2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册6.4.3 余弦定理、正弦定理—三角形面积问题 题型练习 （有答案）

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6.4.3 余弦定理、正弦定理—三角形面积问题
题型1　三角形面积的计算
1．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2 ，则△ABC的面积为(　　)　　　　　　　　　
A．4 B．4 C．2 D．2
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2－a2＝bc＝1，则△ABC的面积为(　　)
A. B. C. D.
3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.a＝1，b＝3，D是AB上的点，CD平分∠ACB，且cos ∠ACB＝csin A，则△ACD的面积为(　　)
A. B. C. D.
4．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos B＋sin B＝2，c＝2，则△ABC面积的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
题型2　利用三角形面积公式解三角形
5．在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，S△ABC＝，则C＝(　　)
A．60°或120° B．30°
C．60° D．45°
6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则角A＝(　　)
A. B.
C. D.
7．在钝角三角形ABC中，AB＝2，sin B＝，且S△ABC＝，则AC＝(　　)
A. B．2
C. D.或
8．(多选)[广东广州八校2022高一期中]如图，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(acos C＋ccos A)＝2bsin B，且∠CAB＝.若D是△ABC外一点，DC＝1，AD＝3，则下列说法中正确的是(　　)
A．△ABC的内角B＝
B．∠ACB＝
C．四边形ABCD面积的最大值为＋3
D．四边形ABCD的面积无最大值
[2020年1月中学生标准学术能力诊断性测试理科]已知△ABC的面积等于1.若BC＝1，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sin A＝________.
在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c.若S△ABC＝(a－b)，其外接圆半径R＝2，且4(sin2A－sin2B)＝(a－b)sin B，则sin＋sin＝________．
易错点1　忽视分类讨论而致误
11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin Bsin C＝sin A，△ABC的面积为，a＋b＝3 ，则c＝(　　)
A．3 B.或
C. D.或3
易错点2　忽视隐含条件而致误
12．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　)
A．5 B.
C．2 D．1
答案及解析
1．【答案】C
【详解】由余弦定理可得(2 )2＝AB2＋42－2×4·AB·cos 60°，整理得AB2－4AB＋4＝0，解得AB＝2，∴△ABC的面积S＝AC·AB·sin A＝×4×2×＝2 .故选C.
【栏目：规律方法】求三角形面积的方法：解三角形求出有关量，利用公式求面积，常用的面积公式为S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪个角就使用哪一个公式．
2．【答案】C
【详解】由b2＋c2－a2＝bc及余弦定理b2＋c2－a2＝2bccos A可得bc＝2bccos A，即cos A＝，所以sin A＝.因为bc＝1，所以S＝bcsin A＝×1×＝.故选C.
3．【答案】B
【详解】由正弦定理可知asin∠ACB＝csin∠BAC，
所以cos∠ACB＝csin∠BAC＝asin∠ACB＝sin∠ACB，
故tan∠ACB＝.
又∠ACB∈(0，π)，所以∠ACB＝.
由D是AB上的点，CD平分∠ACB及角平分线定理可知，＝＝＝3，故AD＝AB，即S△ACD＝S△ABC＝×ab×sin∠ACB＝××1×3×sin＝.
故选B.
4．【答案】B　
【解析】因为cos B＋sin B＝2，所以sin＝1，又B为锐角，所以B＝，所以A＋C＝.
根据正弦定理＝，
得a＝＝，
所以S△ABC＝acsin B＝a＝·＝
＝＝.
因为
所以，
所以0<<，<＋<2，所以<<2 ，
所以△ABC面积的取值范围为.故选B.
5．【答案】C
【详解】在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，S△ABC＝AB·ACsin A＝，可得sin A＝1.因为0°＜A＜180°，所以A＝90°.所以C＝180°－A－B＝60°.
6．【答案】C
【详解】由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，而三角形面积为bcsin A，
故＝bcsin A，
整理得到tan A＝－，又A∈(0，π)，故A＝.故选C.
7．【答案】C
【详解】依题意，可得S△ABC＝BC·AB·sin B＝，又AB＝2，sin B＝，
解得BC＝1.因为BC当C为钝角时，cos B＝＝.
由余弦定理可得AC＝＝，
此时cos C＝＝0.
因为C∈(0，π)，所以C＝，不符合题意．
当B为钝角时，cos B＝－＝－，
由余弦定理可得AC＝＝.故选C.
8．【答案】ABC
【详解】∵(acos C＋ccos A)＝2bsin B，∴由正弦定理可得(sin Acos C＋sin Ccos A)＝2sin2B，∴sin(A＋C)＝2sin2B，∴sin B＝2sin2B.又∵sin B ≠0，∴sin B＝.∵∠CAB＝，∴B∈，∴B＝，∴∠ACB＝π－∠CAB－B＝，因此A，B正确．四边形ABCD面积等于S△ABC＋S△ACD＝AC2＋AD·DC·sin∠ADC＝(AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC)＋AD·DC·sin∠ADC＝×(9＋1－6cos∠ADC)＋×3×1·sin∠ADC＝＋3sin(∠ADC－)≤＋3，当且仅当∠ADC－＝，即∠ADC＝时，等号成立，因此C正确，D错误．故选ABC.
9．【答案】
【详解】如图，记△ABC的内角∠BAC，∠ABC，∠ACB所对的三边分别为a，b，c，其上的高分别为ha，hb，hc，则△ABC的面积S＝bcsin∠BAC＝aha＝1.所以ha＝＝2，hb＝csin∠BAC，hc＝bsin∠BAC，则hahbhc＝2bcsin2∠BAC＝4sin∠BAC，则当三角形的三条高的乘积最大时，sin∠BAC取得最大值．设△ABC外接圆的半径为R，圆心为点O，由正弦定理得R＝，过点O作OM⊥BC于点M.因为OB＝OC，所以∠BOM＝∠COM.又因为∠BOC＝2∠BAC，所以∠BAC＝∠COM.在Rt△COM中，OM＝Rcos∠COM＝Rcos∠BAC，所以ha≤AO＋OM＝R＋Rcos∠BAC＝，即2≤，则(1＋cos∠BAC)2≥16sin2∠BAC＝16(1－cos2∠BAC)，解得cos∠BAC≥，则sin∠BAC＝≤，所以当sin∠BAC＝时，三角形的三条高的乘积取最大值．故当三角形的三条高的乘积取最大值时，sin A＝.
10．【答案】1
【详解】因为R＝2，所以sin A＝，sin B＝，又因为4(sin2A－sin2B)＝(a－b)sin B，所以a2－b2＝(a－b)b，即a＝b.
因为S△ABC＝(a－b)，
所以bcsin A＝c(a－b)，则sin A＝－1，
进而有sin B＝＝1－，于是＝(sin ＋cos )2
＝sin2＋cos2＋2sin ·cos
＝＋＋sin－sin
＝1－cos(A－B)＋cos(A＋B)＋sin A－sin B
＝1－sin Asin B＋sin A－sin B
＝1.
因为0所以sin ＋sin ＝1.
11．【答案】D
【详解】由正弦定理及sin Bsin C＝sin A得sin C＝＝，所以S△ABC＝absin C＝a2＝，解得a＝(负值舍去)．又a＋b＝3 ，所以b＝2 ，
则sin C＝＝，所以cos C ＝±＝±.
当cos C＝时，
c＝＝3；
当cos C＝－时，
c＝＝.
综上，c＝3或c＝，故选D.
12．【答案】B
【详解】由三角形面积公式，得S＝AB·BC·sin B＝.
又∵AB＝1，BC＝，∴sin B＝.
∵B∈(0，π)，∴B＝或B＝.由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B．当B＝时，得AC＝1，这时不符合△ABC为钝角三角形的要求，故舍去；当B＝时，得AC＝.故选B.
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