D． 没有实数根
14．下列说法正确的是（ ）
A． 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0
B． 一元二次方程ax2+bx+c=0的根是
C． 方程x2=x的解是x=1
D． 方程x（x+3）（x﹣2）=0的根有三个
15．方程（x+1）2=4（x﹣2）2的解是（ ）
A． x=1 B． x=5 C． x1=1，x2=5 D． x1=1，x2=﹣2
16．一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为零的条件是（ ）
A． b2﹣4ac=0 B． b=0 C． c=0 D． c≠0
17．方程x4﹣5x2+6=0的根是（ ）
A． 6，1 B． 2，3 C． D．
18．某商品连续两次涨价10%后的价格为a元，那么商品的原价是（ ）
A． a×1.12元 B． 元 C． a×0.92元 D． 元
19．用一张80cm长，宽为60cm的薄钢片，在4个角上截去4个相同的边长为xcm的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子，为求出x，根据题意列方程并整理后得（ ）
A． x2﹣70x+825=0 B． x2+70x﹣825=0 C． x2﹣70x﹣825=0 D． x2+70x+825=0
20．若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（ ）
A． x2+3x﹣2=0 B． x2﹣3x+2=0 C． x2﹣2x+3=0 D． x2+3x+2=0
三、解答题（共40分）
21．（8分）解方程
（1）（x﹣1）2=4
（2）x2﹣2x﹣2=0
（3）x3﹣2x2﹣3x=0
（4）x2﹣4x+1=0（用配方法）
22．（6分）已知：x1、x2是关于x的方程x2+（2a﹣1）x+a2=0的两个实数根且（x1+2）（x2+2）=11，求a的值．
23．（12分）方程（m﹣2）+（m﹣3）x+5=0，当m取何值时是一元二次方程，并求此方程的解．
24．（14分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣1=0．
（1）试判断此一元二次方程根的存在情况；
（2）若方程有两个实数根x1和x2，且满足，求k的值．
详细解析+考点分析+名师点评
一、填空题（每小题3分，共30分）
1．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根是 1± ．
考点： 解一元二次方程-直接开平方法．
分析： 先将方程两边加2，再根据完全平方公式，将方程左边转化为完全平方的形式，再利用数的开方直接求解．
解答： 解：两边同时加1，得，x2﹣2x+1=2，整理得，（x﹣1）2=2，开方得x﹣1=±，即x1=1﹣，x2=1+．
点评： 本题先将方程转化为完全平方的形式，再开方．要注意（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”；（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体；（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
2．（3分）一元二次方程（m+1）x2+3x+m2﹣3m﹣4=0的一个根是0，则m= 4 ．
考点： 一元二次方程的解．
分析： 本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．把x=0代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．
解答： 解：（1）∵x=0是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得m2﹣3m﹣4=0，解此方程得到m1=4，m2=﹣1；（2）∵原方程是一元二次方程，∴二次项系数m+1≠0，即m≠﹣1；综合上述两个条件，m=4，
点评： 本题逆用一元二次方程解的定义易得出a的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件m﹣1≠0，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．
3．（3分）一元二次方程2x2+4x﹣1=0的二次项系数、一次项系数及常数项之和为 5
考点： 一元二次方程的定义．
分析： 一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．确定二次项系数，一次项系数，常数项以后即可求解．
解答： 解：根据题意，可得一元二次方程2x2+4x﹣1=0的二次项系数为2，一次项系数为4，及常数项为﹣1；则其和为2+4﹣1=5；故答案为5．
点评： 求一元二次方程2x2+4x﹣1=0的二次项系数、一次项系数及常数项之和，就是求当x=1时，代数式2x2+4x﹣1的值．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
4．（3分）某电子计算机厂今年1月生产计算机1200台，3月份上升到2700台，如果每月增长率不变，求每月增长率是多少？解：设每月增长率为x，依题意得方程 1200（1+x）2=2700 ．
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 增长率问题．
分析： 设每月增长率为x则二月份生产计算机的台数为1200（1+x）台，三月份生产计算机的台数为1200（1+x）2台，根据题意找出等量关系：三月份生产计算机的台数=2700，据此等量关系列出方程即可．
解答： 解：设每月增长率为x，依题意得：该方程为：1200（1+x）2=2700．
点评： 本题主要考查列一元二次方程，关键在于读懂题意，找出合适的等量关系列出方程．
5．（3分）某种商品的进货价为每件a元，零售价为每件100元，若商品按零售价的80%降价销售，仍可获利20%（相对于进货价），则a= 元．
考点： 一元一次方程的应用．
专题： 销售问题．
分析： 实际售价为：100×80%，按进价提高20%为（1+20%）a，为获利20%，两式相等．
解答： 解：依题意得：（1+20%）a=100×80%解得a=（元）．
点评： 本题考查了进价与获利，标价与降价之间的等量关系，是近年来中考常考题型，需要熟练掌握．
6．（3分）设方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根为x1、x2，则x1+x2= 3/2 ．
考点： 根与系数的关系．
专题： 计算题．
分析： 设方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根为x1、x2，所以直接利用一元二次方程的根与系数的关系即可求解．
解答： 解：∵方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2=．故答案为：
点评： 此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，比较简单，直接利用结论即可求解．
7．（3分）已知关于x的方程x2﹣3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m的值为 2 ．
考点： 根与系数的关系．
分析： 设方程x2﹣3x+m=0的两根是a，b，又a=2b，根据它和根与系数的关系可以得到关于a，b，m的方程，解方程即可求出m的值．
解答： 解：设方程x2﹣3x+m=0的两根是a，b，又a=2b，∴a+b=3b=3，可得b=1，则a=2．故a b=m=2．故填空答案：2．
点评： 本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系即韦达定理，两根之和是，两根之积是．
8．（3分）已知方程x2﹣mx+6=0有两个相等的实数根，则m= ±2 ．
考点： 根的判别式．
专题： 计算题．
分析： 根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，即可求出m的值．
解答： 解：∵方程有两个相等实数根，∴△=0，即（﹣m）2﹣4×1×6=0，∴m=±2．故答案为：±2．
点评： 此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式意义是解本题的关键．
9．（3分）若m，n是方程x2+2006x﹣1=0的两个实数根，则m2n+mn2﹣mn的值是 2007 ．
考点： 根与系数的关系．
分析： 由根与系数的关系，求得两根之和与两根之积，代入m2n+mn2﹣mn，求其值．
解答： 解：∵m，n是方程x2+2006x﹣1=0的两个实数根，∴m+n=﹣2006，mn=﹣1，∴m2n+mn2﹣mn=mn（m+n）﹣mn=mn（m+n﹣1）=﹣1×（﹣2006﹣1）=2007．
点评： 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，比较简单，是基础知识，要识记．
10．（3分）已知方程x2+kx﹣6=0的一个根为xl=2，则另一个根x2= ﹣3 ，k= 1 ．
考点： 一元二次方程的解；根与系数的关系．
分析： 已知方程x2+kx﹣6=0的一个根为xl=2，设另一根是x2，运用根与系数的关系即可列方程组，求解即可．
解答： 解：已知方程x2+kx﹣6=0的一个根为xl=2，设另一根是x2，则x2 x1=﹣6，x1+x2=﹣k，则另一个根x2=﹣3，k=1．
点评： 本题主要考查了韦达定理（根与系数的关系），即两根之和等于一次项的相反数；两根之积等于常数项．是一个基础题．
二、选择题（每题3分，共30分）
11．（3分）已知实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣1）=2，则x2+y2=（ ）
A． 2 B． ﹣1 C． 2或﹣1 D． ﹣2或1
考点： 换元法解一元二次方程．
分析： 设x2+y2=m，用换元法将原方程转化为关于m的一元二次方程，解方程求m即可．
解答： 解：设x2+y2=m，则原方程可化为m（m﹣1）=2m2﹣m﹣2=0，解得m1=2，m2=﹣1，因为x2+y2=m≥0，所以x2+y2=2．故选A．
点评： 本题考查了换元法解方程的思想，要注意所求代数式的意义，把x2+y2看作一个整体，求得两个值2和﹣1，要注意把不合题意的值舍去．
12．（3分）若方程（m﹣1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A． m≠1 B． m≥0 C． m≥0且m≠1 D． m为任何实数
考点： 一元二次方程的定义；二次根式有意义的条件．
分析： 一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．结合二次根式有意义的条件，被开方数是非负数即可求得．
解答： 解：根据题意得：解得：m≥0且m≠1．故选C．
点评： 本题主要考查两个知识点：一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件，特别要注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了．
13．（3分）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（ ）
A． 有两个不相等的实数根 B． 有一个实数根
C． 有两个相等的实数根 D． 没有实数根
考点： 根的判别式．
分析： 要判断方程x2﹣4x+4=0的根的情况就要求出方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．
解答： 解：∵a=1，b=﹣4，c=4，∴△=16﹣16=0，∴方程有两个相等的实数根．故选C．
点评： 总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．
14．（3分）下列说法正确的是（ ）
A． 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0
B． 一元二次方程ax2+bx+c=0的根是
C． 方程x2=x的解是x=1
D． 方程x（x+3）（x﹣2）=0的根有三个
考点： 解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；解一元二次方程-公式法．
专题： 计算题．
分析： 前两种说法都忽视了一元二次方程的一般形式中二次项系数不能为0的特点；第三种说法忽视了（0）2=0；解方程x（x+3）（x﹣2）=0有三个根，即﹣3，2，0，则D是正确的．
解答： 解：A、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0，但要强调a≠0，所以，A错误；B、忽视了一元二次方程的有解的条件，即a≠0且b2﹣4ac≥0，所以，B错误；C、方程x2=x可化简为x2﹣x=0，解得：x=0或1，所以，C错误；D、方程x（x+3）（x﹣2）=0，即x=0或x=﹣3或x=2，所以，D正确；故本题选D．
点评： 本题主要考查了一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），以及对一元二次方程的解的正确理解，特别注意二次项系数a≠0．
15．（3分）方程（x+1）2=4（x﹣2）2的解是（ ）
A． x=1 B． x=5 C． x1=1，x2=5 D． x1=1，x2=﹣2
考点： 解一元二次方程-直接开平方法．
分析： 根据方程表示x+1与2（x﹣2）的平方相等，则这两个数相等或互为相反数，据此即可把所求方程转化为两个一元一次方程求解．
解答： 解：原方程可化为：（x+1）2=[2（x﹣2）]2，x+1=±2（x﹣2），即x+1=2x﹣4或x+1=﹣2x+4，解得x1=5，x2=1；故选C．
点评： 解一元二次方程的基本思想是降次，就是把二次方程转化为一元一次方程．
16．（3分）一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为零的条件是（ ）
A． b2﹣4ac=0 B． b=0 C． c=0 D． c≠0
考点： 一元二次方程的解．
分析： 将x=0代入已知方程，求得c=0．
解答： 解：根据题意知，x=0满足关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，则c=0．故选C．
点评： 本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义：就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
17．（3分）方程x4﹣5x2+6=0的根是（ ）
A． 6，1 B． 2，3 C． D．
考点： 解一元二次方程-因式分解法．
专题： 换元法．
分析： 设x2=t，即可把原方程转化为关于t的一元二次方程，把原方程化为两个一元二次方程，然后逐一进行解答．
解答： 解：设x2=t，则原方程可以变形为t2﹣5t+6=0，解得t=2或3．∴x2=2或x2=3．解得x=或x=．故选C．
点评： 本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．本题中要注意是个四次方程，最后的解有四个．
18．（3分）某商品连续两次涨价10%后的价格为a元，那么商品的原价是（ ）
A． a×1.12元 B． 元 C． a×0.92元 D． 元
考点： 列代数式．
专题： 销售问题．
分析： 设商品的原价为x元，则根据题意确定等量关系，列出方程，根据方程表示x即可．
解答： 解：设商品的原价为x元，由题意得，x（1+10%）2=a，则x=（元）．故选B．
点评： 本题考查了根据实际问题列代数式，要注意题中的“大”，“小”，“增加”，“减少”，“倍”，“倒数”，“几分之几”等词语与代数式中的加，减，乘，除的运算间的关系．
19．（3分）用一张80cm长，宽为60cm的薄钢片，在4个角上截去4个相同的边长为xcm的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子，为求出x，根据题意列方程并整理后得（ ）
A． x2﹣70x+825=0 B． x2+70x﹣825=0 C． x2﹣70x﹣825=0 D． x2+70x+825=0
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 几何图形问题．
分析： 本题设在4个角上截去4个相同的边长为xcm的小正方形，则可得出长方体的盒子底面的长和宽，根据底面积为1500cm2，即长与宽的积是1500cm2，列出方程化简．
解答： 解：设在4个角上截去4个相同的边长为xcm的小正方形，则得出长方体的盒子底面的长为：80﹣2x，宽为：60﹣2x，又底面积为1500cm2所以（80﹣2x）（60﹣2x）=1500，整理得：x2﹣70x+825=0故选：A．
点评： 本题要注意读清题意，找出等量关系．
20．（3分）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（ ）
A． x2+3x﹣2=0 B． x2﹣3x+2=0 C． x2﹣2x+3=0 D． x2+3x+2=0
考点： 根与系数的关系．
分析： 解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2．
解答： 解：两个根为x1=1，x2=2则两根的和是3，积是2．A、两根之和等于﹣3，两根之积却等于﹣2，所以此选项不正确．B、两根之积等于2，两根之和等于3，所以此选项正确．C、两根之和等于2，两根之积却等3，所以此选项不正确．D、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确．故选B．
点评： 验算时要注意方程中各项系数的正负．
三、解答题（共40分）
21．（8分）解方程
（1）（x﹣1）2=4
（2）x2﹣2x﹣2=0
（3）x3﹣2x2﹣3x=0
（4）x2﹣4x+1=0（用配方法）
考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法．
专题： 计算题．
分析： （1）利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程来求解；（2）找出a，b及c的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解；（3）方程左边提取x变形后，分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；（4）常数项移到右边，两边加上4变形后，利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程来求解．
解答： 解：（1）开方得：x﹣1=±2，∴x1=3，x2=﹣1．（2）这里a=1，b=﹣2，c=﹣2，∵△=4+8=12，∴x==1±，∴x1=1+，x2=1﹣；（3）分解因式得：x（x2﹣2x﹣3）=0，即x（x﹣3）（x+1）=0，∴x1=0，x2=3，x3=﹣1；（4）x2﹣4x+1=0，变形得：x2﹣4x+4﹣4+1=0，即（x﹣2）2=3，∴x﹣2=或x﹣2=﹣，∴x1=2+，x2=2﹣．
点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，以及配方法，熟练掌握解方程的方法是解本题的关键．
22．（6分）已知：x1、x2是关于x的方程x2+（2a﹣1）x+a2=0的两个实数根且（x1+2）（x2+2）=11，求a的值．
考点： 根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式．
分析： 欲求a的值，代数式（x1+2）（x2+2）=x1x2+2（x1+x2）+4，根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积或两根之和，代入即可得到关于a的方程，即可求a的值．
解答： 解：∵x1、x2是方程x2+（2a﹣1）x+a2=0的两个实数根，∴x1+x2=1﹣2a，x1 x2=a2，∵（x1+2）（x2+2）=11，∴x1x2+2（x1+x2）+4=11，∴a2+2（1﹣2a）﹣7=0，即a2﹣4a﹣5=0，解得a=﹣1，或a=5．又∵△=（2a﹣1）2﹣4a2=1﹣4a≥0，∴a≤．∴a=5不合题意，舍去．∴a=﹣1．
点评： 将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
23．（12分）方程（m﹣2）+（m﹣3）x+5=0，当m取何值时是一元二次方程，并求此方程的解．
考点： 一元二次方程的定义．
分析： 一元二次方程就是含有一个未知数，并且最高项的次数是2的整式方程，依据定义即可判断．
解答： 解：解之得m=3此时方程为x2+5=0，即x2=﹣5，则方程无实数解．
点评： 方程是一元二次方程要注意两个条件：①二次项系数不为0；②最高项次数为2．注意两个条件必须同时成立．
24．（14分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣1=0．
（1）试判断此一元二次方程根的存在情况；
（2）若方程有两个实数根x1和x2，且满足，求k的值．
考点： 根的判别式；根与系数的关系．
分析： （1）计算一元二次方程的根的判别式△的值的符号后，再根据根的判别式与根的关系求解；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系和已知条件，以及+=，建立关于k的方程，求得k的值．
解答： 解：（1）∵△=（2k﹣1）2﹣4（﹣k﹣1）=4k2﹣4k+1+4k+4=4k2+5＞0，∴此一元二次方程有两个不相等的实数根；（2）由一元二次方程根与系数的关系可知：x1+x2=1﹣2k，x1 x2=﹣k﹣1，∵∴x1+x2=x1 x2即1﹣2k=﹣k﹣1解得k=2．
点评： 本题考查的是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，及根与系数的关系，需同学们熟练掌握．
《一元二次方程》单元测试卷
一、填空题（每小题3分，共30分）
1．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根是 _________ ．
2．一元二次方程（m+1）x2+3x+m2﹣3m﹣4=0的一个根是0，则m= _________ ．
3．一元二次方程2x2+4x﹣1=0的二次项系数、一次项系数及常数项之和为 _________
4．某电子计算机厂今年1月生产计算机1200台，3月份上升到2700台，如果每月增长率不变，求每月增长率是多少？解：设每月增长率为x，依题意得方程 _________ ．
5．某种商品的进货价为每件a元，零售价为每件100元，若商品按零售价的80%降价销售，仍可获利20%（相对于进货价），则a= _________ 元．
6．设方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根为x1、x2，则x1+x2= _________ ．
7．已知关于x的方程x2﹣3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m的值为 _________ ．
8．已知方程x2﹣mx+6=0有两个相等的实数根，则m= _________ ．
9．若m，n是方程x2+2006x﹣1=0的两个实数根，则m2n+mn2﹣mn的值是 _________ ．
10．已知方程x2+kx﹣6=0的一个根为xl=2，则另一个根x2= _________ ，k= _________ ．
二、选择题（每题3分，共30分）
11．已知实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣1）=2，则x2+y2=（ ）
A． 2 B． ﹣1 C． 2或﹣1 D． ﹣2或1
12．若方程（m﹣1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A． m≠1 B． m≥0 C． m≥0且m≠1 D． m为任何实数
13．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（ ）
A． 有两个不相等的实数根 B． 有一个实数根
C． 有两个相等的实数根 D． 没有实数根
14．下列说法正确的是（ ）
A． 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0
B． 一元二次方程ax2+bx+c=0的根是
C． 方程x2=x的解是x=1
D． 方程x（x+3）（x﹣2）=0的根有三个
15．方程（x+1）2=4（x﹣2）2的解是（ ）
A． x=1 B． x=5 C． x1=1，x2=5 D． x1=1，x2=﹣2
16．一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为零的条件是（ ）
A． b2﹣4ac=0 B． b=0 C． c=0 D． c≠0
17．方程x4﹣5x2+6=0的根是（ ）
A． 6，1 B． 2，3 C． D．
18．某商品连续两次涨价10%后的价格为a元，那么商品的原价是（ ）
A． a×1.12元 B． 元 C． a×0.92元 D． 元
19．用一张80cm长，宽为60cm的薄钢片，在4个角上截去4个相同的边长为xcm的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子，为求出x，根据题意列方程并整理后得（ ）
A． x2﹣70x+825=0 B． x2+70x﹣825=0 C． x2﹣70x﹣825=0 D． x2+70x+825=0
20．若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（ ）
A． x2+3x﹣2=0 B． x2﹣3x+2=0 C． x2﹣2x+3=0 D． x2+3x+2=0
三、解答题（共40分）
21．（8分）解方程
（1）（x﹣1）2=4
（2）x2﹣2x﹣2=0
（3）x3﹣2x2﹣3x=0
（4）x2﹣4x+1=0（用配方法）
22．（6分）已知：x1、x2是关于x的方程x2+（2a﹣1）x+a2=0的两个实数根且（x1+2）（x2+2）=11，求a的值．
23．（12分）方程（m﹣2）+（m﹣3）x+5=0，当m取何值时是一元二次方程，并求此方程的解．
24．（14分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣1=0．
（1）试判断此一元二次方程根的存在情况；
（2）若方程有两个实数根x1和x2，且满足，求k的值．
详细解析+考点分析+名师点评
一、填空题（每小题3分，共30分）
1．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根是 1± ．
考点： 解一元二次方程-直接开平方法．
分析： 先将方程两边加2，再根据完全平方公式，将方程左边转化为完全平方的形式，再利用数的开方直接求解．
解答： 解：两边同时加1，得，x2﹣2x+1=2，整理得，（x﹣1）2=2，开方得x﹣1=±，即x1=1﹣，x2=1+．
点评： 本题先将方程转化为完全平方的形式，再开方．要注意（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”；（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体；（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
2．（3分）一元二次方程（m+1）x2+3x+m2﹣3m﹣4=0的一个根是0，则m= 4 ．
考点： 一元二次方程的解．
分析： 本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．把x=0代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．
解答： 解：（1）∵x=0是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得m2﹣3m﹣4=0，解此方程得到m1=4，m2=﹣1；（2）∵原方程是一元二次方程，∴二次项系数m+1≠0，即m≠﹣1；综合上述两个条件，m=4，
点评： 本题逆用一元二次方程解的定义易得出a的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件m﹣1≠0，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．
3．（3分）一元二次方程2x2+4x﹣1=0的二次项系数、一次项系数及常数项之和为 5
考点： 一元二次方程的定义．
分析： 一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．确定二次项系数，一次项系数，常数项以后即可求解．
解答： 解：根据题意，可得一元二次方程2x2+4x﹣1=0的二次项系数为2，一次项系数为4，及常数项为﹣1；则其和为2+4﹣1=5；故答案为5．
点评： 求一元二次方程2x2+4x﹣1=0的二次项系数、一次项系数及常数项之和，就是求当x=1时，代数式2x2+4x﹣1的值．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
4．（3分）某电子计算机厂今年1月生产计算机1200台，3月份上升到2700台，如果每月增长率不变，求每月增长率是多少？解：设每月增长率为x，依题意得方程 1200（1+x）2=2700 ．
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 增长率问题．
分析： 设每月增长率为x则二月份生产计算机的台数为1200（1+x）台，三月份生产计算机的台数为1200（1+x）2台，根据题意找出等量关系：三月份生产计算机的台数=2700，据此等量关系列出方程即可．
解答： 解：设每月增长率为x，依题意得：该方程为：1200（1+x）2=2700．
点评： 本题主要考查列一元二次方程，关键在于读懂题意，找出合适的等量关系列出方程．
5．（3分）某种商品的进货价为每件a元，零售价为每件100元，若商品按零售价的80%降价销售，仍可获利20%（相对于进货价），则a= 元．
考点： 一元一次方程的应用．
专题： 销售问题．
分析： 实际售价为：100×80%，按进价提高20%为（1+20%）a，为获利20%，两式相等．
解答： 解：依题意得：（1+20%）a=100×80%解得a=（元）．
点评： 本题考查了进价与获利，标价与降价之间的等量关系，是近年来中考常考题型，需要熟练掌握．
6．（3分）设方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根为x1、x2，则x1+x2= 3/2 ．
考点： 根与系数的关系．
专题： 计算题．
分析： 设方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根为x1、x2，所以直接利用一元二次方程的根与系数的关系即可求解．
解答： 解：∵方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2=．故答案为：
点评： 此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，比较简单，直接利用结论即可求解．
7．（3分）已知关于x的方程x2﹣3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m的值为 2 ．
考点： 根与系数的关系．
分析： 设方程x2﹣3x+m=0的两根是a，b，又a=2b，根据它和根与系数的关系可以得到关于a，b，m的方程，解方程即可求出m的值．
解答： 解：设方程x2﹣3x+m=0的两根是a，b，又a=2b，∴a+b=3b=3，可得b=1，则a=2．故a b=m=2．故填空答案：2．
点评： 本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系即韦达定理，两根之和是，两根之积是．
8．（3分）已知方程x2﹣mx+6=0有两个相等的实数根，则m= ±2 ．
考点： 根的判别式．
专题： 计算题．
分析： 根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，即可求出m的值．
解答： 解：∵方程有两个相等实数根，∴△=0，即（﹣m）2﹣4×1×6=0，∴m=±2．故答案为：±2．
点评： 此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式意义是解本题的关键．
9．（3分）若m，n是方程x2+2006x﹣1=0的两个实数根，则m2n+mn2﹣mn的值是 2007 ．
考点： 根与系数的关系．
分析： 由根与系数的关系，求得两根之和与两根之积，代入m2n+mn2﹣mn，求其值．
解答： 解：∵m，n是方程x2+2006x﹣1=0的两个实数根，∴m+n=﹣2006，mn=﹣1，∴m2n+mn2﹣mn=mn（m+n）﹣mn=mn（m+n﹣1）=﹣1×（﹣2006﹣1）=2007．
点评： 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，比较简单，是基础知识，要识记．
10．（3分）已知方程x2+kx﹣6=0的一个根为xl=2，则另一个根x2= ﹣3 ，k= 1 ．
考点： 一元二次方程的解；根与系数的关系．
分析： 已知方程x2+kx﹣6=0的一个根为xl=2，设另一根是x2，运用根与系数的关系即可列方程组，求解即可．
解答： 解：已知方程x2+kx﹣6=0的一个根为xl=2，设另一根是x2，则x2 x1=﹣6，x1+x2=﹣k，则另一个根x2=﹣3，k=1．
点评： 本题主要考查了韦达定理（根与系数的关系），即两根之和等于一次项的相反数；两根之积等于常数项．是一个基础题．
二、选择题（每题3分，共30分）
11．（3分）已知实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣1）=2，则x2+y2=（ ）
A． 2 B． ﹣1 C． 2或﹣1 D． ﹣2或1
考点： 换元法解一元二次方程．
分析： 设x2+y2=m，用换元法将原方程转化为关于m的一元二次方程，解方程求m即可．
解答： 解：设x2+y2=m，则原方程可化为m（m﹣1）=2m2﹣m﹣2=0，解得m1=2，m2=﹣1，因为x2+y2=m≥0，所以x2+y2=2．故选A．
点评： 本题考查了换元法解方程的思想，要注意所求代数式的意义，把x2+y2看作一个整体，求得两个值2和﹣1，要注意把不合题意的值舍去．
12．（3分）若方程（m﹣1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A． m≠1 B． m≥0 C． m≥0且m≠1 D． m为任何实数
考点： 一元二次方程的定义；二次根式有意义的条件．
分析： 一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．结合二次根式有意义的条件，被开方数是非负数即可求得．
解答： 解：根据题意得：解得：m≥0且m≠1．故选C．
点评： 本题主要考查两个知识点：一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件，特别要注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了．
13．（3分）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（ ）
A． 有两个不相等的实数根 B． 有一个实数根
C． 有两个相等的实数根 D． 没有实数根
考点： 根的判别式．
分析： 要判断方程x2﹣4x+4=0的根的情况就要求出方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．
解答： 解：∵a=1，b=﹣4，c=4，∴△=16﹣16=0，∴方程有两个相等的实数根．故选C．
点评： 总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．
14．（3分）下列说法正确的是（ ）
A． 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0
B． 一元二次方程ax2+bx+c=0的根是
C． 方程x2=x的解是x=1
D． 方程x（x+3）（x﹣2）=0的根有三个
考点： 解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；解一元二次方程-公式法．
专题： 计算题．
分析： 前两种说法都忽视了一元二次方程的一般形式中二次项系数不能为0的特点；第三种说法忽视了（0）2=0；解方程x（x+3）（x﹣2）=0有三个根，即﹣3，2，0，则D是正确的．
解答： 解：A、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0，但要强调a≠0，所以，A错误；B、忽视了一元二次方程的有解的条件，即a≠0且b2﹣4ac≥0，所以，B错误；C、方程x2=x可化简为x2﹣x=0，解得：x=0或1，所以，C错误；D、方程x（x+3）（x﹣2）=0，即x=0或x=﹣3或x=2，所以，D正确；故本题选D．
点评： 本题主要考查了一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），以及对一元二次方程的解的正确理解，特别注意二次项系数a≠0．
15．（3分）方程（x+1）2=4（x﹣2）2的解是（ ）
A． x=1 B． x=5 C． x1=1，x2=5 D． x1=1，x2=﹣2
考点： 解一元二次方程-直接开平方法．
分析： 根据方程表示x+1与2（x﹣2）的平方相等，则这两个数相等或互为相反数，据此即可把所求方程转化为两个一元一次方程求解．
解答： 解：原方程可化为：（x+1）2=[2（x﹣2）]2，x+1=±2（x﹣2），即x+1=2x﹣4或x+1=﹣2x+4，解得x1=5，x2=1；故选C．
点评： 解一元二次方程的基本思想是降次，就是把二次方程转化为一元一次方程．
16．（3分）一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为零的条件是（ ）
A． b2﹣4ac=0 B． b=0 C． c=0 D． c≠0
考点： 一元二次方程的解．
分析： 将x=0代入已知方程，求得c=0．
解答： 解：根据题意知，x=0满足关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，则c=0．故选C．
点评： 本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义：就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
17．（3分）方程x4﹣5x2+6=0的根是（ ）
A． 6，1 B． 2，3 C． D．
考点： 解一元二次方程-因式分解法．
专题： 换元法．
分析： 设x2=t，即可把原方程转化为关于t的一元二次方程，把原方程化为两个一元二次方程，然后逐一进行解答．
解答： 解：设x2=t，则原方程可以变形为t2﹣5t+6=0，解得t=2或3．∴x2=2或x2=3．解得x=或x=．故选C．
点评： 本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．本题中要注意是个四次方程，最后的解有四个．
18．（3分）某商品连续两次涨价10%后的价格为a元，那么商品的原价是（ ）
A． a×1.12元 B． 元 C． a×0.92元 D． 元
考点： 列代数式．
专题： 销售问题．
分析： 设商品的原价为x元，则根据题意确定等量关系，列出方程，根据方程表示x即可．
解答： 解：设商品的原价为x元，由题意得，x（1+10%）2=a，则x=（元）．故选B．
点评： 本题考查了根据实际问题列代数式，要注意题中的“大”，“小”，“增加”，“减少”，“倍”，“倒数”，“几分之几”等词语与代数式中的加，减，乘，除的运算间的关系．
19．（3分）用一张80cm长，宽为60cm的薄钢片，在4个角上截去4个相同的边长为xcm的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子，为求出x，根据题意列方程并整理后得（ ）
A． x2﹣70x+825=0 B． x2+70x﹣825=0 C． x2﹣70x﹣825=0 D． x2+70x+825=0
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 几何图形问题．
分析： 本题设在4个角上截去4个相同的边长为xcm的小正方形，则可得出长方体的盒子底面的长和宽，根据底面积为1500cm2，即长与宽的积是1500cm2，列出方程化简．
解答： 解：设在4个角上截去4个相同的边长为xcm的小正方形，则得出长方体的盒子底面的长为：80﹣2x，宽为：60﹣2x，又底面积为1500cm2所以（80﹣2x）（60﹣2x）=1500，整理得：x2﹣70x+825=0故选：A．
点评： 本题要注意读清题意，找出等量关系．
20．（3分）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（ ）
A． x2+3x﹣2=0 B． x2﹣3x+2=0 C． x2﹣2x+3=0 D． x2+3x+2=0
考点： 根与系数的关系．
分析： 解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2．
解答： 解：两个根为x1=1，x2=2则两根的和是3，积是2．A、两根之和等于﹣3，两根之积却等于﹣2，所以此选项不正确．B、两根之积等于2，两根之和等于3，所以此选项正确．C、两根之和等于2，两根之积却等3，所以此选项不正确．D、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确．故选B．
点评： 验算时要注意方程中各项系数的正负．
三、解答题（共40分）
21．（8分）解方程
（1）（x﹣1）2=4
（2）x2﹣2x﹣2=0
（3）x3﹣2x2﹣3x=0
（4）x2﹣4x+1=0（用配方法）
考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法．
专题： 计算题．
分析： （1）利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程来求解；（2）找出a，b及c的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解；（3）方程左边提取x变形后，分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；（4）常数项移到右边，两边加上4变形后，利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程来求解．
解答： 解：（1）开方得：x﹣1=±2，∴x1=3，x2=﹣1．（2）这里a=1，b=﹣2，c=﹣2，∵△=4+8=12，∴x==1±，∴x1=1+，x2=1﹣；（3）分解因式得：x（x2﹣2x﹣3）=0，即x（x﹣3）（x+1）=0，∴x1=0，x2=3，x3=﹣1；（4）x2﹣4x+1=0，变形得：x2﹣4x+4﹣4+1=0，即（x﹣2）2=3，∴x﹣2=或x﹣2=﹣，∴x1=2+，x2=2﹣．
点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，以及配方法，熟练掌握解方程的方法是解本题的关键．
22．（6分）已知：x1、x2是关于x的方程x2+（2a﹣1）x+a2=0的两个实数根且（x1+2）（x2+2）=11，求a的值．
考点： 根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式．
分析： 欲求a的值，代数式（x1+2）（x2+2）=x1x2+2（x1+x2）+4，根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积或两根之和，代入即可得到关于a的方程，即可求a的值．
解答： 解：∵x1、x2是方程x2+（2a﹣1）x+a2=0的两个实数根，∴x1+x2=1﹣2a，x1 x2=a2，∵（x1+2）（x2+2）=11，∴x1x2+2（x1+x2）+4=11，∴a2+2（1﹣2a）﹣7=0，即a2﹣4a﹣5=0，解得a=﹣1，或a=5．又∵△=（2a﹣1）2﹣4a2=1﹣4a≥0，∴a≤．∴a=5不合题意，舍去．∴a=﹣1．
点评： 将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
23．（12分）方程（m﹣2）+（m﹣3）x+5=0，当m取何值时是一元二次方程，并求此方程的解．
考点： 一元二次方程的定义．
分析： 一元二次方程就是含有一个未知数，并且最高项的次数是2的整式方程，依据定义即可判断．
解答： 解：解之得m=3此时方程为x2+5=0，即x2=﹣5，则方程无实数解．
点评： 方程是一元二次方程要注意两个条件：①二次项系数不为0；②最高项次数为2．注意两个条件必须同时成立．
24．（14分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣1=0．
（1）试判断此一元二次方程根的存在情况；
（2）若方程有两个实数根x1和x2，且满足，求k的值．
考点： 根的判别式；根与系数的关系．
分析： （1）计算一元二次方程的根的判别式△的值的符号后，再根据根的判别式与根的关系求解；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系和已知条件，以及+=，建立关于k的方程，求得k的值．
解答： 解：（1）∵△=（2k﹣1）2﹣4（﹣k﹣1）=4k2﹣4k+1+4k+4=4k2+5＞0，∴此一元二次方程有两个不相等的实数根；（2）由一元二次方程根与系数的关系可知：x1+x2=1﹣2k，x1 x2=﹣k﹣1，∵∴x1+x2=x1 x2即1﹣2k=﹣k﹣1解得k=2．
点评： 本题考查的是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，及根与系数的关系，需同学们熟练掌握．