数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2.2 双曲线的简单几何性质（共22张ppt）

(共22张PPT)
3.2.2 双曲线的简单几何性质
标准方程
图 形
焦点坐标
双曲线定义
a、b、c 的关系
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹．
复习回顾
c2＝a2＋b2
思考：类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线的哪些几何性质？如何研究这些性质？
范围、对称性、顶点、离心率…
利用双曲线的标准方程研究双曲线的几何性质
以
(a＞0，b＞0)为例
1．范围
a
-a
O
x
F1
F2
y
于是双曲线上的点都满足不等式,
由双曲线的标准方程可知，
即,
所以或
双曲线在不等式所表示的区域内．
y
O
x
F1
F2
2．对称性
从图形上看：双曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形
①
轴
②
轴
③
原点
双曲线关于x轴、y轴和原点对称.坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
从方程上看：
3．顶点
观察双曲线，你觉得有哪些比较特殊的点？
双曲线与x轴的交点：
双曲线与y轴的交点：
y
O
x
A1
A2
F1
F2
y=b
y=-b
B2
B1
令
令得，
方程无实数根，则双曲线与y轴无交点.
双曲线的两个顶点坐标为，
双曲线的实轴：
双曲线的虚轴：
双曲线的焦距：
为实半轴长；
为虚半轴长；
为半焦距.
4．渐近线
活动：利用信息技术画出双曲线 和两条直线 .在双曲线的右支上取一点 ,测量点 的横坐标 以及它到直线 的距离 .沿曲线向右上方拖动点 ，观察 与 的大小关系，你发现了什么？
4．渐近线
经过, 作轴的平行线 ，经过, 作 轴的平行线，四条直线围成一个矩形 (如图)．
y
O
x
A1
A2
B2
B1
F1
F2
a
b
叫做双曲线的渐近线.
两条直线：
图像特征：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交.
4．渐近线
(a＞0, b＞0)的渐近线为
y
O
x
A1
A2
B2
B1
a
b
F1
F2
4．渐近线
这时双曲线方程为x2－y2＝a2，实轴长和虚轴长都为，渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角．
当a＝b时，实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫等轴双曲线.
利用渐近线画双曲线草图
⑴ 画出双曲线的渐近线；
⑵ 画出双曲线的顶点、第一象限内双曲线的大致图象；
⑶ 利用双曲线的对称性画出完整双曲线.
6．通径
双曲线的焦距与实轴长的比 ，
叫做双曲线的离心率．
因为 c ＞a＞0，
所以e＞1．
双曲线的离心率刻画了什么几何特征呢？
双曲线的离心率越大，它的张口就越大．
5．离心率
F1
F2
x
y
O
A
B
通径
例3 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
双曲线标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
范围
对称性
顶点
轴长
渐近线
离心率
（）
（）
关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
实轴长为，虚轴长为
直线
直线
（）
例4 双曲线冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m，试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）.
解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图所示的平面直角坐标系Oxy,使小圆的直径AA’在x轴上，圆心与原点重合.
设双曲线的方程为
因此所求曲线方程为
得19b2+275b-18150=0 ，解得b≈25
由方程②，得
代入方程①并化简
所以
C(13,y),B(25,y-55)
M
x
y
O
H
F
d
例5 点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数,求点的轨迹.
例6 如图所示，过双曲线的右焦点,倾斜角为30°的直线交双曲线于两点，求||.
F1
F2
x
y
O
A
B