6.4 平面向量的应用 综合训练（含解析）

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6.4平面向量的应用综合训练
1．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝，b＝2，A＝45°，则B＝(　　)
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
2．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为350 N，则该学生的体重(单位：kg)约为(参考数据：取重力加速度大小为g≈10 m/s2，≈1.732)(　　)
A．55 B．61 C．66 D．71
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，b＝3，c＝4，则＝(　　)
A．1 B．－1 C．－2 D．2
4．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则AC的长为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
5．在100 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高是(　　)
A. m B. m
C. m D. m
6．已知O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A为(　　)
A．30° B．60° C．90° D．120°
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若＝，则△ABC一定是(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
8．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知(b－c)sin B＋csin C＝asin A，bcos C＋ccos B＝2，则△ABC面积的最大值为(　　)
A．1 B. C．2 D．2
9．△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若b＝，a2＋c2－ac＝b2，则2a＋c的最大值为(　　)
A．2 B．2
C．5＋ D．5－
10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝3c，角A的平分线交BC于点D，且BD＝，则cos∠ADB的值为(　　)
A．－ B.
C. D．±
11．(多选)《数书九章》是南宋时期著名的数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在某一卷中提出了“三斜求积”，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”即已知三角形三边a，b，c，求面积的公式．若把以上这段文字写成公式，即S＝.现有△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，且△ABC的面积S＝6 ，请运用上述公式判断下列结论正确的是(　　)
A．△ABC的周长为10＋2
B．△ABC三个内角A，B，C满足2C＝A＋B
C．△ABC外接圆的直径为
D．△ABC的中线CD的长为3
12．(多选)[福建师大附中等五校2022高一期中]如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得CD＝s.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有，∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是(　　)
A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC
B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD
C．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC
D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADB
13．某物体做斜抛运动，初速度的大小|v0|＝10 m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是________m/s.
14．[浙江A9协作体2022高一期中联考]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知c＝2 ，且2asin Ccos B＝asin A－bsin B＋bsin C，点O满足2＋＋＝0, 且cos ∠CAO＝，则△ABC的面积为________．
15．在△ABC中，D是BC边上一点，且B＝，＝，若D是BC的中点，则＝________；若AC＝4 ，则△ADC面积的最大值为________．
16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos C，2b－c)，n＝(cos A，a)，m∥n.
(1)求A；
(2)若△ABC的面积为8，且b2＋2a2＝4c2，求c的值．
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝sin C－cos C.
(1)求A；
(2)若b＝3 ，c＝2，点D在边BC上，且CD＝2DB，求线段AD的长．
18．如图，A，B是某海域位于南北方向相距15(1＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/时．
(1)求B，C两点间的距离．
(2)该救援船前往营救渔船时应该沿怎样的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？(角度精确到0.01°)
(参考数据：sin 21.79°≈0.37，cos 21.79°≈0.93)
19．在①b(1＋cos A)＝asin B，②bcos ＝asin B，③asin C＝ccos(A－)这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答．
△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知________(只需填序号)．
(1)求A；
(2)若a＝，b＋c＝4，求△ABC的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20．在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若M是BC的中点，且满足·＝4·.
(1)求cos C的最小值；
(2)若△ABC的面积为S，且满足S＝a2，求tan C的值．
答案及解析
1．【答案】D
【详解】由正弦定理知＝，
所以＝，解得sin B＝.
又b＞a，所以45°所以B＝60°或B＝120°.故选D.
2．【答案】B
【详解】如图，||＝||＝350，∠AOB＝60°，
作平行四边形OACB，则OACB是菱形，＝＋，
所以||＝2||sin 60°＝350 ，
所以||＝||＝350 .
因此该学生体重为≈≈61(kg)．故选B.
3．【答案】B
【详解】由题设及余弦定理可知cos C＝＝－.由正弦定理＝，得＝＝2.
则＝＝2×2×＝－1.
4．【答案】B
【详解】因为＝－＝－，所以结合题意可得 2＝＝2－·＋2＝5，则2＝1，所以||＝2，即AC＝2.
5．【答案】D
【详解】如图所示，山高为AB＝100，塔高为CD，
∠EBD，∠EBC分别为山下一塔顶与塔底的俯角，∠EBD＝30°，∠EBC＝60°，所以∠BCA＝60°，∠CBD＝30°.在Rt△ABC中，BC＝＝＝.在△BCD中，∠CBD＝∠BCD＝30°，∠BDC＝120°，由正弦定理得＝，CD＝＝(m)．所以塔高是 m．故选D.
6．【答案】A
【详解】由＋＋＝0，得＝－，两边平方得2＝2＋2－2··.因为||＝||＝||，所以||2＝2||||cos〈，〉，所以cos〈，〉＝.因为0°<∠BOC≤180°，所以∠BOC＝60°，所以A＝∠BOC＝30°.故选A.
7．【答案】D
【详解】由＝及余弦定理可得＝，
所以＝.
所以由正弦定理可得＝，所以sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B.
因为A，B为△ABC的内角，
所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
所以A＝B或A＋B＝，
所以△ABC一定是等腰三角形或直角三角形．故选D.
8．【答案】B　
【解析】因为(b－c)sin B＋csin C＝asin A，
所以b2－bc＋c2＝a2，所以cos A＝.
又A∈(0，π)，所以A＝.
因为bcos C＋ccos B＝2，
所以b·＋c·＝2，
所以a＝2.
由a2＝b2＋c2－2bccos A，
得4＝b2＋c2－bc≥bc，
即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时，取等号，
则S△ABC＝bcsin A＝bc≤，
所以△ABC面积的最大值为.
故选B.
9．【答案】A
【详解】由已知及余弦定理得cos B＝＝＝，又0由正弦定理知，＝＝＝2，则a＝2sin A，c＝2sin C，
所以2a＋c＝4sin A＋2sin C＝4sin＋2sin C＝4sin C＋2 cos C＝2 sin(C＋φ)，其中tan φ＝且φ∈.因为tan φ＝∈，所以φ∈，
又010．【答案】B
【详解】因为A＝60°，角A的平分线交BC于点D，所以∠CAD＝∠BAD＝30°.又b＝3c，所以＝＝＝＝3.因为BD＝，所以CD＝3 ，a＝CB＝4 .由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，所以112＝9c2＋c2－2×3c·c·，解得c＝4.在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin∠ADB＝.因为b＞c，所以B＞C.又因为∠ADB＝30°＋C，∠ADC＝30°＋B，所以∠ADB＜∠ADC，所以∠ADB为锐角，所以cos∠ADB＝.故选B.
11．【答案】ABC
【详解】由正弦定理可得a∶b∶c＝2∶3∶.设a＝2m，b＝3m，c＝m(m>0)，
∴S＝＝
m2＝6 ，解得m＝2，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝4＋6＋2 ＝10＋2 ，故A正确；由余弦定理得cos C＝＝＝，∵C∈(0，π)，∴C＝，∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝，∴2C＝A＋B，故B正确；由正弦定理知，△ABC外接圆的直径2R＝＝＝，故C正确；由中线定理得a2＋b2＝c2＋2CD2，即CD2＝×＝19，∴CD＝，故D错误．故选ABC.
12．【答案】ACD
【详解】对于A，已知s，∠ACB，∠BCD，∠BDC，
在△BCD中，利用三角形内角和为180°可求得∠CBD＝180°－∠BDC－∠BCD，
利用正弦定理＝，可求得BC.在△ABC中，AB⊥BC，由tan∠ACB＝，即可求得AB，因此A符合；
对于B，在△BCD中，已知一边CD，一角∠BCD，无法求解三角形．
在△ABC中，已知两角∠ABC＝90°，∠ACB，无法求解三角形．
在△ACD中，已知一边CD，一角∠ACD，无法求解三角形，因此B不符合；
对于C，在△ACD中，已知一边CD，两角∠ACD，∠ADC，由三角形内角和定理可求得∠CAD，由正弦定理可求得AC.
在△ABC中，已知两角∠ACB，∠ABC＝90°及一边AC，利用sin∠ACB＝，可求得AB，因此C符合；
对于D，在△ABC中，已知两角∠ABC＝90°，∠ACB，由tan∠ACB＝，可用AB表示BC，
在Rt△ABD中，由tan∠ADB＝，可用AB表示BD，在Rt△ABC中，由tan∠ACB＝，可用AB表示BC，在△BCD中，已知∠BCD，CD，用AB表示的BD，用AB表示的BC，然后利用余弦定理可建立关于AB的方程，即可求解AB，因此D符合．故选ACD.
13．【答案】5
【详解】设该物体在竖直方向上的速度为v1，水平方向上的速度为v2，如图所示．由向量的平行四边形法则以及直角三角形的知识可知，|v2|＝|v0|cos 60°＝10×＝5(m/s)，所以该物体在水平方向上的速度是5 m/s.
14．【答案】
【详解】因为2asin Ccos B＝asin A－bsin B＋bsin C，所以2ac·＝a2－b2＋bc，得c＝b.
因为c＝2 ，所以b＝4.
又2＋＋＝0，
所以＋＝2，
所以(＋)＋(＋)＝4，
所以＋＝4，
所以＝4－，
所以2＝162－8·＋2.
又cos∠CAO＝，
所以20＝16||2－8||×4×＋16，
化简得4||2－3||－1＝0，
解得||＝1或||＝－(舍去)，
所以S△AOC＝||·||sin∠CAO
＝×1×4×＝.
如图，设BC边的中点为D，则＋＝2，
又＋＝4，所以＝2，即O为AD的中点，
所以S△ABC＝4S△AOC＝4×＝.
15．【答案】　4 　
【解析】若D是BC的中点，则AD＝＝，B＝.
在△ABD中，由余弦定理可得AD2＝BD2＋AB2－2AB·BD·cos B，
即＝BD2＋AB2－2AB·BD×，整理得AB2－AB·BD＋BD2＝0，
即AB－BD＝0，所以AB＝BD.
在△ABC中，由余弦定理得AC2＝BC2＋AB2－2AB·BC·cos B＝4BD2＋BD2－2×BD×2BD×＝BD2，
即AC＝BD，所以＝＝.
若AC＝4 ，B＝，BD＝2AD，由上述知AB＝BD.
因为AD＝BD，所以AB2＋AD2＝BD2，所以DA⊥AB.
作AF⊥BC于点F，又∠ADB＝，
所以△ABC在BC边上的高为h＝＝BD＝AF，BF＝AB＝BD，
所以S△ADC＝AF·CD＝BD·CD.
因为AD＝BD，AC＝4 ，∠ADB＝，所以∠ADC＝.
在△ADC中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC，
即48＝BD2＋CD2＋BD·CD≥2·BD·CD＋BD·CD＝BD·CD，
当且仅当CD＝BD时，BD·CD有最大值，即BD·CD＝48，则BD·CD＝32，
此时S△ADC＝BD·CD＝×32＝4 .
16．【答案】(1)因为向量m＝(cos C，2b－c)，n＝(cos A，a)，m∥n，
所以acos C＝(2b－c)cos A.
由正弦定理得sin Acos C＝sin Bcos A－cos Asin C，
得sin(A＋C)＝sin Bcos A，即sin B＝sin Bcos A.
因为B∈(0，π)，则sin B＞0，
所以cos A＝.
又A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由(1)及余弦定理得bc＝b2＋c2－a2，又b2＋2a2＝4c2，
所以3b2－2c2－2 bc＝0，即(3b＋c)·(b－c)＝0.
因为b＞0，c＞0，所以b＝c.
又S△ABC＝bcsin A＝bc＝8，则c2＝16，所以c＝4.
17．【答案】(1)由已知及正弦定理得＝sin C－cos C，
可化为sin C－sin B＝sin Asin C－sin Acos C，
即sin C－sin(A＋C)＝sin Asin C－sin Acos C，
所以sin C－sin Acos C－sin Ccos A＝sin Asin C－sin Acos C.
因为C∈(0，π)，所以sin C＞0，所以－cos A＝sin A，
即sin＝1.
因为0＜A＜π，所以＜A＋＜，所以A＋＝，
故A＝.
(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝18＋4－12＝10，则a＝.
因为D在边BC上，且CD＝2DB，所以BD＝a＝.
又cos B＝＝－，所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B＝，所以AD＝.
18．【答案】(1)在△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝30°，则∠ACB＝105°，
sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝×＋×＝，
由正弦定理＝，得BC＝＝＝＝30，
故B，C两点间的距离为30海里．
(2)在△BCD中，∠DBC＝120°，由余弦定理得DC2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos∠DBC＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900，则DC＝70，
所以救援船到达C处需要的时间t＝＝1.75(时)．
由余弦定理可得cos D＝＝≈0.93.又D为锐角，
所以D＝21.79°，所以90°－21.79°＝68.21°.
故救援船前往营救渔船时应该沿南偏东68.21°方向航行，到达C处需要1.75小时．
19．【答案】(1)选①：由正弦定理及已知可得sin B(1＋cos A)＝sin Asin B，又B∈(0，π)，sin B≠0，
∴1＋cos A＝sin A，则sin＝，又0∴A－＝，即A＝.
选②：由正弦定理及已知可得sin Bcos ＝sin Asin B，
又B∈(0，π)，sin B≠0，
∴cos ＝sin A，
∴sin ＝2sin cos .
又∈，∴sin ≠0，
∴cos ＝.又0∴＝，即A＝.
选③：由正弦定理及已知可得sin Asin C＝sin Ccos，
又C∈(0，π)，sin C≠0，
∴sin A＝cos＝cos A＋sin A，则tan A＝.又0∴A＝.
(2)由(1)知cos A＝＝＝－1＝，可得bc＝3，
∴S△ABC＝bcsin A＝.
20．【答案】
【解】(1)由·＝4·，得
·＝4·(－)，
由余弦定理可得＝2(b2－c2)，即3b2＋a2＝5c2.
由余弦定理可得cos C＝＝＝＝
＋≥，当且仅当b＝a时取等号．
∴cos C的最小值为.
(2)由于S＝a2＝absin C，
从而a＝bsin C，
又3b2＋a2＝5c2，结合余弦定理可得a2＋b2＝a2＋b2－2abcos C，即a2＋b2－2abcos C＝0，
将a＝bsin C代入，得2＋－2×sin Ccos C＝0，
即sin 2C－sin Ccos C＋＝0，
从而3sin2C－5sin Ccos C＋2cos2C＝0，
又cos C≠0，则3tan2C－5tan C＋2＝0，
解得tan C＝1或tan C＝.
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