第六章 平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
1、借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的加、减运算及运算规则，理解其几何意义。
2、通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及运算规则，理解其几何意义。理解两个平面向量共线的含义。
3、了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．
4、通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。
5、通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．
6、会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
一、向量加法的定义及其运算法则
1.向量加法的定义
求 的运算，叫做向量的加法.
2.向量求和的法则
向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 这种求向量和的方法，称为向量加法的 法则. 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝ ＝a
平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作 OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 法则
的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型， 的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型.
【答案】1.两个向量和
2.三角形；0＋a；平行四边形；位移；力
二、向量加法的运算律
向量加法的运算律
交换律 a＋b＝b＋a
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
三、相反向量
1.定义：与向量a长度 ，方向 的向量，叫做a的 向量，记作 .
2.性质
(1)零向量的相反向量仍是 .
(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝ .
(3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝ .
【答案】1.相等；相反；相反；－a
2.零向量；0；0
四、向量的减法
1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的 向量，求两个向量 的运算，叫做向量的减法.
2.几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示.
3.文字叙述：如果把两个向量的 放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为 ，被减向量的终点为 的向量.
【答案】1.相反；差
3.起点；起点；终点
五、向量数乘的定义
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝ .
(2)λa (a≠0)的方向
特别地，当λ＝0时，λa＝ .
当λ＝－1时，(－1)a＝－a.
【答案】（1）|λ||a|；（2）0
六、向量数乘的运算律
1.(1)λ(μa)＝ .
(2)(λ＋μ)a＝ .
(3)λ(a＋b)＝ .
特别地，(－λ)a＝－λa＝ ，λ(a－b)＝ .
2.向量的线性运算
向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝ .
【答案】1.(λμ)a；λa＋μa；λa＋λb；λ(－a)；λa－λb
2.加；减；数乘；λμ1a±λμ2b
七、向量共线定理
向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 .
【答案】b＝λa
八、两向量的夹角与垂直
1.夹角：已知两个 a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则 ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).
当θ＝0时，a与b ；当θ＝π时，a与b .
2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b.
【答案】1.非零向量；∠AOB；同向；反向
九、向量数量积的定义
非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于 .
【答案】0
十、投影向量
在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝ .
【答案】|a|cos θ e
十一、平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则
(1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ.
(2)a⊥b a·b＝0.
(3)当a∥b时，a·b＝
特别地，a·a＝ 或|a|＝ .
(4)|a·b| |a||b|.
【答案】|a|2；；≤
十二、平面向量数量积的运算律
1.a·b＝ (交换律).
2.(λa)·b＝ ＝ (数乘结合律).
3.(a＋b)·c＝ (分配律).
【答案】b·a；λ(a·b)；a·(λb)；a·c＋b·c
一、单选题
1.在 中，若 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：因为 ，所以
所以 ．
故答案为：A．
2.若 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】根据平面向量减法运算的“三角形”法则可知 ＝ - ，
只有选项B符合题意，
故答案为：B.
3.如图所示，正六边形 中， （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】正六边形 中，
， ；
。
故答案为：C．
4.在中，边上的点满足 ， 设 ， ， 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】由 ， 得 ， ∴ ，
故答案为：B.
5.已知向量 ， 是两个不共线的向量，若 与 共线，则 （ ）
A. 2 B. -2 C. D.
【答案】 C
【解析】由 ，可设 ，
则
解得： ，
故答案为：C
6.如图，在 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 .
故答案为：D.
二、填空题
7.已知 ， 是不共线的两个向量， ，则 ________．
【答案】
【解析】因为 ， 是不共线的两个向量，且 = ，
∴ = = ，
则 = = .
故答案为 ．
8.四棱锥 的底面是平行四边形， ，若 ，则 ________．
【答案】
【解析】由 ，则
四棱锥 的底面是平行四边形,即 为平行四边形，则
则
又
所以 ，故
故答案为：
三、解答题
9.如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 平面 ， ， ， ， 是 的中点， 在线段 上且 ．
（1）用向量 ， ， 表示向量 ；
（2）求向量 的模长．
【答案】 （1）解：
（2）解：
，
【解析】(1)根据题意由向量的加减运算性质计算出结果即可。
(2)由向量模的运算性质整理化简，然后代入数值计算出结果即可。
10.已知 是平面上两个不共线的向量且 ， ， .
（1）若 ， 方向相反，求 的值；
（2）若 ， ， 三点共线，求 的值.
【答案】 （1）解：由题意知， ，则存在 ，使得 ，即 ，从而 ，得 ，又 方向相反，则
（2）解：由题意知， ，由 ， ， 三点共线得，存在 ，使得 ，即 ，从而 ，得 或 .
【解析】（1）由向量共线得出存在 ，使得 ，得出 ，列出方程组，即可得出 的值；（2）根据三点共线得出存在 ，使得 ，得出 ，列出方程组，即可得出 的值.第六章 平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
1、借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的加、减运算及运算规则，理解其几何意义。
2、通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及运算规则，理解其几何意义。理解两个平面向量共线的含义。
3、了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．
4、通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。
5、通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．
6、会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
一、向量加法的定义及其运算法则
1.向量加法的定义
求 的运算，叫做向量的加法.
2.向量求和的法则
向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 这种求向量和的方法，称为向量加法的 法则. 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝ ＝a
平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作 OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 法则
的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型， 的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型.
二、向量加法的运算律
向量加法的运算律
交换律 a＋b＝b＋a
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
三、相反向量
1.定义：与向量a长度 ，方向 的向量，叫做a的 向量，记作 .
2.性质
(1)零向量的相反向量仍是 .
(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝ .
(3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝ .
四、向量的减法
1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的 向量，求两个向量 的运算，叫做向量的减法.
2.几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示.
3.文字叙述：如果把两个向量的 放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为 ，被减向量的终点为 的向量.
五、向量数乘的定义
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝ .
(2)λa (a≠0)的方向
特别地，当λ＝0时，λa＝ .
当λ＝－1时，(－1)a＝－a.
六、向量数乘的运算律
1.(1)λ(μa)＝ .
(2)(λ＋μ)a＝ .
(3)λ(a＋b)＝ .
特别地，(－λ)a＝－λa＝ ，λ(a－b)＝ .
2.向量的线性运算
向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝ .
七、向量共线定理
向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 .
八、两向量的夹角与垂直
1.夹角：已知两个 a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则 ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).
当θ＝0时，a与b ；当θ＝π时，a与b .
2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b.
九、向量数量积的定义
非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于 .
十、投影向量
在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝ .
十一、平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则
(1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ.
(2)a⊥b a·b＝0.
(3)当a∥b时，a·b＝
特别地，a·a＝ 或|a|＝ .
(4)|a·b| |a||b|.
十二、平面向量数量积的运算律
1.a·b＝ (交换律).
2.(λa)·b＝ ＝ (数乘结合律).
3.(a＋b)·c＝ (分配律).
一、单选题
1.在 中，若 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
2.若 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
3.如图所示，正六边形 中， （ ）
A. B. C. D.
4.在中，边上的点满足 ， 设 ， ， 则（ ）
A. B. C. D.
5.已知向量 ， 是两个不共线的向量，若 与 共线，则 （ ）
A. 2 B. -2 C. D.
6.如图，在 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
7.已知 ， 是不共线的两个向量， ，则 ________．
8.四棱锥 的底面是平行四边形， ，若 ，则 ________．
三、解答题
9.如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 平面 ， ， ， ， 是 的中点， 在线段 上且 ．
（1）用向量 ， ， 表示向量 ；
（2）求向量 的模长．
10.已知 是平面上两个不共线的向量且 ， ， .
（1）若 ， 方向相反，求 的值；
（2）若 ， ， 三点共线，求 的值.
