学生姓名： 年级：初二 任教学科：数学 教学次数：2 教学时间：2014.3
指导教师： 教学模式：小班 教学地点：滨湖区万达 新区宝龙 胡埭校区
上次课程学生存在的问题：掌握较好
学生问题的解决方案：
考纲要求
1．能正确指出自然和社会现象中的一些必然事件、不可能事件、不确定事件．
2．能从实际问题中了解概率的意义，能用列举法计算随机事件发生的概率．
3．能用大量重复试验时的频率估计事件发生的概率.
命题趋势
概率是中考命题的必考点，选材多来自游戏、抽奖等生活题材，主要考查必然事件、不可能事件及随机事件的区别，用列表、画树状图法求简单事件发生的概率以及用频率估计概率，题型以填空题、选择题及解答题的形式出现.
知识梳理
一、事件的有关概念
1．必然事件
在现实生活中__________发生的事件称为必然事件．
2．不可能事件
在现实生活中__________发生的事件称为不可能事件．
3．随机事件
在现实生活中，有可能__________，也有可能__________的事件称为随机事件．
4．分类
事件
二、用列举法求概率
1．定义
在随机事件中，一件事发生的可能性__________叫做这个事件的概率．
2．适用条件
(1)可能出现的结果为__________多个；
(2)各种结果发生的可能性__________．
3．求法
(1)利用__________或__________的方法列举出所有机会均等的结果；
(2)弄清我们关注的是哪个或哪些结果；
(3)求出关注的结果数与所有等可能出现的结果数的比值，即关注事件的概率．
列表法一般应用于两个元素，且结果的可能性较多的题目，当事件涉及三个或三个以上元素时，用树形图列举．
三、利用频率估计概率
1．适用条件
当试验的结果不是有限个或各种结果发生的可能性不相等．
2．方法
进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个__________时，该__________就可认为是这个事件发生的概率．
四、概率的应用
概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象作出评判，如解释摸奖，配紫色，评判游戏活动的公平性，数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件作出决策．
自主测试
1．下列说法正确的是( )
A．打开电视机，正在播放新闻
B．给定一组数据，那么这组数据的中位数一定只有一个
C．调查某品牌饮料的质量情况适合普查
D．盒子里装有2个红球和2个黑球，搅匀后从中摸出两个球，一定一红一黑
2．两个正四面体骰子的各面上分别标明数字1,2,3,4，如同时投掷这两个正四面体骰子，则着地的面所得的点数之和等于5的概率为( )
A． B． C． D．
3．有一箱规格相同的红、黄两种颜色的小塑料球共1 000个．为了估计这两种颜色的球各有多少个，小明将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率约为0.6，据此可以估计红球的个数约为__________．
4．扬州市体育中考现场考试内容有三项：50米跑为必测项目；另在立定跳远、实心球(二选一)和坐位体前屈、1分钟跳绳(二选一)中选择两项．
(1)每位考生有__________种选择方案；
(2)用画树状图或列表的方法求小明与小刚选择同种方案的概率．(友情提醒：各种方案用A，B，C，…或①，②，③，…等符号来代表可简化解答过程)
探究考点方法
考点一、事件的分类
【例1】下列事件属于必然事件的是( )
A．在1个标准大气压下，水加热到100 ℃沸腾
B．明天我市最高气温为56 ℃
C．中秋节晚上能看到月亮
D．下雨后有彩虹
等．
触类旁通1 下列事件中，为必然事件的是( )
A．购买一张彩票，中奖
B．打开电视，正在播放广告
C．抛掷一枚硬币，正面向上
D．一个袋中只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球
考点二、用列举法求概率
【例2】在一个不透明的口袋中装有4张形状、大小相同的纸牌，它们分别标有数字1,2,3,4.随机地摸出一张纸牌，记下数字，然后放回，洗匀后再随机摸出一张纸牌并记下数字．
(1)计算两次摸出的纸牌上的数字之和为6的概率；
(2)甲、乙两个人玩游戏，如果两次摸出纸牌上的数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上的数字之和为偶数，则乙胜．这个游戏公平吗？请说明理由．
分析：游戏是否公平，应该根据事件发生的概率大小确定，用列表法或画树状图求出各事件发生的概率，然后再判断游戏是否公平．
解：用树状图法：
或列表法：
由上表可以看出，摸出一张纸牌然后放回，再随机摸出纸牌，可能结果有16种，它们出现的可能性相等．
(1)两次摸出纸牌上的数字之和为6(记为事件A)有3种可能结果，P(A)＝.
(2)这个游戏公平，理由如下：
两次摸出纸牌上数字之和为奇数(记为事件B)有8种可能结果，P(B)＝＝.
两次摸出纸牌上数字之和为偶数(记为事件C)有8种可能结果，P(C)＝＝.
两次摸出纸牌上数字之和为奇数和为偶数的概率相同，所以这个游戏公平．
方法总结 1．用列举法求概率，无论是简单事件还是复杂事件，都先列举所有可能出现的结果，再代入P(A)＝计算．
2．在用列举法解题时，一定要注意各种情况出现的可能性务必相同，不要出现重复、遗漏等现象．
3．判断游戏的公平性，在相同的条件下，应考虑随机事件发生的可能性是否相同，可能性大的获胜机会就大．
触类旁通2 甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛，
(1)请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率；
(2)若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率．
考点三、频率与概率
【例3】小明在学习了统计与概率的知识后，做了投掷骰子的试验，小明共做了100次试验，试验的结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 17 13 15 23 20 12
(1)试求“4点朝上”和“5点朝上”的频率；
(2)由于“4点朝上”的频率最大，能不能说一次试验中“4点朝上”的概率最大？为什么？
解：(1)“4点朝上”出现的频率是＝0.23.
“5点朝上”出现的频率是＝0.20.
(2)不能这样说，因为“4点朝上”的频率最大并不能说明“4点朝上”这一事件发生的概率最大，只有当试验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近．
方法总结 在大量重复试验中，随着统计数据的增大，频率稳定在某个常数左右，将该常数作为概率的估计值，两者的区别在于：频率是通过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性，二者并不完全相同．
触类旁通3 某质检员从一大批种子中抽取若干批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：
种子粒数 50 100 200 500 1 000 3 000 5 000
发芽种子粒数 45 92 184 458 914 2 732 4 556
发芽频率
(1)计算各批种子发芽频率，填入上表．
(2)根据频率的稳定性估计种子的发芽概率．
考点四、概率的应用
【例4】在一副扑克牌中取牌面花色分别为黑桃、红心、方块各一张，洗匀后正面朝下放在桌面上．
(1)从这三张牌中随机抽取一张牌，抽到牌面花色为红心的概率是多少？
(2)小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面花色后放回，洗匀后，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面花色．当两张牌面的花色相同时，小王赢；当两张牌面的花色不相同时，小李赢．请你利用树状图或列表法分析该游戏规则对双方是否公平？并说明理由．
解：(1)P(抽到牌面花色为红心)＝.
(2)游戏规则不公平．
理由如下：
由树状图或表格知：所有可能出现的结果共有9种．
P(抽到牌面花色相同)＝＝，
P(抽到牌面花色不相同)＝＝.
∵＜，∴此游戏不公平，小李赢的可能性大．
方法总结 游戏公平与否，关键是根据规则算出各自的概率，概率均等则游戏公平，否则就不公平．设计游戏规则时，应先根据题意求出随机事件的各种可能出现的情况的概率，再根据其中概率相等时的情况设计公平的游戏规则，也可根据概率不相等时的情况设计公平的游戏规则．
触类旁通4 (1)四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为( )
A． B． C． D．1
(2)5月19日为中国旅游日，衢州推出“读万卷书，行万里路，游衢州景”的主题系列旅游惠民活动，市民王先生准备在优惠日当天上午从孔氏南宗庙、烂柯河、龙游石窟中随机选择一个地点；下午从江郎山、三衢石林、开化根博园中随机选择一个地点游玩．则王先生恰好上午选中孔氏南宗庙，下午选中江郎山这两个地点的概率是( )
A． B． C． D．
品鉴经典考题
1．(2012浙江宁波)一个不透明口袋中装着只有颜色不同的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，摸到白球的概率为( )
A． B． C． D．1
2．(2012浙江义乌)义乌国际小商品博览会某志愿小组有五名翻译，其中一名只会翻译阿拉伯语，三名只会翻译英语，还有一名两种语言都会翻译．若从中随机挑选两名组成一组，则该组能够翻译上述两种语言的概率是( )
A． B． C． D．
3．(2012浙江杭州)一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是( )
A．摸到红球是必然事件
B．摸到白球是不可能事件
C．摸到红球与摸到白球的可能性相等
D．摸到红球比摸到白球的可能性大
4．(2012四川攀枝花)抛掷一枚质地均匀、各面分别标有1,2,3,4,5,6的骰子，正面向上的点数是偶数的概率是__________．
5．(2012湖南长沙)任意抛掷一枚硬币，则“正面朝上”是__________事件．
6．(2012四川达州)如下图，在某十字路口，汽车可直行、可左转、可右转．若这三种可能性相同，则两辆汽车经过该路口都向右转的概率为__________．
7．(2012湖南益阳)有长度分别为2 cm,3 cm,4 cm,7 cm的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是__________．
8．(2012福建泉州)在一个不透明的盒子中，共有“一白三黑”4个围棋子，它们除了颜色之外没有其他区别．
(1)随机地从盒中提出1子，则提出白子的概率是多少？
(2)随机地从盒中提出1子，不放回再提第二子，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求恰好提出“一黑一白”子的概率．
研习预测试题
1．某中学举行数学竞赛，经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛，那么九年级同学获得前两名的概率是( )
A． B． C． D．
2．在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为( )
A．2 B．4 C．12 D．16
3．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是( )
A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次
D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
4．在x22xyy2的空格中，分别填上“＋”或“－”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是( )
A．1 B．
C． D．
5．在半径为2的圆中有一个内接正方形，现随机地往圆内投一粒米，落在正方形内的概率为__________．(注：π取3)
6．从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是__________．
7．如图所示，一个圆形转盘被等分为八个扇形区域，上面分别标有数字1,2,3,4，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．转动转盘一次，当转盘停止转动时，记指针指向标有“3”所在区域的概率为P(3)，指针指向标有“4”所在区域的概率为P(4)，则P(3)__________P(4)．(填“＞”、“＜”或“＝”)
8．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸到的是白球，小明去听讲座．
(1)爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因；
(2)若爸爸从袋中取出3个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，请问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利，说明理由．
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．B 2．A 3．600
4．解：(1)4
(2)把4种方案分别列为：
A：立定跳远、坐位体前屈；B：实心球、1分钟跳绳；C：立定跳远、1分钟跳绳；D：实心球、坐位体前屈．
画树状图如下：
∴P(小明与小刚选择同种方案)＝＝.
探究考点方法
触类旁通1．D
触类旁通2．解：(1)列表法如下：
甲 乙 丙 丁
甲 乙甲 丙甲 丁甲
乙 甲乙 丙乙 丁乙
丙 甲丙 乙丙 丁丙
丁 甲丁 乙丁 丙丁
所有可能出现的情况有12种，其中甲、乙两位同学组合的情况有两种，所以P＝＝.
(2)若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，共有3种情况，选中乙的情况有一种，所以P(恰好选中乙同学)＝.
触类旁通3．解：(1)通过计算，发芽频率从左到右依次为：0.9,0.92,0.92,0.916,0.914,0.911,0.911.
(2)由(1)知，发芽频率逐渐稳定在0.911，因此可以估计种子的发芽概率为0.911.
触类旁通4．(1)B 在四个图案中，是中心对称图形的图案有2个，所以正面图案是中心对称图形的概率为.
(2)A 列树形图可知共有9种等可能的结果，所以上午选中孔氏南宗庙，下午选中江郎山这两个地点的概率是.
品鉴经典考题
1．A 因为根据题意可得：一个不透明口袋中装着只有颜色不同的1个红球和2个白球，共3个，任意摸出1个，摸到白球的概率是2÷3＝.
2．B ∵将一名只会翻译阿拉伯语用A表示，三名只会翻译英语都用B表示，一名两种语言都会翻译用C表示，画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，该组能够翻译上述两种语言的有14种情况，
∴该组能够翻译上述两种语言的概率为＝.
3．D 摸到红球是随机事件，故选项A错误；
摸到白球是随机事件，故选项B错误；
根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故选项C错误；
根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故选项D正确．
4． 因为所有的可能有1,2,3,4,5,6，是偶数的可能有2,4,6，所以概率为P＝＝.
5．随机 因为抛掷1枚均匀硬币可能正面朝上，也可能反面朝上，故抛掷1枚均匀硬币正面朝上是随机事件．
6． 因为所有可能有：直行、直行；直行、左转；直行、右转；左转、直行；左转、左转；左转、右转；右转、直行；右转、左转；右转、右转．两辆汽车都向右转只有一次，所以概率为P＝.
7． 因为长度为2 cm,3 cm,4 cm,7 cm的四条线段，从中任取三条线段共有2,3,4；3,4,7；2,4,7；3,4,7四种情况，而能组成三角形的有2,3,4，共有1种情况，
所以能组成三角形的概率是.
8．解：(1)P(白子)＝.
(2)方法一：所有等可能的结果，画树状图如下：
∴P(一黑一白)＝＝.
方法二：所有等可能的结果，列表如下.
∴P(一黑一白)＝＝.
研习预测试题
1．D 2．B 3．A 4．C 5． 6． 7．＞
8．解：(1)∵P(小明胜)＝，P(妹妹胜)＝，
∴P(小明胜)≠P(妹妹胜)．
∴这个办法不公平．
(2)当x＞3时对小明有利，当x＜3时对妹妹有利，
当x＝3时是公平的．
巩固提高
7、（2012山东省德州三模）在中央电视台第2套《购物街》栏目中，有一个精彩刺激的游戏――幸运大转盘，其规则如下：
①游戏工具是一个可绕轴心自由转动的圆形转盘，转盘按圆心角均匀划分为20等分，并在其边缘标记5、10、15、…、100共20个5的整数倍数，游戏时，选手可旋转转盘，待转盘停止时，指针所指的数即为本次游戏的得分；
②每个选手在旋转一次转盘后可视得分情况选择是否再旋转转盘一次，若只旋转一次，则以该次得分为本轮游戏的得分，若旋转两次则以两次得分之和为本轮游戏的得分；
③若某选手游戏得分超过100分，则称为“爆掉”，该选手本轮游戏裁定为“输”，在得分不超过100分的情况下，分数高者裁定为“赢”；
④遇到相同得分的情况，相同得分的选手重新游戏，直到分出输赢．
现有甲、乙两位选手进行游戏，请解答以下问题：
（1）甲已旋转转盘一次，得分65分，他选择再旋转一次，求他本轮游戏不被“爆掉”的概率．
（2）若甲一轮游戏最终得分为90分，乙第一次旋转转盘得分为85分，则乙还有可能赢吗 赢的概率是多少？
（3）若甲、乙两人交替进行游戏，现各旋转一次后甲得85分，乙得65分，你认为甲是否应选择旋转第二次？说明你的理由．
答案：解：（1）甲可取5、10、15、20、25、30、35，……………………………………2分
∴P（不爆掉）=…………………………………………………………3分
（2）乙有可能赢，…………………………………………………………………4分
乙可取5、10、15，…………………………………………………………6分
P（乙赢）=…………………………………………………………………7分
（3）甲选择不转第二次. …………………………………………………………8分
理由是：甲选择不转第二次，乙必须选择旋转第二次，
此时P（乙赢）=，∴乙获胜的可能性较小．………………………10分
或“甲若选择转第二次，P（甲爆掉）=，∴甲输而乙获胜的可能性较大．”…………………………………………………………………………………10分
（叙述的理由合理即可）
8（2012上海市奉贤区调研试题）某校开展了以“人生观、价值观”为主题的班队活动，活动结束后，九(2)班数学兴趣小组提出了5个主要观点并在本班50名学生中进行了调查（要求每位同学只选自己最认可的一项观点），并制成了如下扇形统计图．
（1）该班学生选择“互助”观点的有 人，在扇形统计图中，“和谐”观点所在扇形区域的圆心角是 度；
（2）如果该校有1500名九年级学生，利用样本估计选择“感恩”观点的九年级学生约有______人．
（3）如果数学兴趣小组在这5个主要观点中任选两项观点在全校学生中进行调查，求恰好选到“和谐”和“感恩”观点的概率．（用树状图或列表法分析解答）
答案：解：（1）6，36； （4分）
（2）420； （2分）
（3）以下两种方法任选一种
（用树状图）设平等、进取、和谐、感恩、互助的序号依次是①②③④⑤
(2分)
∴恰好选到“和谐”和“感恩”观点的概率是 (2分)
（用列表法）
平等 进取 和谐 感恩 互助
平等 平等、进取 平等、和谐 平等、感恩 平等、互助
进取 进取、平等 进取、和谐 进取、感恩 进取、互助
和谐 和谐、平等 和谐、进取 和谐、感恩 和谐、互助
感恩 感恩、平等 感恩、进取 感恩、和谐 感恩、互助
互助 互助、平等 互助、进取 互助、和谐 互助、感恩
(2分)
∴恰好选到“和谐”和“感恩”观点的概率是 (2分)
9、（2012江苏无锡前洲中学模拟）如图，一个被等分成了3个相同扇形的圆形转盘，3个扇形分别标有数字1、3、6，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停止在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘）.
（1）请用画树状图或列表的方法(只选其中一种)，表示出分别转动转盘两次转盘自由停止后，指针所指扇形数字的所有结果；
（2）求分别转动转盘两次转盘自由停止后，指针所指扇形的数字之和的算术平方根为无理数的概率.
答案：、解：（1）列表如下： 树状图如下：
1 3 6
1 （1，1） （1，3） （1，6）
3 （3，1） （3，3） （3，6）
6 （6，1） （6，3） （6，6）
总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同．---------------3分
---------------6分
15 （2012年，广东二模）2011年6月4日，李娜获得法网公开赛的冠军，圆了中国人的网球梦，也在国内掀起一股网球热．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座．
(1)爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因；
(2)若爸爸从袋中取出3个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，请问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利，说明理由．
解：(1)∵红球有2x个，白球有3x个，
∴P(红球)＝＝，
P(白球)＝＝，
∴P(红球)< P(白球)，
∴这个办法不公平．
(2)取出3个白球后，红球有2x个，白球有(3x－3)个，
∴P(红球)＝，P(白球)＝，x为正整数，
∴P(红球)－ P(白球) ＝.
①当x<3时，则P(红球)> P(白球)，
∴对小妹有利．
②当x＝3时，则P (红球)＝ P(白球)，
∴对小妹、小明是公平的．
③当x>3时，则P(红球)< P(白球)，
∴对小明有利．
23、（2012年4月韶山市初三质量检测）在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4. 随机地摸取出一张纸牌，然后放回，再随机摸取出一张纸牌.
（1）计算两次摸取纸牌上的数字之和为5的概率（要有分析过程）；
（2）甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；
如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数，则乙胜。这是个公平的游戏吗？请说明理由.
【答案】解：用树状图法
第一次： 1 2 3 4
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
和 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 5 6 7 8
解法二：列表法
列表如下：
甲 乙 1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
.3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
由上表可以看出，摸取一张纸牌然后放回，再随机摸取出纸牌，可能结果有16种，它们出现的可能性相等.
(1)两次摸取纸牌上数字之和为5（记为事件A）有4个，P(A)==
(2)这个游戏公平，理由如下：
两次摸出纸牌上数字之和为奇数（记为事件B）有8个，P(B)==
两次摸出纸牌上数字之和为偶数（记为事件C）有8个，P(C)==
两次摸出纸牌上数字之和为奇数和为偶数的概率相同，所以这个游戏公平.
25、[河南开封2012年中招第一次模拟]（10分）在“传名人名言”活动中，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发的“名人名言”条数的情况进行了统计，并制成如下两幅不完整的统计图：
（1）求该班团员在这一个月内所发名人名言的平均条数是多少？并将该条形统计图补充完整；
（2）如果发了3条名人名言的同学中有两位男同学，发了4条名人名言的有三位女同学，现在从发了3条和4条的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“传名人名言”活动总结会，请你用列表法或画树状图的方法求出所选的两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率。
答案：
1
3
6学生姓名： 年级：初二 任教学科：数学 教学次数： 教学时间： 2014.3
指导教师： 教学模式：小班 教学地点：滨湖区万达 新区宝龙 胡埭校区
知识梳理
一、事件的有关概念
1．必然事件
在现实生活中__________发生的事件称为必然事件．
2．不可能事件
在现实生活中__________发生的事件称为不可能事件．
3．随机事件
在现实生活中，有可能__________，也有可能__________的事件称为随机事件．
4．分类
事件
二、用列举法求概率
1．定义
在随机事件中，一件事发生的可能性__________叫做这个事件的概率．
2．适用条件
(1)可能出现的结果为__________多个；
(2)各种结果发生的可能性__________．
3．求法
(1)利用__________或__________的方法列举出所有机会均等的结果；
(2)弄清我们关注的是哪个或哪些结果；
(3)求出关注的结果数与所有等可能出现的结果数的比值，即关注事件的概率．
列表法一般应用于两个元素，且结果的可能性较多的题目，当事件涉及三个或三个以上元素时，用树形图列举．
三、利用频率估计概率
1．适用条件
当试验的结果不是有限个或各种结果发生的可能性不相等．
2．方法
进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个__________时，该__________就可认为是这个事件发生的概率．
四、概率的应用
概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象作出评判，如解释摸奖，配紫色，评判游戏活动的公平性，数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件作出决策．
自主测试
1．下列说法正确的是( )
A．打开电视机，正在播放新闻
B．给定一组数据，那么这组数据的中位数一定只有一个
C．调查某品牌饮料的质量情况适合普查
D．盒子里装有2个红球和2个黑球，搅匀后从中摸出两个球，一定一红一黑
2．两个正四面体骰子的各面上分别标明数字1,2,3,4，如同时投掷这两个正四面体骰子，则着地的面所得的点数之和等于5的概率为( )
A． B． C． D．
3．有一箱规格相同的红、黄两种颜色的小塑料球共1 000个．为了估计这两种颜色的球各有多少个，小明将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率约为0.6，据此可以估计红球的个数约为__________．
4．扬州市体育中考现场考试内容有三项：50米跑为必测项目；另在立定跳远、实心球(二选一)和坐位体前屈、1分钟跳绳(二选一)中选择两项．
(1)每位考生有__________种选择方案；
(2)用画树状图或列表的方法求小明与小刚选择同种方案的概率．(友情提醒：各种方案用A，B，C，…或①，②，③，…等符号来代表可简化解答过程)
探究考点方法
考点一、事件的分类
【例1】下列事件属于必然事件的是( )
A．在1个标准大气压下，水加热到100 ℃沸腾
B．明天我市最高气温为56 ℃
C．中秋节晚上能看到月亮
D．下雨后有彩虹
触类旁通1 下列事件中，为必然事件的是( )
A．购买一张彩票，中奖
B．打开电视，正在播放广告
C．抛掷一枚硬币，正面向上
D．一个袋中只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球
考点二、用列举法求概率
触类旁通2 甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛，
(1)请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率；
(2)若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率．
考点三、频率与概率
【例3】小明在学习了统计与概率的知识后，做了投掷骰子的试验，小明共做了100次试验，试验的结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 17 13 15 23 20 12
(1)试求“4点朝上”和“5点朝上”的频率；
(2)由于“4点朝上”的频率最大，能不能说一次试验中“4点朝上”的概率最大？为什么？
触类旁通3 某质检员从一大批种子中抽取若干批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：
种子粒数 50 100 200 500 1 000 3 000 5 000
发芽种子粒数 45 92 184 458 914 2 732 4 556
发芽频率
(1)计算各批种子发芽频率，填入上表．
(2)根据频率的稳定性估计种子的发芽概率．
考点四、概率的应用
【例4】在一副扑克牌中取牌面花色分别为黑桃、红心、方块各一张，洗匀后正面朝下放在桌面上．
(1)从这三张牌中随机抽取一张牌，抽到牌面花色为红心的概率是多少？
(2)小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面花色后放回，洗匀后，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面花色．当两张牌面的花色相同时，小王赢；当两张牌面的花色不相同时，小李赢．请你利用树状图或列表法分析该游戏规则对双方是否公平？并说明理由．
触类旁通4 (1)四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为( )
A． B． C． D．1
(2)5月19日为中国旅游日，衢州推出“读万卷书，行万里路，游衢州景”的主题系列旅游惠民活动，市民王先生准备在优惠日当天上午从孔氏南宗庙、烂柯河、龙游石窟中随机选择一个地点；下午从江郎山、三衢石林、开化根博园中随机选择一个地点游玩．则王先生恰好上午选中孔氏南宗庙，下午选中江郎山这两个地点的概率是( )
A． B． C． D．
品鉴经典考题
1．(2012浙江宁波)一个不透明口袋中装着只有颜色不同的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，摸到白球的概率为( )
A． B． C． D．1
2．(2012浙江义乌)义乌国际小商品博览会某志愿小组有五名翻译，其中一名只会翻译阿拉伯语，三名只会翻译英语，还有一名两种语言都会翻译．若从中随机挑选两名组成一组，则该组能够翻译上述两种语言的概率是( )
A． B． C． D．
3．(2012浙江杭州)一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是( )
A．摸到红球是必然事件
B．摸到白球是不可能事件
C．摸到红球与摸到白球的可能性相等
D．摸到红球比摸到白球的可能性大
4．(2012四川攀枝花)抛掷一枚质地均匀、各面分别标有1,2,3,4,5,6的骰子，正面向上的点数是偶数的概率是__________．
5．(2012湖南长沙)任意抛掷一枚硬币，则“正面朝上”是__________事件．
6．(2012四川达州)如下图，在某十字路口，汽车可直行、可左转、可右转．若这三种可能性相同，则两辆汽车经过该路口都向右转的概率为__________．
7．(2012湖南益阳)有长度分别为2 cm,3 cm,4 cm,7 cm的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是__________．
8．(2012福建泉州)在一个不透明的盒子中，共有“一白三黑”4个围棋子，它们除了颜色之外没有其他区别．
(1)随机地从盒中提出1子，则提出白子的概率是多少？
(2)随机地从盒中提出1子，不放回再提第二子，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求恰好提出“一黑一白”子的概率．
研习预测试题
1．某中学举行数学竞赛，经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛，那么九年级同学获得前两名的概率是( )
A． B． C． D．
2．在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为( )
A．2 B．4 C．12 D．16
3．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是( )
A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次
D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
4．在x22xyy2的空格中，分别填上“＋”或“－”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是( )
A．1 B．
C． D．
5．在半径为2的圆中有一个内接正方形，现随机地往圆内投一粒米，落在正方形内的概率为__________．(注：π取3)
6．从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是__________．
7．如图所示，一个圆形转盘被等分为八个扇形区域，上面分别标有数字1,2,3,4，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．转动转盘一次，当转盘停止转动时，记指针指向标有“3”所在区域的概率为P(3)，指针指向标有“4”所在区域的概率为P(4)，则P(3)__________P(4)．(填“＞”、“＜”或“＝”)
8．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸到的是白球，小明去听讲座．
(1)爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因；
(2)若爸爸从袋中取出3个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，请问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利，说明理由．
巩固提高
7、（2012山东省德州三模）在中央电视台第2套《购物街》栏目中，有一个精彩刺激的游戏――幸运大转盘，其规则如下：
①游戏工具是一个可绕轴心自由转动的圆形转盘，转盘按圆心角均匀划分为20等分，并在其边缘标记5、10、15、…、100共20个5的整数倍数，游戏时，选手可旋转转盘，待转盘停止时，指针所指的数即为本次游戏的得分；
②每个选手在旋转一次转盘后可视得分情况选择是否再旋转转盘一次，若只旋转一次，则以该次得分为本轮游戏的得分，若旋转两次则以两次得分之和为本轮游戏的得分；
③若某选手游戏得分超过100分，则称为“爆掉”，该选手本轮游戏裁定为“输”，在得分不超过100分的情况下，分数高者裁定为“赢”；
④遇到相同得分的情况，相同得分的选手重新游戏，直到分出输赢．
现有甲、乙两位选手进行游戏，请解答以下问题：
（1）甲已旋转转盘一次，得分65分，他选择再旋转一次，求他本轮游戏不被“爆掉”的概率．
（2）若甲一轮游戏最终得分为90分，乙第一次旋转转盘得分为85分，则乙还有可能赢吗 赢的概率是多少？
（3）若甲、乙两人交替进行游戏，现各旋转一次后甲得85分，乙得65分，你认为甲是否应选择旋转第二次？说明你的理由．
8（2012上海市奉贤区调研试题）某校开展了以“人生观、价值观”为主题的班队活动，活动结束后，九(2)班数学兴趣小组提出了5个主要观点并在本班50名学生中进行了调查（要求每位同学只选自己最认可的一项观点），并制成了如下扇形统计图．
（1）该班学生选择“互助”观点的有 人，在扇形统计图中，“和谐”观点所在扇形区域的圆心角是 度；
（2）如果该校有1500名九年级学生，利用样本估计选择“感恩”观点的九年级学生约有______人．
（3）如果数学兴趣小组在这5个主要观点中任选两项观点在全校学生中进行调查，求恰好选到“和谐”和“感恩”观点的概率．（用树状图或列表法分析解答）
9、（2012江苏无锡前洲中学模拟）如图，一个被等分成了3个相同扇形的圆形转盘，3个扇形分别标有数字1、3、6，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停止在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘）.
（1）请用画树状图或列表的方法(只选其中一种)，表示出分别转动转盘两次转盘自由停止后，指针所指扇形数字的所有结果；
（2）求分别转动转盘两次转盘自由停止后，指针所指扇形的数字之和的算术平方根为无理数的概率.
15 （2012年，广东二模）2011年6月4日，李娜获得法网公开赛的冠军，圆了中国人的网球梦，也在国内掀起一股网球热．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座．
(1)爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因；
(2)若爸爸从袋中取出3个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，请问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利，说明理由．
23、（2012年4月韶山市初三质量检测）在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4. 随机地摸取出一张纸牌，然后放回，再随机摸取出一张纸牌.
（1）计算两次摸取纸牌上的数字之和为5的概率（要有分析过程）；
（2）甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；
如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数，则乙胜。这是个公平的游戏吗？请说明理由.
25、[河南开封2012年中招第一次模拟]（10分）在“传名人名言”活动中，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发的“名人名言”条数的情况进行了统计，并制成如下两幅不完整的统计图：
（1）求该班团员在这一个月内所发名人名言的平均条数是多少？并将该条形统计图补充完整；
（2）如果发了3条名人名言的同学中有两位男同学，发了4条名人名言的有三位女同学，现在从发了3条和4条的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“传名人名言”活动总结会，请你用列表法或画树状图的方法求出所选的两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率。
1
3
6学生姓名：初二小班 年级：初二 任教学科：数学 教学次数：4 教学时间：2014-2-14 15:00-17:00
指导教师： 教学模式：小班 教学地点：滨湖区万达 新区宝龙 胡埭校区
上次课程学生存在的问题：找规律动点问题掌握不好
学生问题的解决方案： 多加练习
一、利用函数的解析式解决问题
（一）. 已知函数类型求解析式，并利用解析式解决问题
例1. 某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数（亩）与补贴数额（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益（元）会相应降低，且与之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．
（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？
（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数和每亩蔬菜的收益与政府补贴数额之间的函数关系式；
（3）要使全市这种蔬菜的总收益（元）最大，政府应将每亩补贴数额定为多少？并求出总收益的最大值．
解：（1）800×3000=2400 000（元）
答：政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为2400 000元.
（2）由图象得：种植亩数y和政府补贴数额x之间是一次函数关系，设y=kx+b
因为图象过（0，800）和（50，1200），所以
解得：
所以，
由图象得：每亩收益z和政府补贴数额x之间是一次函数关系，设z=kx+b
因为图象过（0，3000）和（100，2700），所以
解得：
所以，
(3)
当x=450时，总收益最大，此时w=7260000(元)
综上所述，要使全市这种蔬菜的总收益最大，政府应将每亩补贴数额定为450元，此时总收益为7260000元.
若日销售量y是销售价x的一次函数．
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）求销售价定为30元时，每日的销售利润．
解析：（1）设此一次函数解析式为
则 解得k=1，b=40． 即一次函数解析式为．
（2）每日的销售量为y=-30+40=10件， 所获销售利润为（3010）×10=200元
2．如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：
（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式；
（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？
解析：（1）设．
由图可知：当时，；当时，．
把它们分别代入上式，得 ，
解得，．∴一次函数的解析式是．
(2)当时，．
即把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是21cm．
（二）. 不已知函数类型求解析式，利用解析式解决问题
例2．鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数值：［注：“鞋码”是表示鞋子大小的一种号码］
鞋长（cm） 16 19 21 24
鞋码（号） 22 28 32 38
（1）设鞋长为x，“鞋码”为y，试判断点（x， y）在你学过的哪种函数的图象上？
（2）求x、y之间的函数关系式；
（3）如果某人穿44号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少？
解析：（1）通过描点推测这是一个一次函数。
（2）设函数解析式为
将（16,22）和（19,28）代入求出，
所以函数解析式为，再用另两点代入解析式验证．
（3）当时，即，解得x=27
所以某人穿44号“鞋码”的鞋，他的鞋长是27（cm）
变式2．某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20时，按2元／计费；月用水量超过20时，其中的20仍按2元／收费，超过部分按元／计费．设每户家庭用用水量为时，应交水费元．
（1）分别求出和时与的函数表达式；
（2）小明家第二季度交纳水费的情况如下：
月份 四月份 五月份 六月份
交费金额 30元 34元 42.6元
小明家这个季度共用水多少立方米？
解析：（1）当时，与的函数表达式是；
当时，与的函数表达式是 ， 即；
（2）因为小明家四、五月份的水费都不超过40元，六月份的水费超过40元，
所以把代入中，得；
把代入中，得；
把代入中，得．
所以．
答：小明家这个季度共用水．
3. 一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1（km），出租车离甲地的距离为y2（km），客车行驶时间为x（h），y1，y2与x的函数关系图象如图所示：
（1）根据图象，直接写出y1，y2关于x的函数关系式。
（2）分别求出当x=3，x=5，x=8时，两车之间的距离。
（3）若设两车间的距离为S（km），请写出S关于x的函数关系式。
（4）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200km，若客车进入A站加油时，出租车恰好进入B站加油。求A加油站到甲地的距离。
解析：（1）由图象可知客车每小时行60千米，出租车每小时行10千米，因此关系式易得；
（2）把x=3代入（1）中的关系式可求出两车各自离甲地的距离，这两个距离之差即两车之间的距离，x=5，x=8时，同理可求；
（3）两车间的距离先逐渐变小直至相遇，然后又逐渐变大，当出租车到达甲地后两车间的距离也就是客车的行程.
（4）客车进入A站加油时，出租车恰好进入B站加油即说明此时两车间的距离恰好等于两个加油站间的距离.
解析： （1）y1=60x（0≤x≤10） y2=－100x+600（0≤x≤6）
（2）当x=3时 y1=180 y2=300 ∴y2－y1=120
当x=5时 y1=300 y2=100 ∴y1－y2=200
当x=8时 y1=480 y2=0 ∴y1－y2=y1=480
（3） 1600x+600 （0≤x≤）
S= 1600x－600 （≤x≤6）
60x （6≤x≤10）
（4）由题意得：S=200
①当0≤x≤时 －160x+600=200 ∴x= ∴y1=60x=150km
②当≤x≤6时 160x－600=200 ∴x=5 ∴y1=300km
③当6≤x≤10时 60x≥360 不合题意
即：A加油站到甲地距离为150km或300km.
4.我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨元收费，超过10吨的部分，按每吨元（）收费．设一户居民月用水吨，应收水费元，与之间的函数关系如图13所示．
（1）求的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？
（2）求的值，并写出当时，与之间的函数关系式；
（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？
解：（1）当时，有．将，代入，得．
用8吨水应收水费（元）．
（2）当时，有．
将，代入，得．．
故当时，．
（3）因，
所以甲、乙两家上月用水均超过10吨．
设甲、乙两家上月用水分别为吨，吨，
则
解之，得
故居民甲上月用水16吨，居民乙上月用水12吨．
二、利用函数的增减性解决问题
（一）. 明确函数的增减性
一般都不已知函数类型，需要找数量关系，建立函数模型，求函数的解析式和自变量的取值范围。
例3．某饮料厂为了开发新产品，用种果汁原料和种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制千克，两种饮料的成本总额为元．
（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出与之间的函数关系式．
（2）若用19千克种果汁原料和17.2千克种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；
每千克饮料果汁含量果汁 甲 乙
A 0.5千克 0.2千克
B 0.3千克 0.4千克
请你列出关于且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使值最小，最小值是多少？
解析：
（1）依题意得：
（2）依题意得：
解不等式（1）得：
解不等式（2）得：
不等式组的解集为
，是随的增大而增大，且
当甲种饮料取28千克，乙种饮料取22千克时，
成本总额最小，（元）
变式2． 某厂工人小王某月工作的部分信息如下：
信息一：工作时间：每天上午8∶00~12∶00，下午14∶00~18∶00，每月25天；
信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件．
生产产品件数与所用时间之间的关系见下表：
生产甲产品件数（件） 生产乙产品件数（件） 所用总时间（分）
10 10 350
30 20 850
信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙产品可得2.80元．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分？
（2）小王该月最多能得多少元？此时生产甲、乙两种产品分别多少件？
解析：（1）设小王每生产一件甲种产品用x分，每生产一件乙种产品用y分,由题意得：
解得：
答：小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别15分和20分.
（2）小王一月的工作时间：〔（12－8）×60+（16－14）×60〕×25=9000（分）
设每月生产甲种产品x件，则生产乙种产品件.
设该月的收入为y元，则
因为k=－0.6＜0,所以y随x的增大而减小，当x取最小值60时，y取到最大值。
此时y= －0.6×60+1260=1224
当x=60时， ，
所以此时生产甲、乙两种产品各60、405件.
3． “5．12”汶川特大地震灾害发生后，社会各界积极为灾区捐款捐物，某经销商在当月销售的甲种啤酒尚有2万元货款未收到的情况下，先将销售甲种啤酒全部应收货款的70%捐给了灾区，后又将该月销售乙种啤酒所得的全部货款的80%捐给了灾区．已知该月销售甲、乙两种啤酒共5000件，甲种啤酒每件售价为50元，乙种啤酒每件售价为35元，设该月销售甲种啤酒件，共捐助救灾款元．
（1）该经销商先捐款 元，后捐款 元．（用含的式子表示）
（2）写出与的函数关系式，并求出自变量的取值范围．
（3）该经销商两次至少共捐助多少元？
解析： （1）50x·70%或35x 35(5000－x)·80%或(140000－28x)
(2)y与x的函数关系式是：y＝7x＋140000
由题意得解得400≤x≤500
∴自变量x的取值范围是400≤x≤500
（3）∵y＝7x＋140000是一个一次函数
且7＞0 ，400≤x≤500
∴当x＝400时，y的最小值为142800
答：该经销商两次至少共捐款142800元
4．为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨，、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县。根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨。
（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？
（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍。其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨。则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；
（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：
A地 B地 C地
运往D县的费用（元/吨） 220 200 200
运往E县的费用（元/吨） 250 220 210
为即使将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？
解析：（1）设这批赈灾物资运往县的数量为吨，运往县的数量为吨．
由题意，得 解得
答：这批赈灾物资运往县的数量为180吨，运往县的数量为100吨．
（2）由题意，得 解得即．
x为整数，的取值为41，42，43，44，45．
则这批赈灾物资的运送方案有五种．
具体的运送方案是：
方案一：地的赈灾物资运往县41吨，运往县59吨；
地的赈灾物资运往县79吨，运往县21吨．
方案二：地的赈灾物资运往县42吨，运往县58吨；
地的赈灾物资运往县78吨，运往县22吨．
方案三：地的赈灾物资运往县43吨，运往县57吨；
地的赈灾物资运往县77吨，运往县23吨．
方案四：地的赈灾物资运往县44吨，运往县56吨；
地的赈灾物资运往县76吨，运往县24吨．
方案五：地的赈灾物资运往县45吨，运往县55吨；
地的赈灾物资运往县75吨，运往县25吨．
（3）设运送这批赈灾物资的总费用为元．由题意，得
．
因为随的增大而减小，且，为整数．
所以，当时，有最大值．则该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多为：（元）．
（二）. 不明确增减性，要分类讨论
例4．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．
（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？
（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？
（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金元，要使（2）中所有方案获利相同，值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？
解析：
（1）据条件，三月份电脑销售量为：（10000-80000）／1000=20（台）
则今年电脑单价为：80000/20=4000（元）
（2）设购进甲种电脑x台，则乙种电脑15-x台（x≤15的自然数）
则购进电脑的总费用为：3500x+3000(15-x)=500x+45000
据条件，48000≤500x＋45000≤50000
解得：6≤x≤10 故x可等于6，7，8，9，10
即共5种方案：甲6台，乙9台；甲7台，乙8台；甲8台；乙7台；甲9台，乙6台；甲10台，乙5台
（3）设利润为p，
则p=（3800-3000-a）（15-x）+（4000-3500）x=12000-300x-15a+ax=12000-15a+(a-300)x
若要使（2）中所有方案获利相同，则利润p与x无关（该步思路是关键）
故a-300=0 即a=300
变式2． “5·12”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心，某市Ａ、B两个蔬菜基地得知四川C、D两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区．已知Ａ蔬菜基地有蔬菜200吨，B蔬菜基地有蔬菜300吨，现将这些蔬菜全部调往C、D两个灾民安置点．从A地运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．
请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值；
Ｃ Ｄ 总计
Ａ 200吨
Ｂ x吨 300吨
总计 240吨 260吨 500吨
设Ａ、B两个蔬菜基地的总运费为w元，写出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元（＞０），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调运方案．
解析：(1)填表
Ｃ Ｄ 总计
Ａ （240-x）吨 （x-40）吨 200吨
Ｂ x吨 （300-x）吨 300吨
总计 240吨 260吨 500吨
依题意得：.
解得： .
(2) w与x之间的函数关系为：.
依题意得： . ∴40≤≤240
在中，∵2>0， ∴随的增大而增大， 表一：
Ｃ Ｄ
Ａ 200吨 0吨
Ｂ 40吨 260吨
故当＝40时，总运费最小，
此时调运方案为如右表一.
(3)由题意知
∴0<<2时，（2）中调运方案总运费最小；
=2时，在40≤≤240的前提下调运
Ｃ Ｄ
Ａ 0吨 200吨
Ｂ 240吨 60吨
方案的总运费不变； 表二：
2<<15时，＝240总运费最小，
其调运方案如右表二 .
说明：也可以按大于0、等于0、小于0讨论
3．某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：
A型利润 B型利润
甲店 200 170
乙店 160 150
（1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W（元），求W关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）若公司要求总利润不低于17560元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来；
（3）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A\B型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？
解析：依题意，甲店B型产品有(70-x)件，乙店A型有(40-x)件，B型有(x-10)件，
（1）W=200x+170(70-x)+160(40-x)+150(x-10)=20x+16800。
由 解得10≤x≤40;
（2） 由W=20x+16800≥17560， ∴x≥38． ∴38≤x≤40, x=38,39，40．
∴有三种不同的分配方案：
x=38时，甲店A型38件，B型32件，乙店A型2件，B型28件．
② x=39时，甲店A型39件，B型31件，乙店A型1件，B型29件．
③ x=40时，甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件．
（3）依题意：W=(200-a)x+170(70-x)+160(40-x)+150(x-10)=(20-a)x+16800．
①当0＜a＜20时，x=40，即甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件，能使总利润达到最大．
当a=20时，10≤x≤40，符合题意的各种方案，使总利润都一样．
③当20＜a＜30时，x=10，即甲店A型10件，B型60件，乙店A型30件，B型0件，能使总利润达到最大学生姓名：初二小班 年级： 任教学科：数学 教学次数：1 教学时间：2014-2-9 15:00-17:00
指导教师： 教学模式：小班 教学地点：滨湖区万达 新区宝龙 胡埭校区
上次课程学生存在的问题：
学生问题的解决方案：
1．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为
A、2 B、2.5或3.5 C、3.5或4.5 D、2或3.5或4.5
【答案】D【解析】
试题分析：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，∴AB=2BC=4（cm）。
∵BC=2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，
∴BD=BC=1（cm），BE=AB﹣AE=4﹣t（cm），
若∠DBE=90°，∵∠ABC=60°，∴∠BDE=30°。∴BE=BD=（cm）。
当A→B时， t=4﹣0.5=3.5；当B→A时，t=4+0.5=4.5。
若∠EDB=90°时，∵∠ABC=60°，∴∠BED=30°。∴BE=2BD=2（cm）。
当A→B时，∴t=4﹣2=2；当B→A时，t=4+2=6（舍去）。
综上可得：t的值为2或3.5或4.5。故选D。
【答案】（8052，0）。
【解析】∵点A（－3，0）、B（0，4），∴。
由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，
∵2013÷3=671，
∴△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点。
∵671×12=8052，∴△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）。
3．如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= °．
【答案】70。【解析】∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，∠AOB=30°，
∴△OAB≌△OA1B1。
∴∠A1OB=∠AOB=30°。∴∠A1OB=∠A1OA﹣∠AOB=70°。
4．如图，已知∠AOB=45°，A1、A2、A3、…在射线OA上，B1、B2、B3、…在射线OB上，且A1B1⊥OA，A2B2⊥OA，…AnBn⊥OA；A2B1⊥OB，…，An+1Bn⊥OB（n=1，2，3，4，5，6…）．若OA1=1，则A6B6的长是 ．
【答案】32【解析】试题分析：由题意，可知图中的三角形均为等腰直角三角形，
OA1=1，A1B1=A1A2=1；
B1A2=B1B2=，A2B2=A2A3=2；
B2A3=B2B3=，A3B3=A3A4=4，
……，
从中发现规律为AnBn=2An﹣1Bn﹣1，其中A1B1=1，
∴AnBn=2n﹣1。
当n=6时，A6B6=26﹣1=25=32。
5．操作发现，将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．
问题解决
将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．
（1）求证：△CDO是等腰三角形；
（2）若DF=8，求AD的长．
【答案】解；（1）证明：由图①知BC=DE，∴∠BDC=∠BCD。
∵∠DEF=30°，∴∠BDC=∠BCD=75°。
∵∠ACB=45°，∴∠DOC=30°+45°=75°。
∴∠DOC=∠BDC。∴△CDO是等腰三角形。
（2）作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H，
在Rt△DHF中，∠F=60°，DF=8，∴DH=4，HF=4。
在Rt△BDF中，∠F=60°，DF=8，∴DB=8，BF=16。
∴BC=BD=8。
∵AG⊥BC，∠ABC=45°，∴BG=AG=4。∴AG=DH。
∵AG∥DH，∴四边形AGHD为矩形。
∴AD=GH=BF﹣BG﹣HF=16﹣4﹣4=12﹣4。
【解析】
试题分析：（1）根据题意可得BC=DE，进而得到∠BDC=∠BCD，再根据三角形内角和定理计算出度数，然后再根据三角形内角与外角的性质可得∠DOC=∠DBC+∠BCA，进而算出度数，根据角度可得△CDO是等腰三角形；。
（2）作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H，首先根据∠F=60°，DF=8，可以算出DH=4，HF=4，DB=8，BF=16，进而得到BC=8，再根据等腰三角形的性质可得BG=AG=4，证明四边形AGHD为矩形，根据线段的和差关系可得AD长。
6．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．
（1）如图1，DE与BC的数量关系是 ；
（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．
【答案】解：（1）DE=BC。
（2）根据旋转的性质得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，根据“SAS”可判断△DCP≌△DBF，则CP=BF，利用CP=BC﹣BP，DE=BC可得到BF+BP=DE；
（3）补全图形如图，DE、BF、BP三者之间的数量关系为BF﹣BP=DE。
【解析】
试题分析：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°。
∵点D是AB的中点，∴DB=DC，∴△DCB为等边三角形。
∵DE⊥BC，∴DE=BC。
（2）根据旋转的性质得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，根据“SAS”可判断△DCP≌△DBF，则CP=BF，利用CP=BC﹣BP，DE=BC可得到BF+BP=DE；
BF+BP=DE。证明如下：
∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，∴∠PDF=60°，DP=DF。
∵∠CDB=60°，∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB。，∴∠CDP=∠BDF。
在△DCP和△DBF中，∵DC=DB，∠CDP=∠BDF，DP=DF，
∴△DCP≌△DBF（SAS），∴CP=BF。
∵CP=BC﹣BP，∴BF+BP=BC。
∵由（1）DE=BC，∴BC=DE。∴BF+BP=DE。
（3）与（2）一样可证明△DCP≌△DBF，∴CP=BF。
∵CP=BC+BP，∴BF﹣BP=BC=DE。
补全图形如图，DE、BF、BP三者之间的数量关系为BF﹣BP=DE。
7．分别以 ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．
（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；
（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【答案】解：（1）GF⊥EF，GF=EF。
（2）GF⊥EF，GF=EF成立。理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°。
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°
∴∠BAE+∠FDA+∠EAF+∠ADF+∠FDC=180°。∴∠EAF+∠CDF=45°。
∵∠CDF+∠GDF=45°，∴∠FDG=∠EAF。
∵在△EAF和△GDF中，，∴△EAF≌△GDF（SAS）。
∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA。
∴∠GFE=90°。∴GF⊥EF。
【解析】
试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质以及平行四边形的性质得出∠FDG=∠EAF，进而得出△EAF≌△GDF即可得出答案：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°。
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°。
∴∠GDF=∠GDC+∠CDA+∠ADF=90°+∠CDA，
∠EAF=360°﹣∠BAE﹣∠DAF﹣∠BAD=270°﹣（180°﹣∠CDA）=90°+∠CDA。
∴∠FDG=∠EAF。
∵在△EAF和△GDF中，，∴△EAF≌△GDF（SAS）。
∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA。
∴∠GFE=90°。∴GF⊥EF。
（2）根据等腰直角三角形的性质以及平行四边形的性质得出∠FDG=∠EAF，进而得出△EAF≌△GDF即可得出答案。
8．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【答案】解：（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°，
∴AB=AC=×60=30cm。
∵CD=4t，AE=2t，
又∵在Rt△CDF中，∠C=30°，∴DF=CD=2t。∴DF=AE。
（2）能。
∵DF∥AB，DF=AE，∴四边形AEFD是平行四边形。
当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10。
∴当t=10时，AEFD是菱形。
（3）若△DEF为直角三角形，有两种情况：
①如图1，∠EDF=90°，DE∥BC，
则AD=2AE，即60﹣4t=2×2t，解得：t=。
②如图2，∠DEF=90°，DE⊥AC，
则AE=2AD，即2t =2×60-4t，解得：t=12。
综上所述，当t=或12时，△DEF为直角三角形
【解析】
试题分析：（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明。
（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值。
（3）△DEF为直角三角形，分∠EDF=90°和∠DEF=90°两种情况讨论。学生姓名：初二小班 年级： 任教学科：数学 教学次数：1 教学时间：2014-2-9 15:00-17:00
指导教师： 教学模式：小班 教学地点：滨湖区万达 新区宝龙 胡埭校区
1．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为
A、2 B、2.5或3.5 C、3.5或4.5 D、2或3.5或4.5
2．如图，在直角坐标系中，已知点A（，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，
依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013 的直角顶点的坐标为 .
INCLUDEPICTURE "http:///quiz/images/201306/69/072e60b1.png" \* MERGEFORMATINET
4．如图，已知∠AOB=45°，A1、A2、A3、…在射线OA上，B1、B2、B3、…在射线OB上，且A1B1⊥OA，A2B2⊥OA，…AnBn⊥OA；A2B1⊥OB，…，An+1Bn⊥OB（n=1，2，3，4，5，6…）．若OA1=1，则A6B6的长是 ．
5．操作发现，将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．
问题解决
将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．
（1）求证：△CDO是等腰三角形；
（2）若DF=8，求AD的长．
6．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．
（1）如图1，DE与BC的数量关系是 ；
（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．
7．分别以 ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．
（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；
（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
8．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．学生姓名：初二小班 年级：初二 任教学科：数学 教学次数：4 教学时间：2014-2-14 15:00-17:00
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一、利用函数的解析式解决问题
（一）. 已知函数类型求解析式，并利用解析式解决问题
例1. 某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数（亩）与补贴数额（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益（元）会相应降低，且与之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．
（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？
（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数和每亩蔬菜的收益与政府补贴数额之间的函数关系式；
（3）要使全市这种蔬菜的总收益（元）最大，政府应将每亩补贴数额定为多少？并求出总收益的最大值．
若日销售量y是销售价x的一次函数．
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）求销售价定为30元时，每日的销售利润．
2．如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：
（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式；
（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？
（二）. 不已知函数类型求解析式，利用解析式解决问题
例2．鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数值：［注：“鞋码”是表示鞋子大小的一种号码］
鞋长（cm） 16 19 21 24
鞋码（号） 22 28 32 38
（1）设鞋长为x，“鞋码”为y，试判断点（x，y）在你学过的哪种函数的图象上？
（2）求x、y之间的函数关系式；
（3）如果某人穿44号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少？
变式2．某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20时，按2元／计费；月用水量超过20时，其中的20仍按2元／收费，超过部分按元／计费．设每户家庭用用水量为时，应交水费元．
（1）分别求出和时与的函数表达式；
（2）小明家第二季度交纳水费的情况如下：
月份 四月份 五月份 六月份
交费金额 30元 34元 42.6元
小明家这个季度共用水多少立方米？
3. 一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1（km），出租车离甲地的距离为y2（km），客车行驶时间为x（h），y1，y2与x的函数关系图象如图所示：
（1）根据图象，直接写出y1，y2关于x的函数关系式。
（2）分别求出当x=3，x=5，x=8时，两车之间的距离。
（3）若设两车间的距离为S（km），请写出S关于x的函数关系式。
（4）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200km，若客车进入A站加油时，出租车恰好进入B站加油。求A加油站到甲地的距离。
4.我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨元收费，超过10吨的部分，按每吨元（）收费．设一户居民月用水吨，应收水费元，与之间的函数关系如图13所示．
（1）求的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？
（2）求的值，并写出当时，与之间的函数关系式；
（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？
二、利用函数的增减性解决问题
（一）. 明确函数的增减性
例3．某饮料厂为了开发新产品，用种果汁原料和种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制千克，两种饮料的成本总额为元．
（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出与之间的函数关系式．
每千克饮料果汁含量果汁 甲 乙
A 0.5千克 0.2千克
B 0.3千克 0.4千克
（2）若用19千克种果汁原料和17.2千克种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；
请你列出关于且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使值最小，最小值是多少？
变式2． 某厂工人小王某月工作的部分信息如下：
信息一：工作时间：每天上午8∶00~12∶00，下午14∶00~18∶00，每月25天；
信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件．
生产产品件数与所用时间之间的关系见下表：
生产甲产品件数（件） 生产乙产品件数（件） 所用总时间（分）
10 10 350
30 20 850
信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙产品可得2.80元．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分？
（2）小王该月最多能得多少元？此时生产甲、乙两种产品分别多少件？
3． “5．12”汶川特大地震灾害发生后，社会各界积极为灾区捐款捐物，某经销商在当月销售的甲种啤酒尚有2万元货款未收到的情况下，先将销售甲种啤酒全部应收货款的70%捐给了灾区，后又将该月销售乙种啤酒所得的全部货款的80%捐给了灾区．已知该月销售甲、乙两种啤酒共5000件，甲种啤酒每件售价为50元，乙种啤酒每件售价为35元，设该月销售甲种啤酒件，共捐助救灾款元．
（1）该经销商先捐款 元，后捐款 元．（用含的式子表示）
（2）写出与的函数关系式，并求出自变量的取值范围．
（3）该经销商两次至少共捐助多少元？
4．为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨，、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县。根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨。
（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？
（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍。其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨。则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；
（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：
A地 B地 C地
运往D县的费用（元/吨） 220 200 200
运往E县的费用（元/吨） 250 220 210
为即使将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？
（二）. 不明确增减性，要分类讨论
例4．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．
（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？
（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？
（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金元，要使（2）中所有方案获利相同，值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？
变式2． “5·12”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心，某市Ａ、B两个蔬菜基地得知四川C、D两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区．已知Ａ蔬菜基地有蔬菜200吨，B蔬菜基地有蔬菜300吨，现将这些蔬菜全部调往C、D两个灾民安置点．从A地运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．
请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值；
Ｃ Ｄ 总计
Ａ 200吨
Ｂ x吨 300吨
总计 240吨 260吨 500吨
设Ａ、B两个蔬菜基地的总运费为w元，写出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元（＞０），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调运方案．
3．某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：
A型利润 B型利润
甲店 200 170
乙店 160 150
（1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W（元），求W关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）若公司要求总利润不低于17560元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来；
（3）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A\B型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？学生姓名：初二小班 年级： 任教学科：数学 教学次数：2 教学时间：2014-2-11 15:00-17:00
指导教师： 教学模式：小班 教学地点：滨湖区万达 新区宝龙 胡埭校区
1．如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是【 】
A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC
2．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（﹣1，0）．一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2013的坐标为 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为 （用n表示）
4．（2013年四川资阳3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是
．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ，QE与QF的数量关系式 ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延长AB至点D，使DB=AB，连接CD，以CD为直角边作等腰三角形CDE，其中∠DCE=90°，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）若AC=3cm，则BE= cm．
巩固提高
1.下列图形中，是轴对称图形的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 如图，△ABC≌△DEF，BE=4，则AD的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
第2题图 第3题图 第5题图
3.如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC
C．AC=DC，∠B=∠E D．∠B=∠E，∠BCE=∠ACD
4.等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．16或20
5.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=4cm，则点D到AB的距离DE是（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
6.如图，已知：，点……在射线ON上，点……在射线OM上，△、△、△……均为等边三角形，若，则△的边长为（ ）
A. 6 B. 12 C 32 D. 64
二、填空题（每小题3分，共30分）
7．如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，若∠BAC=70 ，则∠BAD= ．
第7题图 第10题图 第11题图 第12题图
8．测得一个三角形的三边长为5、12、13 ，则这个三角形的面积为
9．在等腰三角形中，∠A=120 ，则 ．
10．如图，∠BAC=∠ABD.请你添加一个条件 使得OC=OD（只要写出一个）
11．如图，∠BAC=1000，MN、EF分别垂直平分AB、AC，则∠MAE的大小为_____________
12．已知：如图所示，B、C、E三点在同一条直线上，AC=CD，∠B=∠E=90°，AB=CE，BC=5,CD=13,则BE=
.
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
13．如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE的长度为___________________
14．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BD的长为 cm
15．如图所示，已知△ABC的面积是36，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，则△ABC的周长是 .
16．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是________.
17已知在△ABC中，AB=BC=10，AC=8，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，取AB的中点D，则△DEF的周长为 ．
18如图，有一个直角三角形ABC，∠C=90°，AC=8，BC=3，P、Q两点分别在边AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，且PQ=AB．问当AP= 时，才能使ΔABC和ΔPQA全等．
19．已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为
E、F，AB=6，AC=3，则BE= ．
第6题图
P
Q
C
A
B
X
第18题
第19题学生姓名：初二小班 年级： 任教学科：数学 教学次数：2 教学时间：2014-2-11 15:00-17:00
指导教师： 教学模式：小班 教学地点：滨湖区万达 新区宝龙 胡埭校区
上次课程学生存在的问题：找规律题目不行，动点问题需要加强
学生问题的解决方案： 多练，理解记忆
1．如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是【 】
A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC
【答案】A。
【解析】根据矩形的性质和全等三角形的性质找出全等三角形应用排它法求欠妥 即可：
∵AD=DE，DO∥AB，∴OD为△ABE的中位线。∴OD=OC。
∵在Rt△AOD和Rt△EOD中，AD=DE，OD=OD，∴△AOD≌△EOD（HL）。
∵在Rt△AOD和Rt△BOC中，AD=BC，OD=OC，∴△AOD≌△BOC（HL）。
∴△BOC≌△EOD。
综上所述，B、C、D均正确。故选A。
2．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（﹣1，0）．一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2013的坐标为 ．
【答案】（0，﹣2）【解析】
试题分析：计算出前几次跳跃后，点P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7的坐标，可得出规律，继而可求出点P2013的坐标：
∵点P1（2，0），P2（﹣2，2），P3（0，﹣2），P4（2，2），P5（﹣2，0），P6（0，0），P7（2，0），
∴6次跳跃一个循环。
∵2013÷6=503…3，
∴点P2013的坐标与P3一样，为（0，﹣2）。
3．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为 （用n表示）
【答案】（2n，1）
【解析】
试题分析：根据图形分别求出n=1、2、3时对应的点A4n+1的坐标，然后根据变化规律写出即可：
由图可知，n=1时，4×1+1=5，点A5（2，1），
n=2时，4×2+1=9，点A9（4，1），
n=3时，4×3+1=13，点A13（6，1），
∴点A4n+1（2n，1）。
4．（2013年四川资阳3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是
．
【答案】1+。【解析】连接CE，交AD于M，
∵沿AD折叠C和E重合，∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD。
∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD=DE=1。
∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BC。
∵∠DEA=90°，∴∠DEB=90°。
∵∠B=60°，DE=1，∴BE=，BD=，即BC=1+。
∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠CAB=30°。
∴AB=2BC=2×（1+）=2+。AC=BC=+2。
∴BE=AB﹣AE=2+﹣（+2）=。
∴△PEB的周长的最小值是BC+BE=1++=1+。
考点：翻折变换（折叠问题），单动点问题，轴对称的应用（最短路线问题），含30度角的直角三角形的性质。
5．已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ，QE与QF的数量关系式 ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
【答案】解：（1）AE∥BF，QE=QF。
（2）QE=QF，证明如下：
如图，延长FQ交AE于D，
∵AE∥BF，∴∠QAD=∠FBQ。
在△FBQ和△DAQ中，∵，
∴△FBQ≌△DAQ（ASA）。∴QF=QD。
∵AE⊥CP，∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线。
∴QE=QF=QD，即QE=QF。
（3）（2）中的结论仍然成立。证明如下：
如图，延长EQ、FB交于D，
∵AE∥BF，∴∠1=∠D。
在△AQE和△BQD中，，
∴△AQE≌△BQD（AAS），∴QE=QD。
∵BF⊥CP，∴FQ是斜边DE上的中线。∴QE=QF。
【解析】（1）证△BFQ≌△AEQ即可。理由是：
如图，∵Q为AB中点，∴AQ=BQ。
∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ。
在△BFQ和△AEQ中，，∴△BFQ≌△AEQ（AAS）。∴QE=QF。
（2）证△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可。
（3）证△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可。
6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延长AB至点D，使DB=AB，连接CD，以CD为直角边作等腰三角形CDE，其中∠DCE=90°，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）若AC=3cm，则BE= cm．
【答案】（1）见解析
（2）6。
【解析】
试题分析：（1）求出∠ACD=∠BCE，根据SAS推出两三角形全等即可。
证明：∵△CDE是等腰直角三角形，∠DCE=90°，∴CD=CE。
∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DCE。∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD。∴∠ACD=∠BCE。
∵在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）。
（2）根据全等得出AD=BE，根据勾股定理求出AB，即可求出AD，代入求出即可：
∵AC=BC=3，∠ACB=90°，∴由勾股定理得：AB=3。
又∵DB=AB，∴AD=2AB=6。
∵△ACD≌△BCE，∴BE=AD=6。
巩固提高
1.下列图形中，是轴对称图形的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 如图，△ABC≌△DEF，BE=4，则AD的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
第2题图 第3题图 第5题图
3.如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC
C．AC=DC，∠B=∠E D．∠B=∠E，∠BCE=∠ACD
4.等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．16或20
5.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=4cm，则点D到AB的距离DE是（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
6.如图，已知：，点……在射线ON上，点……在射线OM上，△、△、△……均为等边三角形，若，则△的边长为（ ）
A. 6 B. 12 C 32 D. 64
二、填空题（每小题3分，共30分）
7．如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，若∠BAC=70 ，则∠BAD= ．
第7题图 第10题图 第11题图 第12题图
8．测得一个三角形的三边长为5、12、13 ，则这个三角形的面积为
9．在等腰三角形中，∠A=120 ，则 ．
10．如图，∠BAC=∠ABD.请你添加一个条件 使得OC=OD（只要写出一个）
11．如图，∠BAC=1000，MN、EF分别垂直平分AB、AC，则∠MAE的大小为_____________
12．已知：如图所示，B、C、E三点在同一条直线上，AC=CD，∠B=∠E=90°，AB=CE，BC=5,CD=13,则BE=
.
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
13．如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE的长度为___________________
14．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BD的长为 cm
15．如图所示，已知△ABC的面积是36，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，则△ABC的周长是 .
16．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是________.
17已知在△ABC中，AB=BC=10，AC=8，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，取AB的中点D，则△DEF的周长为 ．
18如图，有一个直角三角形ABC，∠C=90°，AC=8，BC=3，P、Q两点分别在边AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，且PQ=AB．问当AP= 时，才能使ΔABC和ΔPQA全等．
19．已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为
E、F，AB=6，AC=3，则BE= ．
1、 C 2、B 3、C 4、C 5、B 6、A
7、35° 8、 30 9、30° 10、∠C =∠D（答案不唯一）
11、20° 12、17 13、12 14、 15、 18 16、50°17、 14 。 18. 3或8； 19. 1.5
第6题图
P
Q
C
A
B
X
第18题
第19题学生姓名：初二小班 年级： 任教学科：数学 教学次数：3 教学时间：2014-2-13 15:00-17:00
指导教师： 教学模式：小班 教学地点：滨湖区万达 新区宝龙 胡埭校区
上次课程学生存在的问题：找规律题目不行，动点问题需要加强
学生问题的解决方案： 总结规律
1．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA＋PC的最小值为( )．
A． B．
C． D．2
【答案】B.
【解析】
试题分析：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根据勾股定理求出CD，即可得出答案：
作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小.
∵DP=PA，∴PA+PC=PD+PC=CD.
∵B（3，），∴AB=，OA=3，∠B=60°.
由勾股定理得：OB=2.
由三角形面积公式得：×OA×AB=×OB×AM，∴AM=.∴AD=2×=3.
∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°.
∵∠BAO=90°，∴∠OAM=60°.
∵DN⊥OA，∴∠NDA=30°.∴AN=AD=.
由勾股定理得：DN=.
∵C（，0），∴.
在Rt△DNC中，由勾股定理得：.
∴PA+PC的最小值是.
故选B.
【答案】7或17.
【解析】
试题分析：由于动点P从B点出发，沿B→A→C的方向运动，所以分两种情况进行讨论：（1）P点在AB上，设运动时间为t，用含t的代数式分别表示BP，AP，根据条件过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，求出t值；（2）P点在AC上，同理，可解出t的值：
分两种情况：
（1）P点在AB上时，如图，AB=AC=12cm，BD=CD=BC=×6=3cm，
设P点运动了t秒，则BP=t，，
由题意得：BP+BD=（AP+AC+CD），
∴，解得t=7秒.
（2）P点在AC上时，如图，AB=AC=12cm，BD=CD=BC=×6=3cm，
P点运动了t秒，则AB+AP=t，，
由题意得：BD+AB+AP=2（PC+CD），
∴，解得t=17秒.
∴当t=7或17秒时，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍.
考点: 1.等腰三角形的性质;2.单动点问题;3.分类思想的应用.
3．如图，分别以△ABC的边AB、AC向外作等边△ABE和等边△ACD，直线BD与直线CE相交于点O．
(1)求证：CE＝BD；
(2)如果当点A在直线BC的上方变化位置，且保持∠ABC和∠ACB都是锐角，那么∠BOC的度数是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出∠BOC的度数：
(3)如果当点A在直线BC的上方变化位置，且保持∠ACB是锐角，那么∠BOC的度数是否会发生变化？若变化，请直接写出变化的结论，不需说明理由；若不变化，请直接写明结论．
【答案】（1）证明详见解析；（2）不变化，∠BOC=120°；（3）变化，当∠ABC＞120°时，∠BOC=60°， 当∠ABC=120°时，∠BOC不存在，当∠ABC＜120°时，∠BOC=120°.
【解析】
试题分析：（1）由△ABE和△ACD都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，AD=AC，利用等式的性质得到∠EAC=∠BAD，利用SAS可得出△AEC≌△ABD，利用全等三角形的对应边相等即可得证. （2）∠BOC的度数不会发生变化，都为120°，由三角形ADC为等边三角形，得到∠ADC=∠ACD=60°，再由（1）得到△AEC≌△ABD，利用全等三角形的对应角相等得到∠ACE=∠ADB，由∠BOC为三角形OCD的外角，利用三角形的外角性质及等量代换可得出∠BOC =∠ADC+∠ACD，可求出∠BOC的度数．（3）变化，分∠ABC＞120°，∠ABC=120°，∠ABC＜120°三种情况讨论.
试题解析：（1）∵△ABE和△ACD都为等边三角形，∴∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，AD=AC.
∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，即∠EAC=∠BAD.
在△AEC和△ABD中，，
∴△AEC≌△ABD（SAS）.∴EC=BD.
（2）不变化，∠BOC=120°.
∵△ADC为等边三角形，∴∠ADC=∠ACD=60°.
∵△AEC≌△ABD，∴∠ACE=∠ADB.
∵∠BOC为△COD的外角，
∴∠BOC=∠ODC+∠OCD=∠ODC+∠ACD+∠ACE=∠ODC+∠ADB+∠ACD
=∠ADC+∠ACD=120°.
（3）变化.
当∠ABC＞120°时，∠BOC=60°；
当∠ABC=120°时，∠BOC不存在；
当∠ABC＜120°时，∠BOC=120°.
考点：1.等边三角形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.三角形外角性质；4分类思想的应用．
4．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB上一动点，则EC＋ED的最小值是 ．
【答案】.
【解析】
试题分析：首先确定DC′=DE+EC′=DE+CE的值最小．然后根据勾股定理计算：
如图，过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小．
连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，∴∠CBC′=90°.
∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°. ∴BC=BC′=2.
∵D是BC边的中点，∴BD=1.
根据勾股定理可得.
考点：1.单动点问题；2.轴对称（最短路线问题）；3. 勾股定理．
5．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为 cm．
【答案】19．
【解析】
试题分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AD=CD，然后求出△ABD的周长等于AB+BC，再求出AC的长，最后根据三角形的周长公式进行计算即可得解：
∵DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，∴AD=CD，AC=2AE=2×3=6cm.
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=13cm.
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm．
考点：线段垂直平分线的性质．
6．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE＝3，则点P到AB的距离是 ．
【答案】3．
【解析】
试题分析：过P作PF⊥AB于F，
∵点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC，PF⊥AB，PE=3，
∴根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，得点P到AB的距离PF=PE= 3．
考点: 角平分线的性质．
7．如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D、E为BC上的点，且∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，则图中共有等腰三角形( )个．
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【答案】C．
【解析】
试题分析：由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏：
∵AB=AC，∠ABC=36°，∴∠BAC=108°.
∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°.
∴等腰三角形△ABC，△ABD，△ADE，△ACE，△ACD，△ABE，共有6个.
故选C．
考点：1. 三角形内角和定理；2. 角平分线的性质；等腰三角形的判定．
8．(1)；
(2)
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）先化简二次根式，再合并即可；（2）根据实数的运算顺序计算即可.
试题解析：（1）.
（2）.
考点：实数的运算.
9．如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，∠ABC的平分线交AC于点D，则图中共有等腰三角形( )．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【答案】D.
【解析】
试题分析：由已知条件，根据等腰三角形的定义及等角对等边先得出∠ABC的度数，由∠ABC的平分线交AC于D，得到其它角的度数，然后进行判断：
∵在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，∴.
∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形.
∵BD平分∠ABC交AC于D，∴∠ABD=∠DBC=36°.
∵∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三角形.
∵∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，∴△BDC是等腰三角形.
∴共有3个等腰三角形.
故选D.
考点: 1.等腰三角形的判定;2.三角形内角和定理;3.角平分线的性质.
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE．
(1)求证：BH＝AC；
(2)求证：BG2－GE2＝EA2．
【答案】（1）（2）证明详见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠ABC，∠ABE=∠DCA，推出DB=CD，根据ASA证出△DBH≌△DCA即可.（2）根据DB=DC和F为BC中点，得出DF垂直平分BC，推出BG=CG，根据BE⊥AC和∠ABE=∠CBE得出AE=CE，在Rt△CGE中，由勾股定理即可推出答案.
试题解析：（1）∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°，
∴∠BCD=45°=∠ABC，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°.
∴DB=DC，∠ABE=∠DCA.
在△DBH和△DCA中，∵∠DBH=∠DCA，BD=CD，∠BDH=∠CDA，
∴△DBH≌△DCA（ASA）.∴BH=AC.
（2）连接CG，
∵F为BC的中点，DB=DC，∴DF垂直平分BC. ∴BG=CG.
∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，∴∠AEB=∠CEB.
在△ABE和△CBE中，∵∠AEB=∠CEB，BE=BE，∠CBE=∠ABE，
∴△ABE≌△CBE（ASA）.∴EC=EA.
在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2﹣GE2=EC2.
∴BG2﹣GE2=EA2.
考点：1.全等三角形的判定和性质；2.线段垂直平分线的性质3.勾股定理.学生姓名：初二小班 年级： 任教学科：数学 教学次数：3 教学时间：2014-2-13 15:00-17:00
指导教师： 教学模式：小班 教学地点：滨湖区万达 新区宝龙 胡埭校区
1．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA＋PC的最小值为( )．
A． B．
C． D．2
2．在△ABC中，AB＝AC＝12 cm，BC＝6 cm，D为BC的中点，动点P从点B出发，以每秒1 cm的速度沿B→A→C的方向运动．设运动时间为t，那么当t＝_______秒时，过D、P两点的直线将的△ABC周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．
(1)求证：CE＝BD；
(2)如果当点A在直线BC的上方变化位置，且保持∠ABC和∠ACB都是锐角，那么∠BOC的度数是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出∠BOC的度数：
(3)如果当点A在直线BC的上方变化位置，且保持∠ACB是锐角，那么∠BOC的度数是否会发生变化？若变化，请直接写出变化的结论，不需说明理由；若不变化，请直接写明结论．
4．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB上一动点，则EC＋ED的最小值是 ．
5．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为 cm．
6．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE＝3，则点P到AB的距离是 ．
7．如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D、E为BC上的点，且∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，则图中共有等腰三角形( )个．
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
8．(1)；
(2)
9．如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，∠ABC的平分线交AC于点D，则图中共有等腰三角形( )．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE．
(1)求证：BH＝AC；
(2)求证：BG2－GE2＝EA2．
