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课 题 三角函数的诱导公式 第 1 课时
课 型 新授课 主备人 时间
教学目标 1．通过本节内容的教学，使学生掌握180 +，-，180 -，360 －角的正弦、余弦的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；3．通过公式二、三、四、五的探求，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质．
教学重点 诱导公式
教学难点 诱导公式的应用
一、复习引入：公式一: （其中）用弧度制可写成 （其中）诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0 ―360 之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在0 ―360 内找出与角终边相同的角，再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果。这组公式可以统一概括为的形式，其特征是：等号两边是同名函数，且符号都为正。由这组公式还可以看出，三角函数是“多对一”的单值对应关系，明确了这一点，为今后学习函数的周期性打下基础。运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成，是不对的．二、讲解新课： 公式二： 用弧度制可表示如下： 它刻画了角180 +与角的正弦值（或余弦值）之间的关系，这个关系是：以角终边的反向延长线为终边的角的正弦值（或余弦值）与角的正弦值（或余弦值）是一对相反数．这是因为若设的终边与单位圆交于点P( x，y)，则角终边的反向延长线，即180 +角的终边与单位圆的交点必为P (-x，-y)（如图4-5-1）．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y， cos=x,sin(180 +)=-y, cos(180 +)=-x, 所以 :sin(180 +)=-sin，cos(180 +)=-cos．公式三： 它说明角-与角的正弦值互为相反数，而它们的余弦值相等．这是因为，若没的终边与单位圆交于点P(x，y)，则角-的终边与单位圆的交点必为P (x，-y)（如图4-5-2）．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y， cos=x,sin(-)=-y, cos(-)=x, 所以：sin(-)= -sin, cos(-)= cosα公式二、三的获得主要借助于单位圆及正弦函数、余弦函数的定义．根据点P的坐标准确地确定点P 的坐标是关键，这里充分利用了对称的性质．事实上，在图1中，点P 与点P关于原点对称，而在图2中，点P 与点P关于x轴对称．直观的对称形象为我们准确写出P 的坐标铺平了道路，体现了数形结合这一数学思想的优越性．公式四： 用弧度制可表示如下： 公式五： 这两组公式均可由前面学过的诱导公式直接推出（公式四可由公式二、三推出，公式五可由公式一、三推出），体现了把未知问题化为已知问题处理这一化归的数学思想．公式的推导并不难，然而推导中的化归意识和策略是值得我们关注的．五组诱导公式可概括为：+k·360 （k∈Z），-，180 ±，360 -的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号．这里的“同名三角函数值”是指等号两边的三角函数名称相同；“把看成锐角”是指原本是任意角，这里只是把它视为锐角处理；“前面加上一个……符号”是指的同名函数值未必就是最后结果，前面还应添上一个符号（正号或负号，主要是负号，正号可省略），而这个符号是把任意角视为锐角情况下的原角原函数的符号．应注意讲清这句话中每一词语的含义，特别要讲清为什么要把任意角α看成锐角．建议通过实例分析说明．三、讲解范例：例1．下列三角函数值： （1）cos210 ； (2)sin分析：本题是诱导公式二的巩固性练习题．求解时，只须设法将所给角分解成180 +或（π+），为锐角即可．解：（1）cos210 =cos(180 +30 )=－cos30 =－；（2）sin=sin()=－sin=－.例2．求下列各式的值：（1）sin(－)；(2)cos(－60 )－sin(－210 )分析：本题是诱导公式二、三的巩固性练习题．求解时一般先用诱导公式三把负角的正弦、余弦化为正角的正弦、余弦，然后再用诱导公式二把它们化为锐角的正弦、余弦来求．解：（1）sin(－)=－sin()=sin=；（2）原式=cos60 +sin(180 +30 )=cos60 －sin30 =－=0例3．化简 分析：这是诱导公式一、二、三的综合应用．适当地改变角的结构，使之符合诱导公式中角的形式，是解决问题的关键．解：原式= = ==－1例4．已知cos(π+)=－ ，<<2π，则sin(2π－)的值是（ ）．（A） (B) (C)－ (D)±分析：通过本题的求解，可进一步熟练诱导公式一、二、三的运用．求解时先用诱导公式二把已知条件式化简，然后利用诱导公式一和三把sin(2π－)化成－sin,再用同角三角函数的平方关系即可．事实上，已知条件即cos=，于是sin(2π－)=－sin=－(－)==因此选A四、课堂练习：1．求下式的值：2sin(－1110 ) －sin960 +答案：－2提示：原式=2sin(－30 )+sin60 －=－2选题目的：通过本题练习，使学生熟练诱导公式一、二、三的运用．使用方法：供课堂练习用．评估：求解本题时，在灵活地进行角的配凑，使之符合诱导公式中角的结构特点方面有着较高的要求．若只计算一次便获得准确结果，表明在利用诱导公式一、二、三求解三角函数式的值方面已达到了较熟练的程度．2．化简sin(－2)+cos(－2－π)·tan(2－4π)所得的结果是（ ）（A）2sin2 (B)0 (C)－2sin2 (D) －1答案：C选题目的：熟练掌握诱导公式一、二、三及同角三角函数关系中商数关系的灵活运用．使用方法：供课堂练习用．评估：本题不仅涉及了诱导公式一、二、三，而且还涉及了同角三角函数的关系，此外还出现了如“sin(－2)”这样的学生较为陌生的三角函数值，求解时若只计算一次便获得准确结果，表明在新知识的运用和旧知识的记忆方面都达到了较好的程度． 五、小结 通过本节课的教学，我们获得了诱导公式．值得注意的是公式右端符号的确定．在运用诱导公式进行三角函数的求值或化简中，我们又一次使用了转化的数学思想．通过进行角的适当配凑，使之符合诱导公式中角的结构特征，培养了我们思维的灵活性．六、布置作业：七、板书设计八、课后记：
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班级 姓名 学号__________ 成绩
1:下列各式中不正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
2.已知角的终边过点，则的值是 （ ）
A. B. C. D.
3.已知,且是第四象限的角，则的值是 （ ）
A. B. C. D.
4.已知f(x)＝cosx，则下来式子中不成立的是 （ ）
A B
C D
5. 若 则的值为 。
6. 求值：
1） ______；2）=______; 3)=__________
7. 已知,且θ为第三象限，则__________
8.化简的结果为
9. 已知：, 求
1） 2)
10. 化简
11.设求的值。
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课 题 三角函数的图像与性质 第2 课时
课 型 新授课 主备人 时间
教学目标 1：知识目标：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；2：能力目标：掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。 3：德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志， 实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。。
教学重点 正、余弦函数的奇、偶性和单调性；
教学难点 正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用
复习引入：五点作图二、讲解新课： 奇偶性 请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？(1)余弦函数的图形当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。例如：f(-)=,f()= ,即f(-)=f()；……由于cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x). 以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=cosx的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx的图象上，这时，我们说函数y=cosx是偶函数。定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。例如：函数f(x)=x2+1, f(x)=x4-2等都是偶函数。(2)正弦函数的图形观察函数y=sinx的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。也就是说，如果点（x,y）是函数y=sinx的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数y=sinx的图象上，这时，我们说函数y=sinx是奇函数。定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)=－f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数。例如：函数y=x, y= 都是奇函数。如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：（1）其定义域关于原点对称；（2）f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时。首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x)，看是等于f(x)还是等于- f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。2.单调性从y＝sinx，x∈［－］的图象上可看出：当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1.当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1.结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.3.有关对称轴观察正、余弦函数的图形，可知y=sinx的对称轴为x= k∈Zy=cosx的对称轴为x= k∈Z
（1）写出函数的对称轴；
（2）的一条对称轴是（ C ）(A) x轴， (B) y轴， (C) 直线， (D) 直线4.例题讲解例1 判断下列函数的奇偶性 (1)(2)f(x)=sin4x-cos4x+cos2x;(3)（4）（5）；例2 (1)函数f(x)＝sinx图象的对称轴是 ；对称中心是 . (2)函数图象的对称轴是 ；对称中心是 .例3 已知f(x)=ax+bsin3x+1(a、b为常数)，且f(5)=7,求f(-5).例4 已知求f(x)的定义域和值域；判断它的奇偶性、周期性；判断f(x)的单调性.例5 (1)θ是三角形的一个内角，且关于x 的函数f(x)=sain(x+θ)+cos(x-θ)是偶函数，求θ的值. (2)若函数f(x)=sin2x+bcos2x的图象关于直线对称，求b的值.例6 已知，试确定函数的奇偶性、单调性.有关奇偶性
（1）
（2）有关单调性
（1）利用公式，求证在上是增函数；
（2）不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0；
①；
②
（3）比较大小；
（4）求函数的单调递增区间；巩固与练习练习讲评
（1）化简：
（2）已知非零常数满足，求的值；
（3）已知
求值：（1）；（2）
解：
（1）
（2）
（3）两式平方相加得；
两式平方相加得
即四、小 结：本节课学习了以下内容：1．奇偶性 2．单调性五、课后作业：六、板书设计：
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班级 姓名 学号__________ 成绩
1、 函数y=-（ ）
Ａ、是奇函数 Ｂ、是偶函数 Ｃ、既不是奇函数也不是偶函数 Ｄ、不能确定
2、 下列函数中，（1）y=-|sinx|；（2）y=；（3）y=cos||；
（4）y=x3sin|x|；其中是奇函数的有（ ）
A、1个 B、 2个 C、 3个 D、 4个
3、下列不等式中成立的为（ ）
A、sin（-sin
C、sin2>sin3 D、cos4>cos5
4;函数y=cos(2x-) 的单调递增区间是（ ）
A、[k-，k+] （kZ） B、[k-，k+] （kZ）
C、[k+，k+] （kZ） D、[k+，k+] （kZ）
5、函数y=sinx，x的单调递减区间是
6、函数y=cosx，x的单调递增区间是
8、函数f（x）=sin（2x+）的奇偶性是
9、关于三角函数的图像，有下列命题：
（1） y=sin|x|与y=sinx的图像关于y轴对称
（2） y=cos（-x）与y=cos|x|的图像相同；
（3） y=|sinx|与y=sin（-x）的图像关于x轴对称
（4） y=cos与y=cos（-x）的图像关于y轴对称，
其中，正确命题的序号是
10、不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小
（1） sin103°与sin164°
（2） cos与cos
（3） sin508°与 sin144
（4） sin760 与sin（-770 ）
11) 下列函数哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数也不是偶函数？为什么？
（1）y=-sinx，xR （2）y=|sinx|，xR
（3）y=3cosx+1，xR （4）y=sinx-1，xR
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课 题 任意角的三角函数 第 1 课时
课 型 新授课 主备人 时间
教学目标 1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。
教学重点 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。
教学难点 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。
1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么（1）比值叫做α的正弦，记作，即；（2）比值叫做α的余弦，记作，即；（3）比值叫做α的正切，记作，即；（4）比值叫做α的余切，记作，即；（5）比值叫做α的正割，记作，即； 补充介绍（6）比值叫做α的余割，记作，即．说明：①α的始边与轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置； ②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，六个比值不以点在α的终边上的位置的改变而改变大小；③当时，α的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以与无意义；同理，当时，与无意义；④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值、、、、、分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。2．三角函数的定义域、值域函 数定 义 域值 域注意：(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.?(2) α是任意角，射线OP是角α的终边，α的各三角函数值（或是否有意义）与ox转了几圈，按什么方向旋转到OP的位置无关.(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余五个符号也是这样.(4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形的性质，“r”同为正值. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.(5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.?3．例题分析例1．已知角α的终边经过点，求α的六个函数制值。解：因为，所以，于是；；； ；； ．例2．求下列各角的六个三角函数值：（1）； （2）； （3）． 解：（1）因为当时，，，所以， ， ， 不存在，， 不存在。（2）因为当时，，，所以， ， ， 不存在，， 不存在。（3）因为当时，，，所以， ， 不存在， ，不存在， ．例3．已知角α的终边过点，求α的六个三角函数值。解：因为过点，所以， 当； ；；当； ；．4．三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；②余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；③正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）．说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。 为正 全正为正 为正5．诱导公式由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有：，，其中．，这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．三、巩固与练习1 确定下列三角函数值的符号：（1）； （2）； （3）； （4）．2 求函数的值域解： 定义域：cosx0 ∴x的终边不在x轴上 又∵tanx0 ∴x的终边不在y轴上∴当x是第Ⅰ象限角时， cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2 …………Ⅱ…………,|cosx|=cosx |tanx|=tanx ∴y=2 …………ⅢⅣ………, |cosx|=cosx |tanx|=tanx ∴y=0四、小 结：本节课学习了以下内容：1．任意角的三角函数的定义； 2．三角函数的定义域、值域；3．三角函数的符号及诱导公式。五、板书设计：
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班级 姓名 学号__________ 成绩
1．以下四个命题中，正确的是( )
A．在定义域内，只有终边相同的角的三角函数值才相等
B．｛ ｜ ＝k ＋，k∈Z｝≠｛ ｜ ＝-k ＋，k∈Z｝
C．若 是第二象限的角，则sin2 ＜0
D．第四象限的角可表示为｛ ｜2k ＋ ＜ ＜2k ，k∈Z｝
2．若角 的终边过点(-3，-2)，则( )
A．sin tan ＞0 B．cos tan ＞0
C．sin cos ＞0 D．sin cot ＞0
3．角 的终边上有一点P(a，a)，a∈R，且a≠0，则sin 的值是( )
A． B．- C．± D．1
4.α是第二象限角，其终边上一点P（x，），且cosα＝x，则sinα的值为（ ）
A． B． C． D．－
5.若点P(－3，ｙ)是角α终边上一点，且，则ｙ的值是 .
6.函数y=++的值域是 。
7、已知角α的终边经过下列各点，求α的sinα,cosα,tanα个三角函数值。
（1） （－8，－6） （2）
8角的终边上一个点P的坐标为(5a,-12a)(a≠0)，求sin+2cos的值.
9．已知角θ的终边上一点P的坐标是（x，–2）(x≠0)，且，求sinθ和tanθ的值.?
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课 题 三角函数的图像与性质 第 1 课时
课 型 新授课 主备人 时间
教学目标 （1）利用单位圆中的三角函数线作出的图象，明确图象的形状；（2）根据关系，作出的图象；
（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题；
教学重点 用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象；
教学难点 作余弦函数的图象。
一、复习引入：1． 弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。2.正、余弦函数定义：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离r()则比值叫做的正弦 记作： 比值叫做的余弦 记作： 3.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有，向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．二、讲解新课： 1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．（1）函数y=sinx的图象第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x值—弧度制下角与实数的对应）.第二步：在单位圆中画出对应于角，，,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）. 第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R的图象. 把角x的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象. （2）余弦函数y=cosx的图象用几何法作余弦函数的图象，可以用“反射法”将角x的余弦线“竖立”[把坐标轴向下平移，过作与x轴的正半轴成角的直线，又过余弦线A的终点A作x轴的垂线，它与前面所作的直线交于A′，那么A与AA′长度相等且方向同时为正，我们就把余弦线A“竖立”起来成为AA′，用同样的方法，将其它的余弦线也都“竖立”起来．再将它们平移，使起点与x轴上相应的点x重合，则终点就是余弦函数图象上的点．] 也可以用“旋转法”把角 的余弦线“竖立”（把角x 的余弦线O1M按逆时针方向旋转到O1M1位置，则O1M1与O1M长度相等，方向相同.）根据诱导公式,还可以把正弦函数x=sinx的图象向左平移单位即得余弦函数y=cosx的图象. （课件第三页“平移曲线” ）正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (,1) (,0) (,-1) (2,0)余弦函数y=cosx x[0,2]的五个点关键是(0,1) (,0) (,-1) (,0) (2,1)只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以3、讲解范例：例1 作下列函数的简图(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]， (2) y=|sinx|， （3）y=sin|x| 例2 用五点法作函数的简图.例3 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合： 三、巩固与练习四、小 结：本节课学习了以下内容：1．正弦、余弦曲线 几何画法和五点法 2．注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系五、板书设计：
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班级 姓名 学号__________ 成绩
1、把y=sinx的图像向左平移个单位得到y=sin（ ）的图像。
2、把y=sinx的图像向 平移 个单位得到y=cosx 的图像。
3、函数y=cos(x+)的图像是由函数y=sinx的图像沿x轴向 平移 个单位得到的。
4、先将函数y=sinx的图像向左平移个长度单位，再将图像向上平移1个单位长度得到函数y= 的图像。
5、函数y=cosx的图像在x轴下方的部分翻折到x轴上方得到函数y= 的图像。
6、正弦函数y=sinx与y=-sinx的图像 （ ）
A、只关于x轴对称 B、只关于y轴对称
C、关于原点对称 D、关于坐标轴对称
7、函数y=-cosx的图像与y=cosx的图像 （ ）
A、只关于x轴对称 B、只关于原点对称
C、关于原点和x轴对称 D、关于原点和坐标轴都对称
8、画出下列函数的简图：
1） y=1-sinx ， x∈ [0，2π]
2） y=3cosx，x∈[0，2π]
3） y=2sinx-1，x∈[0，2π]
4）y=sin|x|，x∈[-2π，2π]
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课 题 同角三角函数关系 第 1 课时
课 型 新授课 主备人 时间
教学目标 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式； 2.掌握三种基本关系式之间的联系；3.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
教学重点 同角三角函数的基本关系式
教学难点 三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用
一、复习引入：1．任意角的三角函数定义：设角是一个任意角，终边上任意一点，它与原点的距离为，那么：，，，， 2．当角α分别在不同的象限时，sinα、cosα、tanα、cotα的符号分别是怎样的？3．背景：如果，A为第一象限的角，如何求角A的其它三角函数值；4．问题：由于α的三角函数都是由x、y、r 表示的，则角α的三个三角函数之间有什么关系？二、讲解新课： （一）同角三角函数的基本关系式：（板书课题：同角的三角函数的基本关系）由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：
（1）倒数关系： tanαcotα=1
（2）商数关系：
（3）平方关系： 给出右图，你能说明怎样利用它帮助我们记忆三角函数的基本关系吗？
（1）在对角线上的两个三角函数值的乘积等于1，有倒数关系。
（2）带有阴影的三个倒置三角形中，上面两个三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。有平方关系。
（3）六边形上任意一个顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上的函数值的乘积。可演化出商数关系。说明：①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等；②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如；③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：， ， 等。3．例题分析：例1．（1）已知，并且是第二象限角，求．（2）已知，求．解：（1）∵，∴，又∵是第二象限角，∴，即有，从而， ．（2）∵， ∴，又∵， ∴在第二或三象限角。当在第二象限时，即有，从而，；当在第四象限时，即有，从而，．总结：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。例2．已知为非零实数，用表示．解：∵，，∴，即有，又∵为非零实数，∴为象限角。当在第一、四象限时，即有，从而， ；当在第二、三象限时，即有，从而， ．例3．已知（），求解： ∵， 即，又∵，∴，即，，又∵，∴为象限角。当在第一、四象限时，即有，；当在第二、三象限时，即有，．4．总结解题的一般步骤：①确定终边的位置（判断所求三角函数的符号）；②根据同角三角函数的关系式求值。三、巩固与练习第27页 练习1，2，3，4四、小 结：本节课学习了以下内容：1．同角三角函数基本关系式及成立的条件；2．根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；3．在以上的题型中：先确定角的终边位置，再根据关系式求值。如已知正弦或余弦，则先用平方关系，再用其它关系求值；若已知正切或余切，则可构造方程组来求值。五、课后作业：六、板书设计：
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班级 姓名 学号__________ 成绩
1 、已知sinα＝3/5，且，则tanα的值为 （ ）
A 4/3 B 3/4 C －3/4 D ±3/4
2、已知sinα+3cosα＝0，则α所在的象限为 （ ）
A 第一象限 B 第二象限 C 第一、三象限 D 第二、四象限
3、已知A为三角形内角，且sinAcosA＝－1/8，则sinA－cosA的值是（ ）
A B C D
4、下列命题中，唯一正确的命题是 （ ）
A 若角α在第二象限，且sinα＝m，cosα＝n，则tanα＝－m/n，
B 无论α为何角，总有sin2α+cos2α＝1
C 总存在一个角α，使sinα+cosα＝1
D 总存在一个角α，使sin＝cosα＝1/2
5、已知sinα+cosα＝1/5，且0≤α<π，那么，tanα等于（ ）
A －4/3 B －3/4 C 3/4 D 4/3
6、已知，那么，sinθcosθ的值等于 （ ）
A 3/4 B 3/10 C －3/10 D ±3/10
7、若,且则 .
8、若θ为锐角，则
9、已知,且α为第四象限角，求的值.
10、 已知,求的值.
11、已知求的值.
12、已知求的值.
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课 题 任意角 第 2 课时
课 型 新授课 主备人 时间
教学目标 1：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，2：理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；3：并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
教学重点 理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
教学难点 “旋转”定义角
教学过程：一、复习师：上节课我们学习了角的概念的推广，推广后的角分为正角、负角和零角；另外还学习了象限角的概念，下面请一位同学叙述一下它们的定义。生：略师：上节课我们还学习了所有与α角终边相同的角的集合的表示法，[板书] S={β|β=α+k×3600，k∈Z}这节课我们将进一步学习并运用角的概念的推广，解决一些简单问题。二、例题选讲例1写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-3600≤β<7200的元素β写出来：（1）600； （2）-210； （3）363014，解：（1）S={β|β=600+k×3600，k∈Z}S中适合-3600≤β<7200的元素是 600+（-1）×3600=-3000 600+0×3600=600 600+1×3600=4200.（2）S={β|β=-210+k×3600，k∈Z} S中适合-3600≤β<7200的元素是-210+0×3600=-210 -210+1×3600=3390 -210+2×3600=6990说明：-210不是00到3600的角，但仍可用上述方法来构成与-210角终边相同的角的集合。（3）S={β|β=363014，+k×3600，k∈Z} S中适合-3600≤β<7200的元素是363014，+（-2）×3600=-356046， 363014，+（-1）×3600=3014， 363014，+0×3600=363014，说明：这种终边相同的角的表示法非常重要，应熟练掌握。例2．写出终边在下列位置的角的集合(1)x轴的负半轴上；（2）y轴上分析：要求这些角的集合，根据终边相同的角的表示法，关键只要找出符合这个条件的一个角即α，然后在后面加上k×3600即可。解：（1）∵在0○～360○间，终边在x轴负半轴上的角为1800，∴终边在x轴负半轴上的所有角构成的集合是{β|β=1800+k×3600，k∈Z }（2）∵在0○～360○间，终边在y轴上的角有两个，即900和2700，∴与900角终边相同的角构成的集合是S1={β|β=900+k×3600，k∈Z }同理，与2700角终边相同的角构成的集合是S2={β|β=2700+k×3600，k∈Z }提问：同学们思考一下，能否将这两条式子写成统一表达式？师：一下子可能看不出来，这时我们将这两条式子作一简单变化：S1={β|β=900+k×3600，k∈Z }={β|β=900+2k×1800，k∈Z }………………（1）S2={β|β=2700+k×3600，k∈Z }={β|β=900+1800+2k×1800，k∈Z }={β|β=900+（2k+1）×1800，k∈Z } …………………（2）师：在（1）式等号右边后一项是1800的所有偶数（2k）倍；在（2）式等号右边后一项是1800的所有奇数（2k+1）倍。因此，它们可以合并为1800的所有整数倍，（1）式和（2）式可统一写成900+n×1800（n∈Z），故终边在y轴上的角的集合为S= S1∪S2 ={β|β=900+2k×1800，k∈Z }∪{β|β=900+（2k+1）×1800，k∈Z }={β|β=900+n×1800，n∈Z } 处理：师生讨论，教师板演。提问：终边落在x轴上的角的集合如何表示？终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？（思考后）答：{β|β=k×1800，k∈Z },{β|β=k×900，k∈Z }进一步：终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何表示？答：{β|β=450+n×1800，n∈Z }推广：{β|β=α+k×1800，k∈Z }，β，α有何关系？（图形表示）处理：“提问”由学生作答；“进一步”教师引导，学生作答；“推广”由学生归纳。若是第二象限角，则，，分别是第几象限的角？师：是第二象限角，如何表示？解：（1）∵是第二象限角，∴900+k×3600<<1800+k×3600（k∈Z）∴ 1800+k×7200<2<3600+k×7200∴2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上。（2）∵，处理：先将k取几个具体的数看一下（k=0，1，2，3…），再归纳出以下规律：当时，，是第一象限的角；当时，，是第三象限的角。∴是第一或第三象限的角。说明：配以图形加以说明。（3）学生练习后教师讲解并配以图形说明。（是第一或第二或第四象限的角）进一步求是第几象限的角（是第三象限的角），学生练习，教师校对答案。三、例题小结要注意某一区间内的角和象限角的区别，象限角是由无数各区间角组成的；要学会正确运用不等式进行角的表述同时要会以k取不同的值讨论型如θ=a+k×1200（k∈Z）所表示的角所在的象限。四、课堂练习练习2 若的终边在第一、三象限的角平分线上，则的终边在y轴的非负半轴上.练习3 若的终边与600角的终边相同，试写出在（00，3600）内，与角的终边相同的角。 （200，1400，2600）（备用题）练习4 如右图，写出阴影部分（包括边界）的角的集合，并指出-950012，是否是该集合中的角。 （{α| 1200+k×3600≤α≤2500+k×3600，k∈Z}；是）小结：
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班级 姓名 学号__________ 成绩
1. 如图，终边落在阴影处（包括边界）的角的集合是（ ）.
A.{α|-60°≤α≤30°}
B.{α|-60°+k180°≤α≤30°+k180°k∈Z}
C.{α|30°+k360°≤α≤-60°+ k360°，k∈Z }
D.{α|-60°+k360°≤α≤30°+k360°k∈Z }
2.若角的终边在一、四象限及x轴正半轴，则角α的集合为（ ）.
A.{α|270°+k360°<α<90°+k360°,k∈Z }
B.{α|-90°+k360°<α<-270°+k360°,k∈Z }
C.{α|-90°+k360°<α<90°+k360°,k∈Z }
D.{α|-90°+k720°<α<90°+k720°,k∈Z }
3.在直角坐标系中，若角α与角β的终边互为反向延长线，则角α与角β的关系是（ ）
A. α=-β B。α=β- k360°(k∈Z)
C。α=180°+β D. α=180°+β+ k360°(k∈Z)
4.设A={α|α=45°+ k360°, k∈Z },
B={α|α=225°+ k360°, k∈Z },
C={α|α=45°+ k180°, k∈Z },
D={α|α=-135°+ k360°, k∈Z },
E={α|α=45°+ k360°或α=225°+ k360°, k∈Z },
则相等的集合为 .
5.若α是第三象限的角，则180°-α是第 象限的角.
6. 已知角α的终边在第一象限的角的平分线上，写出在-720°－720°间符合条件的角.
7. 若角β的终边所在的直线经过点Q(-,),并且β∈（-360°，360°），试求角β的值.
8、写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在间的角写出来：。
9、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中在－360°到360°间的元素写出来：
（1） 60°
（2） －75°
（3） －824°30’
（4） 475°
（5） 90°
（6） 270°
（7） 180°
1200 y
O
x
2500
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课 题 三角函数的应用 第 1 课时
课 型 新授课 主备人 时间
教学目标 1.掌握用待定系数法求三角函数解析式的方法；2.培养学生用已有的知识解决实际问题的能力；3.能用计算机处理有关的近似计算问题.
教学重点 待定系数法求三角函数解析式
教学难点 选择合理数学模型解决实际问题.
【创设情境】三角函数能够模拟许多周期现象，因此在解决实际问题中有着广泛的应用.【自主学习 探索研究】学生自学完成P42例1点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.（1）求物体对平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系；（2）求该物体在t=5s时的位置.（教师进行适当的评析.并回答下列问题：据物理常识，应选择怎样的函数式模拟物体的运动；怎样求和初相位θ；第二问中的“t=5s时的位置”与函数式有何关系？）[例二]一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动4 圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时(图中点)开始计算时间.将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数;点P第一次到达最高点大约要多长时间 讲析P44例3海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常的情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮是返回海洋.下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.（1）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的近似数值.（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？（3）若船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？问题：（1）选择怎样的数学模型反映该实际问题？（2）图表中的最大值与三角函数的哪个量有关？（3）函数的周期为多少？（4）“吃水深度”对应函数中的哪个字母？学生完成课本P45的练习1，3并评析.【提炼总结】 从以上问题可以发现三角函数知识在解决实际问题中有着十分广泛的应用，而待定系数法是三角函数中确定函数解析式最重要的方法.三角函数知识作为数学工具之一，在以后的学习中将经常有所涉及.学数学是为了用数学，通过学习我们逐步提高自己分析问题解决问题的能力.[例三]心脏在跳动时,血压在增加或减小.血压的最大值,最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80 mm Hg为标准值.设某人的血压满足函数式p(t)=115+25 sin(160t),其中P(t)为血压( mm Hg),t为时间(min),试回答下列问题:(1)求函数P(t)的周期;(2)此人每分钟心跳的次数;(3)画出函数P(t)的草图;(4)求出此人的血压在血压计上的读数,并与标准值比较.(健康成年人的收缩压和舒张压一般为120~140 mm Hg和60~90 mm Hg)【提炼总结】 从以上问题可以发现三角函数知识在解决实际问题中有着十分广泛的应用，而待定系数法是三角函数中确定函数解析式最重要的方法.三角函数知识作为数学工具之一，在以后的学习中将经常有所涉及.学数学是为了用数学，通过学习我们逐步提高自己分析问题解决问题的能力.
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班级_______姓名______ 学号_________成绩_________
1．把函数y=sin(2x-)的图象向右平移个单位，所得图像对应的函数是（ ）
(A) 非奇非偶函数 (B) 既是奇函数又是偶函数
(C) 奇函数 (D) 偶函数
2.是正实数，函数在上递增，那么（ ）
(A) (B)
（C） （D）
3.函数y=sin(2x+)的图象的一条对称轴方程是（ ）
A、x=- B、x=- C、x= D、x=
4.如图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，那么f(x)可以写成（ ）
A、sin(1+x) B、sin(-1-x)
C、sin(x-1) D、sin(1-x)
5.若方程sinx-sin2x-a=0，当时有解，求a的范围 .
6.不等式2sin2x+8cosx+a11恒成立,则a的范围 。
7. 已知f(x)=1-2 cosx-2 sin2x的值域为[a,b]，求b2+4a的值 。
8. 已知函数y=A sin()+C (A>0,)的图象在同一个周期中最高点的坐标为（2，2），最低点的坐标为（8，- 4），求此函数的解析式 。
9. 某港口相邻两次高潮发生的时间间隔12h20min,低潮时入口处水的深度为2.8m,高潮时为8.4m,一次高潮发生在10月3日2:00.(1)若从10月3日0:00开始计算时间,选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系;(2)求出10月5日4:00水的深度;(3)求出10月3日吃水深度为5 m的轮船能进入港口的时间.
10.一根长a cm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时,离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式是s=3cos(.(1)求小球摆动的周期;(2)已知g=980cm/s2,要使小球摆动的周期是1s,线的长度应当是多少 (精确到0.1 cm,取3.14)
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课 题 函数的图象 第 1 课时
课 型 新授课 主备人 时间
教学目标 用五点法画函数的图象.
教学重点 用五点法列表画函数画图;
教学难点 五点的确定
在物理学中，物体做简谐运动时，位移s和时间t的关系为 这里Ａ是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；往复振动一次所需的时间 称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数称为振动的频率；称为相位，t=0时的相位称为初相．在物理和工程技术的许多问题中,经常会遇到形如的函数,今天我们来探究函数的图象与函数的图象关系.【自主学习 探索研究】1.作函数和的图象 (学生用五点法列表画图)0010-10010-10描点画图,思考上述两函数的图象五点差异.(函数的五点横坐标可以看作函数的图象上五点横坐标减去而得.纵坐标不变)2.作函数的图象(学生五点法列表画图)回答函数的图象与函数五点差异思考：函数的图象与函数的图象有什么关系？3.作函数和的图象(学生五点法列表画图)回答上述两函数的图象关系 图象上的五点与函数五点差异.5.函数的图象并与函数的图象比较之间的关系？6.思考函数的五点如何确定 7.课堂练习用五点法画函数的图象课本p.42.练习5【提炼总结】1. 用五点法画三角函数图象时,要先确定周期,再将周期四等份,找出五个关键点:1,, ,,,然后再列表画图;2.作图时,要注意坐标轴刻度,x轴是实数轴,角一律用弧度制.四、布置作业
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班级_______姓名______ 学号_________成绩_________
1．最大值为，周期为，初相是的函数表达式可能是（ ）
A． B
C D
2．得到的图象，只要将的图象（ ）
A．向左平移个单位 B 向右平移个单位
C．向左平移个单位 D 向右平移个单位
3 函数y＝sin（－2x）的单调减区间是( )
4..作出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（要求用直尺和铅笔规
范作图）
（1）y=sinx （2）y=sin3x
（3）y=2sinx
5. 将y=sin2x的图象向 平移 个单位，可得y=sin2x的图象，所得
函数周期为 值域为
6. 将y=sinx图象上各点的纵坐标变为原来的 ___
且将各点的横坐标变为原来的 ______可得y=3sinx的图象.
7. 已知y=sinx +的最大值为，最小值为，
求，的值
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课 题 三角函数的诱导公式 第2课时
课 型 新授课 主备人 时间
教学目标 能熟练掌握诱导公式一至五，并运用求任意角的三角函数值，并能应用，进行简单的三角函数式的化简及论证。
教学重点 诱导公式
教学难点 诱导公式的应用
一、复习引入：诱导公式一（其中）: 用弧度制可写成 公式二： 用弧度制可表示如下： 公式三： 公式四： 用弧度制可表示如下： 公式五： 用弧度制可表示如下： 二、讲解范例：例1．求下列三角函数的值(1) sin240 ； (2)；(3) cos(-252 )；(4) sin（-）解：（1）sin240 =sin(180 +60 )＝－sin60 =(2) =cos==；(3) cos(-252 )=cos252 = cos(180 +72 )=－cos72 =－0.3090；(4) sin（-）=－sin=－sin=sin=说明：本题是诱导公式二、三的直接应用．通过本题的求解，使学生在利用公式二、三求三角函数的值方面得到基本的、初步的训练．本例中的（3）可使用计算器或查三角函数表．例2．求下列三角函数的值(1)sin(-119 45′)；(2)cos；(3)cos(-150 )；(4)sin.解：(1)sin(－119 45′)=－sin119 45′=－sin(180 -60 15′)= －sin60 15′=－0.8682(2)cos=cos()=cos=(3)cos(-150 )=cos150 =cos(180 -30 ) =－cos30 =；(4)sin=sin()=－sin=.说明：本题是公式四、五的直接应用，通过本题的求解，使学生在利用公式四、五求三角函数的值方面得到基本的、初步的训练．本题中的（1）可使用计算器或查三角函数表．例3．求值：sin－cos－sin略解：原式=-sin-cos-sin =-sin-cos+sin =sin+cos+sin =++0.3090=1.3090 .说明：本题考查了诱导公式一、二、三的应用，弧度制与角度制的换算，是一道比例1略难的小综合题．利用公式求解时，应注意符号．例4．求值：sin(-1200 )·cos1290 +cos(-1020 )·sin(-1050 )+tan855 .解：原式＝－sin(120 +3·360 )cos(210 +3·360 )+cos(300 +2·360 )[-sin(330 +2·360 )]+tan(135 +2·360 )＝－sin120 ·cos210 －cos300 ·sin330 +tan135 ＝－sin(180 －60 )·cos(180 +30 )－ cos(360 －60 )·sin(360 -30 )+=sin60 ·cos30 +cos60 ·sin30 －tan45 =·+·-1=0说明：本题的求解涉及了诱导公式一、二、三、四、五以及同角三角函数的关系．与前面各例比较，更具有综合性．通过本题的求解训练，可使学生进一步熟练诱导公式在求值中的应用． 例5．化简：.略解：原式===1.说明：化简三角函数式是诱导公式的又一应用，应当熟悉这种题型．例6．化简：解：原式= = = =.说明：本题可视为例5的姐妹题，相比之下，难度略大于例5．求解时应注意从所涉及的角中分离出2的整数倍才能利用诱导公式一．例7．求证：证明：左边= = == =，右边==，所以，原式成立．例8．求证证明：左边＝ ＝＝tan3α＝右边，所以，原式成立．说明：例7和例8是诱导公式及同角三角函数的基本关系式在证明三角恒等式中的又一应用，具有一定的综合性．尽管问题是以证明的形式出现的，但其本质是等号左、右两边三角式的化简．例9．已知．求：的值．解：已知条件即， 又，所以：=说明：本题是在约束条件下三角函数式的求值问题．由于给出了角的范围，因此，的三角函数的符号是一定的，求解时既要注意诱导公式本身所涉及的符号，又要注意根据的范围确定三角函数的符号．例10．已知,求:的值.解：由，得，所以故 ==1＋tan＋2tan2=1+.说明：本题也是有约束条件的三角函数式的求值问题，但比例9要复杂一些．它对于学生熟练诱导公式及同角三角函数关系式的应用．提高运算能力等都能起到较好的作用．例11．已知的值．解：因为，所以：=＝－m由于所以于是：=，所以：tan(= .说明：通过观察，获得角与角之间的关系式=-（），为顺利利用诱导公式求cos()的值奠定了基础，这是求解本题的关键，我们应当善于引导学生观察，充分挖掘的隐含条件，努力为解决问题寻找突破口，本题求解中一个鲜明的特点是诱导公式中角的结构要由我们通过对已知式和欲求之式中角的观察分析后自己构造出来，在思维和技能上显然都有较高的要求，给我们全新的感觉，它对于培养学生思维能力、创新意识，训练学生素质有着很好的作用．例12．已知cos，角的终边在y轴的非负半轴上，求cos的值．解：因为角的终边在y轴的非负半轴上，所以：=，于是 2（）=从而 所以 ===说明：本题求解中，通过对角的终边在y轴的非负半轴上的分析而得的=，还不能马上将未知与已知沟通起来．然而，当我们通过观察，分析角的结构特征，并将它表示为2（）后，再将=代入，那么未知和已知之间随即架起了一座桥梁，它为利用诱导公式迅速求值扫清了障碍．通过本题的求解训练，对于培养学生的观察分析能力以及思维的灵活性和创造性必将大有裨益．三、小结 应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：1用“ ”公式化为正角的三角函数；2用“2k + ”公式化为[0，2]角的三角函数；3用“±”或“2 ”公式化为锐角的三角函数四、课后作业：五、板书设计（略）六、课后记：
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班级 姓名 学号__________ 成绩
1、下列等式中正确的是 （ ）
A B
C D
2、化简的结果是 （ ）
A 0 B C 2sin2 D
3、在ΔABC中，下列各表达式的值为常数的是 （ ）
A sin(A+B)+sinC B cos(B+C)
C sin2(A+C)+cos2B D tanC
4、当k∈Z时，在1） 2） 3）
4）中与相等的是 （ ）
A 1）和2） B 3）和4）
C 1）和4） D 2）和3）
5、如果,则角x的取值范围是 （ ）
A （k∈Z）
B （k∈Z）
C （k∈Z）
D （k∈Z）
6、已知θ是第二象限角，且的值是（ ）
A 1 B －1 C D以上都不对
7、求值：=______________
8、化简 ____________________
9、化简
10、求值:
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课 题 第 1 课时
课 型 新授课 主备人 时间
教学目标 知识目标：根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明；能力目标：（1）了解已知一个三角函数关系式求三角函数（式）值的方法。
（2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力；德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；
教学重点 同角三角函数的基本关系式
教学难点 如何运用公式对三角式进行化简和证明。
一、复习引入：1．同角三角函数的基本关系式。（1）倒数关系：，，．（2）商数关系：，．（3）平方关系：，，．（练习）已知，求2．tanαcosα= ，二、讲解新课： 例1．化简．解：原式．例2．化简．解：原式 ．例3、已知，求解： 强调（指出）技巧：1分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式 2“化1法” 例4、已知，求解：将 两边平方，得： 例5、已知解：由题设： ∴ ()例6、已知，求 解：1 由 由 联立： 2 例7、已知 求解：∵sin2 + cos2 = 1 ∴化简，整理得：当m = 0时，当m = 8时，三、巩固与练习1：已知12 sin+5 cos=0，求sin、cos的值. 解：∵12 sin+5 cos=0 ∴sin= cos，又则（ cos）2+=1，即=∴cos=± ∴ 2.已知，求（1）；原式=
（2）；原式=
说明：（1）为了直接利用，注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分母同除以,将分子、分母转化为的代数式；
（2）可利用平方关系，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关系化归为的分式求值；3
4.已知，求sinα。解2：由已知：
则5.已知，求值；解：可求分析：本题关键时灵活地多次运用条件从而结合同角三角函数关系式达到降次求解的目标；小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常常将式子中的“1”作巧妙的变形，如：1=四、小 结：本节课学习了以下内容：1．运用同角三角函数关系式化简、证明。2．常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等。五、课后作业： 思考:已知sin=2sinβ，tan=3tanβ，求的值. 解：sinβ= tanβ=又1+ tan2β=，∴1+即8
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班级 姓名 学号__________ 成绩
1已知sinα＋cosα＝，且0＜α＜π，则tanα的值为( )
2若sin4θ＋cos4θ＝1，则sinθ＋cosθ的值为( )
A0 B1 C－1 D±1
3若＝10，则tanα的值为
4:化简（1+tan2）cos2= .
5:若x在第二象限，化简= .
6:若的终边在直线x+y=0上，化简 .
7:若在第三象限，化简 .
8.化简：
（1）;（2）sin2+sin2- sin2sin2+ cos2cos2;
9.已知在第二象限，化简：
10.求证：
（1）; （2）tan2-sin2= tan2sin2;
.11已知tan2=2tan2+1,求证：sin2=2sin2－1.
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课 题 弧度制 第 2 课时
课 型 新授课 主备人 时间
教学目标 （1）理解并掌握弧度制定义，领会弧度制定义的合理性；（2）掌握角度制与弧度制的换算公式；
教学重点 任意角的概念
教学难点 角的终边位置确定
一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。 二、由公式： 比相应的公式简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 例一 利用弧度制证明扇形面积公式其中是扇形弧长，是圆的半径。 证： 如图：圆心角为1rad的扇形面积为： 弧长为的扇形圆心角为 ∴ 比较这与扇形面积公式 要简单 例二 直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴ ⑵ 解： ⑴： ⑵： ∴ 例三 如图，已知扇形的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。解：设扇形的半径为r，弧长为，则有 ∴ 扇形的面积例四 计算 解：∵ ∴ ∴ 例五 将下列各角化成0到的角加上的形式⑴ ⑵ 解： 例六 求图中公路弯道处弧AB的长（精确到1m）图中长度单位为：m 解： ∵ ∴ 三、练习：四、作业：
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班级 姓名 学号__________ 成绩
1.圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )
A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积增大到原来的2倍 D.扇形的圆心角增大到原来的2倍
2.时钟经过一小时，时针转过了( )
A. rad B.－ rad C. rad D.－rad
3.一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积是( )
4.圆的半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来
的 倍.
5.若α＝－216°，l＝7π，则ｒ＝
(其中扇形的圆心角为α，弧长为l，半径为r).
6.在半径为的圆中，圆心角为周角的的角所对圆弧的长为 .
7.两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶2，则两个扇形周长的
比为( )
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶ D.1∶8
8.在半径为1的单位圆中，一条弦AB的长度为，则弦AB所对圆心角α是( )
A.α＝ B.α＜ C.α＝ D.α＝120
9.时钟从6时50分走到10时40分，这时分针旋转了 弧度.
10.已知扇形AOB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，则弦AB的长等
于 cm.
11. 蒸汽机飞轮的直径为1.2m，以300转/分的速度作逆时针旋转：求：
（1） 飞轮每1秒转过的弧度数；
（2） 轮周上一点每一秒所转过的弧长.
12.已知一扇形的周长为c（c>0）,当扇形的中心角为多大时，它有最大的面积？
o
R
S
l
o
A
B
R=45
60
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课 题 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式 第 1 课时
课 型 复习课 主备人 时间
教学目标 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式的进一步理解
教学重点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式的应用
教学难点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式的应用
一、基础练习1，已知角的终边与－6900的终边关于原点对称，其中绝对值最小的角是（ ）A 300 B－1500 C 600 D －12002，设是第三象限角，且=－，则是（ ）A第一象限叫 B第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角3，若扇形的半径为1，周长为，则扇形的面积为 。4，若，则 ` 。二、例题分析例题1、已知角的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，终边为射线y= －x（x＞0），求 的值；若将射线该为直线，则结果如何？说明：①应先化简后求值②分别计算的值也可获解③根据任意三角函数的定义，角的三角函数值不随点P在终边上的位置改变而改变，所以可取任一点，当然也可去终边上的特殊点（4，－3）。例题2、化简：例题3、已知角是第四象限角，，试求的值。例题4、已知，求证：。例题5、（1）已知f(cosx)=cos17x,求证：f(sinx)=sin17x； （2）已知，且f(sinx)=sin(4n+1)x,求f(cosx)的表达式； （3）对于怎样的整数n，才能由f(sinx)=sinnx推出f(cosx)=cosnx..三、小结：1．要熟悉任意角的概念，弧度制与角度制的互化。2．在已知一个角的三角函数值求角时，要注意角的范围，并就不同的象限分别求出相应的值。3．在用诱导公式进行三角式的化简、求值时，注意公式中符号的选取。应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断。4．已知角所在象限，要能熟练地确定所在的象限。5．注意“1”的灵活代换。
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班级 姓名 学号__________ 成绩
1、已知扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角是 （ ）
A B C D
2、以知f（x）= ，则下列等式成立的是（ ）
A.f(2π－x)= f(x) B. f(3π+x)= f(x) C. f(－x)= － f(x) D. f(4π+x)= f(x)
3、以知 ，则 的值是
4、利用单位圆比较大小：
5、以知是锐角，且，则m= ，
6、已知f（x）= ，若x ，化简+
7、已知，，求的值。
8、化简
9、已知，且，求的值
10、已知，求的值
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课 题 函数的图象 第 2课时
课 型 新授课 主备人 时间
教学目标 正确理解函数与函数的图象关系
教学重点 是理解由函数到函数图象的变换过程
教学难点 函数与的图象关系
【创设情境】回顾函数中的各种图像变换;（平移变换，对称变换）观察上节课所画的几组图象，由学生口述每组图像中两个函数图像间的变换关系.【自主学习 探索研究】1.函数和的图象有何关系 函数的图象可以看作由函数的图象上所有点向左平移个单位而得到.一般地,函数的图象与函数的图象有何关系 函数和的图象关系 一般地, 函数的图象与函数的图象的关系 3.函数和的图象有何关系 一般地,函数的图象与函数的图象有何关系 4.函数和的图象有何关系 一般地,函数的图象与函数的图象有何关系 上述函数间的关系都可以看成函数实施的平移、振幅、周期(伸缩)变换.5.学生自学课本P36至P38. 6.举例例1 若函数表示一个振动量:(1)求这个振动的振幅周期初相;(2)不用计算机和图形计算器,画出该函数的简图.分析:方法一:用五点法列表画图方法二: 周期变换平移变换 振幅变换方法三: 平移变换周期变换振幅变换7.学生完成练习课本P42 第1、2、3、4、6题8.课堂练习评析【提炼总结】1.上述三角函数间的实施的平移、振幅、周期(伸缩)变换是函数变换的特例,是变换思想在三角中的体现；2.注意周期变换 、平移变换次序互换地不同.四、布置作业
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班级_______姓名______ 学号_________成绩_________
1：若将某函数的图象向右平移以后所得到的图象的函数式是y＝sin(x＋)，
则原来的函数表达式为( )
Ay＝sin(x＋) By＝sin(x＋)
Cy＝sin(x－) Dy＝sin(x＋)－
2 由函数y=sinx和y=sinx的图象可知在区间[-2π，2π]上满足sinx=sinx
的x值有 （ ）
A 6个 B 5个 C 4个 D 3个
3 与y=2cosx的图象关于直线x=π对称的曲线是 （ ）
A y=-2cosx B y=2cosx
C y=2sinx D y=-2sinx
4.已知函数y=Acosωx+1 (Aω0),则下列说法正确的是（ ）
A y最大值为A，最小正周期为 B 最大值为A+1，最小正周期为
C 最小值为-A，最小正周期为 D值域为，最小正周期为
5:(1)y＝sin(x＋)是由y＝sinx向左平移______个单位得到的
(2)y＝sin(x－)是由y＝sinx向右平移______个单位得到的
(3)y＝sin(x－)是由y＝sin(x＋)向右平移_____个单位得到的
6. 将正弦函数上各点的______坐标变为原来的____倍，再将所得图象上各点的坐标
变为原来的_____倍，最后将所得图象向______平移_______个单位可得y=3sin2x-1
的图象。
7. 一个振动量为S= Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)振幅为，频率为，初相为-，
则其解析式S=_________ 。
8. 用平移法作y=3cos(x+)-1的图象，（要求基础图象用虚线画，作出一个周期内
的图象即可，注意作图要规范）
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课 题 任意角 第 1 课时
课 型 新授课 主备人 时间
教学目标 1：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念2：理解任意角的概念，3：学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；4：并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
教学重点 理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
教学难点 “旋转”定义角
一、引入 同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用。二、新课1．回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”师：初中时，我们已学习了0○～360○角的概念，它是如何定义的呢？生：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。师：如图1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。 师：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o” （即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？生：逆时针旋转300；顺时针旋转300.师：（1）用扳手拧螺母；（2）跳水运动员身体旋转．说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。本节课将在已掌握 ～ 角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法．2.角的概念的推广：?(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α。其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，O叫角α的顶点。3．正角、负角、零角概念师：为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，如图2中的角为正角，它等于300与7500；我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，那么同学们猜猜看，负角怎么规定呢？零角呢？生：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。师：如图3，以OA为始边的角α=-1500，β=-6600。特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这是形成了一个角，并把这个角称为零角。师：好，角的概念经过这样的推广之后，就应该包括正角、负角、零角。这里还有一点要说明：为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可简记为α. 4.象限角师：在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念。同学们已经经过预习，请一位同学回答什么叫：象限角？ 生：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。师：很好，从刚才这位同学的回答可以知道，她已经基本理解了“象限角”的概念了。下面请大家将书上象限角的定义划好，同时思考这么三个问题： 1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？处理：学生思考片刻后回答，教师适时予以纠正。答：1.不行，始边包括端点（原点）； 2．端点在原点上； 3．不是，一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限。师：同学们一定要学会看数学书，特别是一些重要的概念、定理、性质要斟字酌句，每个字都要弄清楚，这样的预习才是有效果的。 师生讨论：好，按照象限角定义，图中的300，3900，-3300角，都是第一象限角；3000，-600角，都是第四象限角；5850角是第三象限角。师：很好，不过老师还有几事不明，要请教大家：（1）锐角是第一象限角吗？第一象限角是锐角吗？为什么？生：锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；师：（2）锐角就是小于900的角吗？生：小于900的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；师：（3）锐角就是00～900的角吗？ 生：锐角：{θ|00<θ<900}；00～900的角：{θ|00≤θ<900}. 学生练习（口答） 已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？（1）4200； （2）-750； （3）8550； （4）-5100.答：（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角.5.终边相同的角的表示法师：观察下列角你有什么发现 390 330 30 1470 1770生:终边重合.师:请同学们思考为什么？能否再举三个与300角同终边的角？生：图中发现3900，-3300与300相差3600的整数倍，例如，3900=3600+300，-3300=-3600+300；与300角同终边的角还有7500，-6900等。师：好！这位同学发现了两个同终边角的特征，即：终边相同的角相差3600的整数倍。例如：7500=2×3600+300；-6900=-2×3600+300。那么除了这些角之外，与300角终边相同的角还有： 3×3600+300 -3×3600+300 4×3600+300 -4×3600+300 ……， ……，由此，我们可以用S={β|β=k×3600+300，k∈Z}来表示所有与300角终边相同的角的集合。师：那好，对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？生：S={β|β=α+k×3600，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。6.例题讲评例1 设， ，那么有（ D ）． A． B． C．（ ） D． 例2用集合表示： （1）各象限的角组成的集合． （2）终边落在 轴右侧的角的集合．解：(1) 第一象限角：｛α|k360oπ＜α＜k360o+90o,k∈Z｝第二象限角：｛α|k360o+90o＜α＜k360o+180o,k∈Z｝第三象限角：｛α|k360o+180o＜α＜k360o+270o,k∈Z｝第四象限角：{α|k360o+270o＜α＜k360o+360o ,k∈Z｝（2）在 ～ 中， 轴右侧的角可记为 ，同样把该范围“旋转” 后，得 ， ，故 轴右侧角的集合为 ．说明：一个角按顺、逆时针旋转 （ ）后与原来角终边重合，同样一个“区间”内的角，按顺逆时针旋转 （ ）角后，所得“区间”仍与原区间重叠．例3 （1）如图，终边落在 位置时的角的集合是__{α|α＝k360o+120o ,k∈Z }；终边落在 位置，且在 内的角的集合是_{－45o,225o}_ ；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是_{α|k360o－45o＜α＜k360o+120o ,k∈Z}．练习： （1）请用集合表示下列各角． ① ～ 间的角 ②第一象限角 ③锐角 ④小于 角．解答（1）① ； ② ； ③ ； ④ （2）分别写出： ①终边落在 轴负半轴上的角的集合； ②终边落在 轴上的角的集合； ③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合； ④终边落在四象限角平分线上的角的集合． 解答（2）① ； ② ； ③ ； ④ ． 说明：第一象限角未必是锐角，小于 的角不一定是锐角， ～ 间的角，根据课本约定它包括 ，但不包含 ．例4在～ 间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1） ；（2） ；（3） ．解：（1）∵ ∴与 角终边相同的角是 角，它是第三象限的角； （2）∵ ∴与 终边相同的角是 ，它是第四象限的角； （3） 所以与 角终边相同的角是 ，它是第二象限角． 总结：草式写在草稿纸上，正的角度除以 ，按通常除去进行；负的角度除以 ，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以使余数为正值．练习： （1）一角为 ，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为__．（2）集合M＝{α=k，k∈Z}中，各角的终边都在（C ） A．轴正半轴上， B．轴正半轴上， C． 轴或 轴上， D． 轴正半轴或 轴正半轴上（3）设 ， C＝{α|α= k180o+45o ,k∈Z} ， 则相等的角集合为_B＝D，C＝E__．三.本课小结本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，本节课的重点是学习终边相同的角的表示法。判断一个角 是第几象限角，只要把 改写成 ， ，那么 在第几象限， 就是第几象限角，若角 与角 适合关系： ， ，则 、 终边相同；若角 与 适合关系： ， ，则 、 终边互为反向延长线．判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系，可首先把它们化为： ， 这种模式（ ），然后只要考查 的相关问题即可．另外，数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．四.作业:
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班级 姓名 学号__________ 成绩
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，下列四个命题：①A=B=C ②AC ③CA ④A∩C=B,其中正确的命题个数为
A.0个 B.2个
C.3个 D.4个
2.若α是第一象限角，则下列各角中第四象限角的是
A.90°－α B.90°+α
C.360°－α D.180°+α
3.终边与坐标轴重合的角α的集合是
A.{α|α=k·360°，k∈Z} B.{α|α=k·180°+90°，k∈Z}
C.{α|α=k·180°，k∈Z} D.{α|α=k·90°，k∈Z}
4.若α是第四象限的角，则180°－α是
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
5.若角α与β终边重合，则有
A.α－β=180° B.α+β=0
C.α－β=k·360°（k∈Z） D.α+β=k·360°（k∈Z）
6.给出下列四个命题，其中正确的命题有几个
①－75°是第四象限角 ②225°是第三象限角 ③475°是第二象限角 ④－315°是第一象限角
A.1 B.2
C.3 D.4
二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分.把答案填在题中横线上）
7.若－540°＜α＜－180°且α与40°角的终边相同，则α= .
8.终边落在x轴负半轴的角α的集合为 ，终边在一、三象限的角平分线上的角β的集合是 .
9.与－1178°的终边相同且绝对值最小的角是 .
10.若将时钟拨慢5分钟，则时针转了 度，分针转了 度.
11.若角α是第三象限角，则角的终边在 ，2α角的终边在 .
三、解答题(本大题共3小题，共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
12.（8分）求与－1692°终边相同的最大负角是多少？
13.（10分）已知0°＜θ＜360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.
14.（10分）试写出所有终边在直线y=－x上的角的集合，并指出上述集合中介于－180°和180°之间的角.
B
α
O A
图1
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8翔宇教育集团高一数学课时设计活页纸
课 题 三角函数的周期性 第 1 课时
课 型 新授课 主备人 时间
教学目标 （1）了解周期现象在现实中广泛存在；（2）感受周期现象对实际工作的意义；（3）理解周期函数的概念；（4）能熟练地判断简单的实际问题的周期；（5）能利用周期函数定义进行简单运用。
教学重点 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。
教学难点 周期函数概念的理解，以及简单的应用。
一、创设情境每年都有春、夏、秋、冬，每星期都是从星期一到星期日，地球每天都绕着太阳自转，公共汽车沿着固定线路一趟又一趟地往返……，这一些都给我们循环、重复的感觉，可以用“周而复始”来描述，这就叫周期现象。二、学生活动（P点的圆周运动）如图，点P自点A起，绕圆周按逆时针方向进行匀速运动。点P的运动轨迹是：A-B-C-D-A-B-C-D- A-B-C-D-A-B ……显然点P的运动是周期运动。设圆的半径为2，每4分钟运动一周。设P到A的距离为y，运动时间为t，则y是t的函数，记为 y=f(t). 则f(0)=f(4)=f(8)=f(12)= ……=0，（位置在A点）f(2)=f(6)=f(10)=f(14)= ……=4，（位置在C点）一般地，点P运行t分钟到达的位置与运行(t+4)分钟到达的位置相同，由此能得到这样的数学表达式：f(t+4)=f(t)想一想：f(t+8)、f(t+12)与f(t)有什么关系？说明它们的实际意义。[f(t+8)=f(t)、f(t+12)=f(t)，运行时间不等，但最终位置相同]可以用描点法画出这个函数的图象（如图）它的特征是：在区间(0,4)(4,8)(8,12) …内重复。我们将上面的函数y=f(t)称为周期函数。三、建构数学一般地，对于函数f（x），对定义域内的每一个x的值，每增加或减少一个不为零的定值T，函数值就重复出现，这个函数就叫做周期函数，即f(x+T)= f(x)。（一）、周期函数及周期的定义周期函数定义如下：一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)= f(x)，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。前面函数y=f(t)的周期可以认为是4、8、12、……（二）、最小正周期的概念.对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期.注意今后不加特殊说明，涉及的周期都是最小正周期. 显然上面的函数y=f(t)的周期T=4.(三)、三角函数的周期思考：正弦函数y=sinx是周期函数吗？即能否找到非零常数T，使sin(T+x)= sinx成立？[sin(2π+x)=sinx，sin(4π+x)=sinx，根据周期函数定义判断它是周期函数，又根据周期的规定，它的周期T=2π（最小正值）]用几何画板展示周期函数y=sinx的图象，使学生感知其特征。讨论：余弦函数y=cosx和正切函数y=tanx也是周期函数，并找出它们的周期。 [周期分别是2π、π]四、数学运用例1若钟摆的高度h（mm）与时间t(s)之间的函数关系如图所示。求该函数的周期；求t=10s时钟摆的高度。分析：周期可由两顶点间距离确定，此函数周期T=1.5；根据函数的周期性，f(10)=f(10－1.5)=f(10－2·1.5)= ……=f(10－1.5k)(其中k为整数)，直到10－1.5k=1或2.5为止，即f(10)=f(1)=20.解：(略)例2 求函数f(x)=cos3x的周期。解：设周期为T. f(x)=cos3x=cos(3x+2π)，f(x+T)=cos3(x+T)由f(x)= f(x+T)得，3x+2π=3(x+T)，解得T=2π/3. ∴函数f(x)=cos3x的周期2π/3.注意：①运用了换元方法，u=3x；②f(u)=cosu的(最小正)周期是2π；即cosu=cos(u+2π)；③由于cos(3x+2π) =cos3(x+T)对任一x的值都成立，所以3x+2π=3(x+T)；④f(x)= cos3x的周期与f(u)=cosu的周期是两个不同的概念。尝试练习(1)求g(x)=2sin()的周期。(2)证明函数（其中为常数，且）的周期.结论:一般的，周期函数y=Asin(ωx+ )及y=Acos(ωx+ )(其中A，ω，为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T= .学生练习： 课本P27页 练习1、2、3、4五、回顾反思通过这节课的学习，你有哪些收获？1.周期函数、周期概念。一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x),那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。2.函数y=sinx和函数y=cosx是周期函数,且周期均为2π.3.函数y=tanx是周期函数,且周期均为π.4. 周期函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ) (其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期的求法。 六、课外作业：
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班级 姓名 学号__________ 成绩
1、 下列函数中，既是以为周期的奇函数，又是（0，）上的增函数
的是 （ ）
A． B C D
2、 下列函数中，周期为的偶函数是（ ）
A． B C D
3、求下列函数的周期：
（1）
（2）
（3） ；
（4）
4、函数的最小正周期 是___________
5、设f ( x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f (1) = 2，则
f (5) = ；
6、若函数的最小正周期 是，求正数k值
7、若a≠0，求y=sin（ax+）的最小正周期。
8、已知满足：均有。求证：是
周期函数，并求出它的一个周期。
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课 题 弧度制 第 1 课时
课 型 新授课 主备人 时间
教学目标 1：要求学生掌握弧度制的定义，2：学会弧度制与角度制互化，3：并进而建立角的集合与实数集一一对应关系的概念。
教学重点 熟练地进行角度制与弧度制的互化换算，弧度制的运用
教学难点 1弧度的角的含义、弧度与角度的换算；
一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。 二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制 它的单位是rad 读作弧度 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。 如图：AOB=1rad AOC=2rad 周角=2rad 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0角的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。三、角度制与弧度制的换算 抓住：360=2rad ∴180= rad ∴ 1= 例一 把化成弧度 解： ∴ 例二 把化成度 解： 注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行； 2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3表示3rad sin表示rad角的正弦 3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9表） 4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。 任意角的集合 实数集R四、练习（P11 练习1 2） 例三 用弧度制表示：1终边在轴上的角的集合 2终边在轴上的角的集合 3终边在坐标轴上的角的集合 解：1终边在轴上的角的集合 2终边在轴上的角的集合 3终边在坐标轴上的角的集合 五、 小结：1．弧度制定义 2．与弧度制的互化六、作业：
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班级 姓名 学号__________ 成绩
1. 角的集合A={x|x=+k，kZ}与集合B={x|x=+2k，kZ}，则集合A与B的关系为（ ）.
A．AB B.AB C.A=B D.不确定
2．在（-4，4）内与-终边相同的角为 .
3. 与-π终边相同的角是 ，它们是第 象限的角，其中最小正角为 ，最大负角为 .
4． 下列各角从度化成弧度：
（1） 18°＝ ； （2） -120°＝ ；
（3） 735°＝ ； （4） 1080°＝ .
5． 把下列各角从弧度化成度：
（1）-π＝ ； （2）-π＝ ；
（3）1.4＝ ; (4) ＝
6.把下列各角 化成0到2π的角加上2kπ(k∈Z)的形式：
（1）-π＝ ； （2）-5π＝ ；
（3）-45°＝ ； （4）400°＝ .
7.(用弧度制表示)第一象限角的集合为 ，第一或
第三象限角的集合为 .
8).7弧度的角在第 象限，与7弧度角终边相同的最小正角
为 .
9求值：.
10.已知集合Ａ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ｝，B＝｛α｜－4≤α≤4｝，求A∩B.
11.现在时针和分针都指向12点，试用弧度制表示15分钟后，时针和分针的夹角.
o
r
C
2rad
1rad
r
l=2r
o
A
A
B
正角
零角
负角
正实数
零
负实数
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课 题 任意角的三角函数 第 2课时
课 型 新授课 主备人 时间
教学目标 1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
教学重点 正弦、余弦、正切线的概念
教学难点 正弦、余弦、正切线的利用
一、复习引入：1．三角函数的定义及定义域、值域：练习1：已知角的终边上一点，且，求的值。解：由题设知，，所以，得，从而，解得或．当时，， ；当时，，；当时，，．2．三角函数的符号：练习2：已知且，（1）求角的集合；（2）求角终边所在的象限；（3）试判断的符号。3．诱导公式：练习3：求下列三角函数的值：（1）， （2）， （3）． 二、讲解新课： 当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。1．单位圆：圆心在圆点，半径等于单位长的圆叫做单位圆。2．有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。3．三角函数线的定义：设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有， ，．我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。说明：①三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值。④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。4．例题分析：例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。（1）； （2）； （3）； （4）．解：图略。例2.利用三角函数线比较下列各组数的大小：1 与 2 tan与tan 3 cot与cot 解： 如图可知： tan tan cot cot例3．利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角1 sin≥ 2 tan 解： 1 2 30≤≤150 3090或210270例4．利用单位圆写出符合下列条件的角的范围。（1）； （2）； （3）且；（4）； （5）且．答案：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．三、巩固与练习1．利用余弦线比较的大小； 2．若，则比较、、的大小； 3．分别根据下列条件，写出角的取值范围： （1） ； （2） ； （3）．四、小 结：本节课学习了以下内容：1．三角函数线的定义； 2．会画任意角的三角函数线；3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。五、板书设计：
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班级 姓名 学号__________ 成绩
1.角（0<<2）的正弦线与余弦线的长度相等，且符号相同，那么的值为 （ ）
A． B. C.或 D.以上都不对
2、若cos>0，csc<0，则角在（ ）
A 第一、二象限 B 第四象限 C 第三、四象限 D 第二、四象限
3、为第一象限的角，那么，sin2，cos2，sin，cos中，必定取正值的有（ ）
A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
4.函数y=的定义域为 （ ）
A． B.{} C.{x|x=+k,kZ} D. {x|x=+2k,kZ}
5.函数y=tanx+cotx的定义域是 （ ）
A.{x|xR且x ,x} B.{x|xR且x ,kZ}
C.{x|xR且xk, kZ} D.{x|xR且xk+ , kZ }
6、如果sin>0,tan<0，那么，tan的值是（ ）
A 正数 B 负数 C 非负数 D 可正可负
7、函数的定义域为 。
8．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
（1） （2） （3） （4）
9.已知角的终边在直线y=x上，求sin和cot的值.
10、若函数y＝lg（sinxcosx）有意义，问x是第几象限的角？
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅳ）
（Ⅲ）
A
B
o
T2
T1
S2 S1
P2
P1
M2 M1 S1
x
y
o
T
A
210
30
x
y
o
P1
P2
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课 题 正切函数的性质与图象 第 3 课时
课 型 新授课 主备人 时间
教学目标 知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；
2.用正切函数图象解决函数有关的性质；能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；
2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法； 德育目标：培养认真学习的精神；
教学重点 用单位圆中的正切线作正切函数图象；
教学难点 正切函数的性质。
一、复习引入：问题：正弦曲线是怎样画的？正切线 练习正切线，画出下列各角的正切线： ．下面我们来作正切函数和余切函数的图象．二、讲解新课： 1．正切函数的定义域是什么？ 2．正切函数是不是周期函数？ ， ∴是的一个周期。 是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。3．作，的图象 说明：（1）正切函数的最小正周期不能比小，正切函数的最小正周期是；（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数，且的图象，称“正切曲线”。（3）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的。4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：（1）定义域：；（2）值域：R观察：当从小于，时， 当从大于，时，。（3）周期性：；（4）奇偶性：由知，正切函数是奇函数；（5）单调性：在开区间内，函数单调递增。5.余切函数y=cotx的图象及其性质（要求学生了解）：——即将的图象，向左平移个单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得的图象定义域：值域：R，当时，当时周期： 奇偶性：奇函数单调性：在区间上函数单调递减6.讲解范例：例1比较与的大小解：，，又：内单调递增，例2讨论函数的性质略解：定义域：值域：R 奇偶性：非奇非偶函数单调性：在上是增函数图象：可看作是的图象向左平移单位例3求函数y＝tan2x的定义域解：由2x≠kπ＋，(k∈Z)得x≠＋，(k∈Z)∴y＝tan2x的定义域为：｛x｜x∈R且x≠＋，k∈Z｝例4观察正切曲线写出满足下列条件的x的值的范围：tanx＞0解：画出y＝tanx在(－，)上的图象，不难看出在此区间上满足tanx＞0的x的范围为：0＜x＜结合周期性，可知在x∈R，且x≠kπ＋上满足的x的取值范围为(kπ，kπ＋)(k∈Z)例5不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小解：∵90°＜135°＜138°＜270°又∵y＝tanx在x∈(90°，270°)上是增函数∴tan135°＜tan138°三、巩固与练习求函数y＝tan2x的定义域、值域和周期。解：（1）要使函数y＝tan2x有意义，必须且只须2x≠＋ｋπ，ｋ∈Z即x≠＋，ｋ∈Z∴函数y＝tan2x的定义域为｛x∈R｜，x≠，ｋ∈Z｝（2）设ｔ＝2x，由x≠，ｋ∈Z｝知ｔ≠＋ｋπ，ｋ∈Z∴y＝tanｔ的值域为（－∞，＋∞）即y＝tan2x的值域为（－∞，＋∞）（3）由tan2（x＋）＝tan（2x＋π）＝tan2x∴y＝tan2x的周期为．四、小 结：本节课学习了以下内容：1.因为正切函数的定义域是，所以它的图象被等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。2.作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期（-π/2，π/2）的区间内的函数的图象，然后再将它沿x轴向左或向右移动，每次移动的距离是π个单位，就可以得到整个正切函数的图象。讨论函数的单调性应借助图象或相关的函数的单调性；形如y＝tan(ωx)，x≠ (k∈Z)的周期T＝；注意正切函数的图象是由不连续的无数条曲线组成的五、课后作业：六、板书设计：
1、函数，）的周期是（ ）
A B C D
2、下列函数中，周期是，且在上为增函数的是（ ）
A B C D
3、函数的定义域是（ ）
A B
C D
4、下列结论正确的是（ ）
A、 当x为第二象限角时，y=sinx与y=tanx都是减函数
B、 余切函数y=cotx在整个定义域内是减函数
C、 若，则cosx>cotx
D、 函数y=tanx在它的一个周期内是增函数
5、函数，的单调区间是（ ）
A、 B、
C、 D、
6、函数的图象对称于（ ）
A 原点 B y轴 C x轴 D 直线y=x
7、若函数的最小正周期是，则正数a=
8、函数的定义域为 ，值域为
9、若，且f(--1)=0,求f(1)
10、求函数的定义域
y
0
x
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课 题 三角函数的图象、性质 第2课时
课 型 复习课 主备人 时间
教学目标 三角函数的图象、性质的进一步理解与应用
教学重点 三角函数的图象、性质的应用
教学难点 三角函数的图象、性质的应用
一、基础练习1、求值 sin210+sin220+sin230+…+sin2900 。2、函数的最小周期为 （ ） A B C D3、函数的定义域为 。4、若函数的最大值为M，最小值是N，则3M－N= 。5、函数y=－3sin2x＋12sinx－1的最大值是（ ）。 A.11 B.8 C.－16 D.－15、求下列函数的单调区间（1）；（2）二、例题分析例1、求函数的最大值和最小值例题2、已知函数求y取最大值时x的值求函数的单调区间和对称中心的坐标。写出它的图象可以怎样由的图象变换得到。例题3、若函数的最大值为负值，求的取值的范围。例题4、已知函数在区间（0，1）内至少取得两次最小值，且至多取得三次最大值，求的取值范围。说明：应养成从“形”上捕捉信息、发现规律的良好习惯；周期性是三角函数的显著特征之一，应灵活应用其简化解题过程。例5、判断下列函数的奇偶性（1）；（2）；指出：函数的定义域不对称该函数一定既不是奇函数也不是偶函数。如中，三、小结：1、求函数的单调区间时，要注意定义域2、利用单调性比较大小时，要注意只有属于同一单调区间的同名函数的两个函数值才能由单调性比较大小。4、判断函数的奇偶性首先考虑定义域5、求三角函数最值的常用方法有：（1）换元法（2）部分分式法（2）配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；（3）数形结合法（常用直线的斜率）；
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班级 姓名 学号__________ 成绩
1、函数在一个周期内的图象是
2、的大小顺序是（ ）
A. B.
C. D.
3、已知函数在区间上单调递增，是锐角三角形的两个内角，则（ ）
A. B.
C. D.
4、已知sinα＋cosα=，则tanα＋cotα的值为 （ ）。
A.－2 B.－1 C.1 D.2
5、如果|x|≤，那么函数f (x)=cos2x＋sinx的最小值是（ ）。
A. B.－ C.－1 D.
6、函数的最小正周期是 。
7、已知函数，
则 。
8、若函数的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后再将整个图象沿轴向左平移个单位，沿轴向下平移1个单位，得到的曲线与图象相同，求的表达式。
9、已知函数+k的最大值为3，最小值为 －1，周期为π，且图像过(0，2)点，求解析式。
10、已知函数若对于任意实数，在区间上函数值出现出现的次数不少于4，又不多于8，求的值。
11、已知函数。是否存在有理数使得的值域为？若存在，求出相应的值；若不存在，说明理由。
y
y
y
o
o
o
x
o
x
x
x
B
A
C
D
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课 题 三角函数的诱导公式 第 3 课时
课 型 新授课 主备人 时间
教学目标 能熟练掌握诱导公式一至五，并运用求任意角的三角函数值，同时学会关于90 k ± , 270 ± 四套诱导公式，并能应用，进行简单的三角函数式的化简及论证。
教学重点 诱导公式
教学难点 诱导公式的应用
一、复习引入：诱导公式一（其中）: 用弧度制可写成 公式二： 用弧度制可表示如下： 公式三： 公式四： 用弧度制可表示如下： 公式五： 用弧度制可表示如下： 二、讲解新课： 诱导公式6：sin(90 ) = cos, cos(90 ) = sin. tan(90 ) = cot, cot(90 ) = tan. 诱导公式7：sin(90 +) = cos, cos(90 +) = sin. tan(90 +) = cot, cot(90 +) = tan. 如图所示 sin(90 +) = M’P’ = OM = cos cos(90 +) = OM’ = PM = MP = sin或由6式：sin(90 +) = sin[180 (90 )] = sin(90 ) = coscos(90 +) = cos[180 (90 )] = sin(90 ) = cos诱导公式8：sin(270 ) = cos, cos(270 ) = sin. tan(270 ) = cot, cot(270 ) = tan. 诱导公式9：sin(270 +) = cos, cos(270 +) = sin. tan(270 +) = cot, cot(270 +) = tan. 三、讲解范例：例1证： 左边 = 右边 ∴等式成立例2解：例3 解： 从而例4 解： 四、课堂练习：1．计算：sin315sin(480)+cos(330) 解：原式 = sin(36045) + sin(360+120) + cos(360+30) = sin45 + sin60 + cos30 =2．已知解： 3．求证： 证：若k是偶数，即k = 2 n (nZ) 则： 若k是奇数，即k = 2 n + 1 (nZ) 则：∴原式成立4．已知方程sin( 3) = 2cos( 4)，求的值。解： ∵sin( 3) = 2cos( 4) ∴ sin(3 ) = 2cos(4 )∴ sin( ) = 2cos( ) ∴sin = 2cos 且cos 0 ∴5．已知解：由题设： 由此：当a 0时，tan < 0, cos < 0, 为第二象限角， 当a = 0时，tan = 0, = k, ∴cos = ±1， ∵ ∴cos = 1 , 综上所述：6．若关于x的方程2cos2( + x) sinx + a = 0 有实根，求实数a的取值范围。 解：原方程变形为：2cos2x sinx + a = 0 即 2 2sin2x sinx + a = 0∴∵ 1≤sinx≤1 ∴； ∴a的取值范围是[]五、回顾小结 应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：1用“ ”公式化为正角的三角函数；2用“2k + ”公式化为[0，2]角的三角函数；3用“±”或“2 ”公式化为锐角的三角函数六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：
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班级 姓名 学号__________ 成绩
1、若，则 （ ）
A B C D
2、函数 （ x ∈Z）的值域是 （ ）
A B
C D
3、设，则 （ ）
A B C 0 D
4、在△ABC中，下列等式成立的是 （ ）
A cot（A+C）＝cotB B tan(A+C)=-tanB
C sin(A+C)=－sinB D cos(A+C)=cosB
5、下列不等式中，成立的是 （ ）
A B
C D
6、已知则的值为 （ ）
A B C D
7、如果，则x的值为_______________
8:已知=_____________
9、 求值：
10、已知：, 求证：
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