2022年江苏省南京大学强基计划数学试卷（初试）（含解析）

2022年江苏省南京大学强基计划数学试卷（初试）
（附答案与详细解析）
一、填空题。
1．函数y＝的值域为　 　．
2．x∈（0，），求函数y＝sin2xcosx的最大值为 　 　．
3．已知x、y、z满足x+y+z＝1，则x2+4y2+9z2的最小值为 　 　．
4．在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，已知acosC﹣bcos2A＝asinAsinB﹣csinA，则tanA的值为 　 　．
5．若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是　 　．
6．已知向量，，满足||＝3，||＝2， ＝6，且（）（+2）＝0，则|+|最小值为 　 　．
7．已知直线y＝ax+2与三次曲线y＝x3﹣ax有三个不同交点，则a的取值范围为 　 　．
8．在棱长为6的正四面体ABCD中，M为面BCD上一点，且|AM|＝5，设异面直线AM与BC所成的角为α，则|cosα|最大值为 　 　．
9．方程x1+x2+x3+3x4+3x5+5x6＝7的非负整数解个数为 　 　．
10．设F，l为双曲线＝1的右焦点与右准线，椭圆Γ以F和为其对应的焦点及准线，过F作一条平行于y＝x的直线，交椭圆Γ于A，B两点，若Γ的中心位于以AB为直径的圆外，则椭圆离心率e的范围为 　 　．
2022年江苏省南京大学强基计划数学试卷（初试）
参考答案与试题解析
一、填空题。
1．函数y＝的值域为　[1，2]　．
【分析】求出函数的定义域，利用导数研究出函数的单调性，确定出最值的位置，求出相应的函数值，即可得到值域
【解答】解：∵y＝
∴解得4≤x≤5
又y′＝
令y′＞0解得，令y′＜0，得，故当函数取到最大值2
又x＝4时，y＝，x＝5时，y＝1
函数y＝的值域为[1，2]
故答案为[1，2]
【点评】本题考查求函数的值域，由于本题函数解析式比较特殊，单调性不易判断出，故采取了求导的方法研究函数的单调性，确定出函数最值的位置，求出值域，解答本题关键是熟练掌握求导公式，以及掌握导数法确定函数单调性的步骤．
2．x∈（0，），求函数y＝sin2xcosx的最大值为 　　．
【分析】由同角三角函数的平方关系，可得y＝cosx﹣cos3x，令t＝cosx∈（0，1），再求导，判断函数f（t）的单调性，然后求其最大值，即可．
【解答】解：y＝sin2xcosx＝（1﹣cos2x）cosx＝cosx﹣cos3x，
令t＝cosx，则f（t）＝t﹣t3，f'（t）＝1﹣3t2，
因为x∈（0，），所以t∈（0，1），
令f'（t）＝1﹣3t2＝0，则t＝±，
所以f（t）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，
所以f（t）max＝f（）＝，即函数y的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查利用导数求函数的最值，还涉及同角三角函数的平方关系，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
3．已知x、y、z满足x+y+z＝1，则x2+4y2+9z2的最小值为 　　．
【分析】直接利用柯西不等式的应用求出结果．
【解答】解：已知x、y、z满足x+y+z＝1，利用柯西不等式，
整理得，当且仅当x＝4y＝9z，即x＝，y＝，z＝，时，等号成立，
故x2+4y2+9z2的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：柯西不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
4．在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，已知acosC﹣bcos2A＝asinAsinB﹣csinA，则tanA的值为 　1　．
【分析】根据已知条件，结合正弦定理，以及三角函数的恒等变换公式，求出sinA＝cosA，即可求解．
【解答】解：∵acosC﹣bcos2A＝asinAsinB﹣csinA，
∴由正弦定理可得，sinAcosC﹣sinBcos2A＝sin2AsinB﹣sinCsinA，
∴sinAcosC+sinCsinA＝sinB（sin2A+cos2A）＝sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，
∴sinCsinA＝cosAsinC，
∵sinC≠0，
∴sinA＝cosA，
∴tanA＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于基础题．
5．若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是　[4，+∞）或（﹣∞，0]　．
【分析】由题意可知＝＝＝++2．由此可知的取值范围．
【解答】解：在等差数列中，a1+a2＝x+y；在等比数列中，xy＝b1 b2．
∴＝＝＝++2．
当x y＞0时，+≥2，故≥4；
当x y＜0时，+≤﹣2，故≤0．
答案：[4，+∞）或（﹣∞，0]
【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细思考．
6．已知向量，，满足||＝3，||＝2， ＝6，且（）（+2）＝0，则|+|最小值为 　　．
【分析】先根据||＝3，||＝2， ＝6求出，的夹角θ，建立直角坐标系，设＝（x，y），根据（）（+2）＝0得到的终点的轨迹是以（﹣2，﹣）为圆心，为半径的圆，再根据||＝表示的是圆（x+2）2+（y+）2＝上的点到点（﹣2，﹣2）的最小值，进而求解即可．
【解答】解：设，的夹角为θ，根据 ＝||||cosθ＝6，解得，则θ＝45°．
以方向为x轴正方向建立如下图坐标系：
则，，设＝（x，y），则，，
因为（）（+2）＝0，所以（3+x）（2+2x）+y（2+2y）＝0，整理得到（x+2）2+（y+）2＝，
所以的终点的轨迹是以（﹣2，﹣）为圆心，为半径的圆．
因为，所以||＝，表示的是圆（x+2）2+（y+）2＝上的点到点（﹣2，﹣2）的最小值，
经验证（﹣2，﹣2）在圆外，故最大值为点（﹣2，﹣2）到圆心的距离减去半径的长度．
点（﹣2，﹣2）到圆心的距离d＝＝，
则|+|最小值为＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积和图形的几何意义，属于中档题．
7．已知直线y＝ax+2与三次曲线y＝x3﹣ax有三个不同交点，则a的取值范围为 　（，+∞）　．
【分析】利用分离参数法，构造函数，再对函数求导，求得函数的单调性，再分析a的范围即可．
【解答】解：依题设得ax+2＝x3﹣ax，即x3＝2ax+2有三个不同的解．显然x≠0，于是．
记，则．
所以f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）及（0，+∞）上单调递增，
，，
由图像知2a＞3，解得a，
故答案为：（，+∞）．
【点评】本题考查导数的应用，考查学生的运算能力，属于难题．
8．在棱长为6的正四面体ABCD中，M为面BCD上一点，且|AM|＝5，设异面直线AM与BC所成的角为α，则|cosα|最大值为 　　．
【分析】过点A作底面BCD的垂线为AH，H为垂足，连接DH，推导出AM是以AH为旋转轴的圆锥的母线，且M所在的底面圆周半径r＝1，由最小角定理知，AM与BC所成角α的最小值为AM与面BCD所成线面角，由此能求出结果．
【解答】解：过点A作底面BCD的垂线为AH，H为垂足，连接DH，
DH＝＝2，AH＝＝2，
∵AM＝5，∴AM是以AH为旋转轴的圆锥的母线，
且M所在的底面圆周半径r＝1，
由最小角定理知，AM与BC所成角α的最小值为：
AM与面BCD所成线面角，
即当α最小时，（cosα）max＝．
故答案为：．
【点评】本题考查线面角的定义、最小角定理、旋转的性质、正四面体的结构特征、圆锥的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9．方程x1+x2+x3+3x4+3x5+5x6＝7的非负整数解个数为 　42　．
【分析】讨论六个字母的取值，通过分类讨论，分别求解即可．
【解答】解：方程x1+x2+x3+3x4+3x5+5x6＝7的非负整数解，
令a＝x1+x2+x3，b＝x4+x5，c＝x6，可知c∈{0，1}，b∈{0，3，6}，a∈{0，1，2，3，4，5，6，7}，
又a+3b+5c＝7，a＝7，则非负整数解个数为3组；
a＝6，非负整数解个数为0组；
a＝5，非负整数解个数为0组；
a＝4，x1、x2、x3，取值为：0，0，4；0，1，3；0，2，2；1，1，2四种类型，x6为0，x4，x5为0，1，
非负整数解个数为2×（3+6+3+3）＝30组；
a＝3，非负整数解个数为0组；
a＝2，x1、x2、x3，取值为：0，0，2；0，1，1；x6为1，x4，x5为0，0，
非负整数解个数为3+3＝6组；
a＝1，x1、x2、x3，取值为：0，0，1；x6为0，x4，x5为3，3，
非负整数解个数为3组；
a＝0，非负整数解个数为0组；
共有：3+30+6+3＝42．
故答案为：42．
【点评】本题考查不定方程解的公式问题，排列组合的实际应用，是难题．
10．设F，l为双曲线＝1的右焦点与右准线，椭圆Γ以F和为其对应的焦点及准线，过F作一条平行于y＝x的直线，交椭圆Γ于A，B两点，若Γ的中心位于以AB为直径的圆外，则椭圆离心率e的范围为 　＜e＜1　．
【分析】根据定义求得椭圆Γ的焦准距，设椭圆中心为O，建立平面直角坐标系，联立直线AB和椭圆Γ，利用韦达定理与向量法即可求解．
【解答】解：由双曲线方程可知其焦准距为：3，
则椭圆Γ的焦准距＝3（同侧焦点和准线），
如图，设椭圆中心为O，建立平面直角坐标系，
设Γ：＝1（a＞b＞0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
设直线AB方程：y＝（x+c），
联立直线AB和椭圆Γ可得：（b2+3a2）x2+6a2cx+3a2c2﹣a2b2＝0，
由韦达定理得：，
由椭圆中心O位于以AB为直径的圆外，
则有：＞0 x1x2+y1y2＞0，
代入韦达定理：+＞0，
所以4a4﹣10a2c2+3c4＜0，
即，3e4﹣10e2+4＜0，
解得：＜e＜1．
故答案为：＜e＜1．
【点评】本题考查双曲线和椭圆的性质，主要考查了离心率的范围和直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．