2022-2023学年人教版八年级数学下册 18.2.1矩形同步练习（含答案）

2023年八年级下册 数学第十八章【同步测试】+【课后提升】
18.2.1矩形
同步测试阶段：
一、单选题
1．如图是我校的长方形水泥操场，如果一学生要A角走到C角，至少走（　　）
A．140米 B．120米 C．100米 D．90米
2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，AD＝DB＝5，则CD＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O是坐标原点，点A、C的坐标分别是 ， ，点B在第一象限，则点B的坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．下列说法错误的是（　　）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等
C．矩形的对角线互相平分
D．有一个角是直角的平行四边形是矩形
5．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点 M与点C被湖隔开．若测得AB的长为12km，则M，C两点间的距离为（　　）
A．3km B．4km C．5km D．6km
二、填空题
6．直角三角形斜边上的中线长为4cm，则斜边为　 　。
7．矩形是特殊的平行四边形．　 　（判断对错）
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，AC＝6，则点A的坐标是　 　．
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是　 　（写出一种情况即可）．
10．如图，矩形ABCD中，点P为AD上一个动点，以PB 为对称轴将△APB折叠得到△EPB，点A的对称点为点E，射线BE交矩形ABCD的边于点 F，若AB＝4，AD＝6，当点F为矩形ABCD边的中点时，AP的长为　 　.
三、解答题
11．如图，点E为矩形ABCD外一点，AE = DE.求证：△ABE≌△DCE
12．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4cm，矩形ABCD的周长为36cm，求AE的长.
13．如图：在矩形ABCD中，AD=60cm，CD=120cm，E、F为AB边的三等分点，以EF为边在矩形内作等边三角形MEF，N为AB边上一点，EN=10cm；
请在矩形内找一点P，使△PMN为等边三角形（画出图形，并直接写出△PMF的面积）．
14．已知，如图：在矩形ABCD中，点M、N在边AD上，且AM=DN，求证：BN=CM.
课后提升阶段：
一、单选题
1．如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是（　　）
A．矩形的对角线相等
B．矩形的四个角是直角
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
2．下列性质中，矩形不一定具有的是(　　)
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．对边相等 D．四个角都是直角
3．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠BAO=55°，则∠AOD等于(　　)
A．105° B．110° C．115° D．120°
4．如图，△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于D点，CE⊥AB于E点，F，G分别为BC、DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（　　）
A．2 B． C．8 D．9
5．在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ABC＝90°，则下列结论错误的是（　　）
A．AC＝BD B．OA＝OB C．AC⊥BD D．AB＝CD
二、填空题
6．若直角三角形的两条直角边的长分别是3和4，则斜边上的中线长为　 　.
7．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，点D是AB的中点，过AC的中点E作EF∥CD交AB于点F，则EF=　 　．
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD=120 ，AB=1，则BC的长为　 　
9．如图，在四边形 中， ．若将 沿 折叠,点 与边 的中点 恰好重合，则四边形 的周长为　 　．
10．如图在平行四边形ABCD中，添加一个条件　 　，可得平行四边形ABCD是矩形。
三、解答题
11．如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O．若 AO=3，∠OBC=30°，求矩形的周长和面积．
12．如图，在矩形ABCD中．点O在边AB上，∠AOC=∠BOD．求证：AO=OB．
13．在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．
（1）求证：△BDF≌△CDE；
（2）若DE=BC，试判断四边形BFCE是怎样的四边形，并证明你的结论．
14．如图，在中，，点在的延长线上，且．
求证：四边形是矩形．
同步测试答案：1．【答案】C
【解析】【解答】长方形对角线把长方形分成两个全等的直角三角形，两直角边分别为60米和80米，故斜边AC= =100（米），故答案为：C．
【分析】矩形的对角线把长方形分成两个全等的直角三角形，两直角边分别为60米和80米，故斜边AC由勾股定理可求。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，AD＝BD＝5，
∴CD＝ AB＝5，
故答案为：C．
【分析】根据直角三角形斜边上中线性质求出AB＝2CD，代入求出即可．
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴OC=AB，CB=OA，
∵点A，C的坐标分别是（6，0），（0，3），
∴AB=3，OA=6，
∴点B坐标为（6，3），
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质得出点B的坐标即可.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以此选项错误；
B、矩形的对角线相等，所以此选项正确；
C、矩形的对角线互相平分，所以此选项正确；
D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以此选项正确；
因为本题选择说法错误的，故选A．
【分析】根据矩形的定义和性质及判定进行判断．
5．【答案】D
【解析】【解答】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵点M是AB的中点，
∴CM＝AB＝6km，
故答案为：D．
【分析】先求出∠ACB＝90°，再根据线段的中点求解即可。
6．【答案】8
【解析】【解答】根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可得斜边长为8cm.
故答案是：8cm.
【分析】根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可求得答案。
7．【答案】对
【解析】【解答】解：有一个内角是直角的平行四边形是矩形，
所以矩形是特殊的平行四边形
故答案为：对
【分析】根据矩形的定义即可求出答案．
8．【答案】（，）
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC＝90°，
∵AC∥x轴，
∴∠OAC＝30°，∠ODA＝90°，
∵AC＝6，
∴OC＝AC＝3，
∴OA＝OC＝3，
∴OD＝OA＝，
∴AD＝OD＝，
∴点A的坐标是（，）；
故答案为：（，）．
【分析】先求出∠OAC＝30°，∠ODA＝90°，再求出AD＝OD＝，最后求点的坐标即可。
9．【答案】∠A=90°或AD=BC或AB∥CD
【解析】【解答】解：根据矩形的判定定理可知，已知了AD∥BC，∠D=90°，还缺的条件是∠A=90°或AB∥CD，或AD=BC．
【分析】根据矩形的判定定理可知，已知AD∥BC，∠D=90°，还缺的条件是∠A=90°或AB∥CD，或AD=BC．
10．【答案】 或
【解析】【解答】解：如图1中，当点F是AD的中点时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AB＝6，AF＝3，
∴BF＝ ＝ ＝5，
由翻折可知：AB＝BE＝4，设PA＝PE＝x，则PF＝3﹣x，EF＝5﹣4＝1，
在Rt△PEF中，∵PE2+EF2＝PF2，
∴x2+12＝（3﹣x）2，
∴x＝ ，
∴PA＝
如图2中，当点F是CD的中点时，延长AD交BF的延长线于H.
∵∠C＝90°，BC＝6，CF＝DF＝2，
∴BF＝ ＝2 ，
∵DH∥BC，
∴∠H＝∠FBC，
∵∠DFH＝∠BFC，DF＝FC，
∴△DHF≌△CBF（AAS），
∴DH＝BC＝6，FH＝BF＝2 ，
∵AB＝BE＝4，
∴EF＝2 ﹣4，EH＝2 ﹣4+2 ＝4 ﹣4，
设PA＝PE＝y，则PD＝6﹣y，PH＝6﹣y+6＝12﹣y，
在Rt△PEH中，∵PE2+EH2＝PH2，
∴y2+（4 ﹣4）2＝（12﹣y）2，
∴y＝ ，
∴PA＝ ，
综上所述，PA的长为 或 .
故答案为： 或 .
【分析】分两种情形：如图1中，当点F是AD的中点时.如图2中，当点F是CD的中点时，延长AD交BF的延长线于H.分别求解即可.
11．【答案】证明： 四边形ABCD是矩形，
， ，
，
，
，
在 和 中，
.
【解析】【分析】利用矩形的性质可证得AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，利用等边对等角得∠EAD=∠EDA，可推出∠EAB=∠EDC，再利用SAS可证得结论.
12．【答案】 解：∵ EF⊥EC ，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
在Rt△DEC中，∠D=90°，
∴∠DEC+∠DCE=90°，
∴∠AEF=∠DCE，
在△AEF和△DCE中，
∴△AEF≌△DCE（AAS），
∴AE=CD，
∵矩形ABCD的周长为36cm ，
∴AD+DC=18cm,
∴2AE+DE=18cm,
∵DE=4cm,
∴AE=7cm.
【解析】【分析】根据等角的余角相等，可得∠AEF=∠DCE，根据“AAS”可证△AEF≌△DCE，利用全等三角形的对边相等，可得AE=CD；根据矩形的对边相等，可得AD+DC=18cm，即得2AE+DE=18cm,从而求出AE的长.
13．【答案】解：如图，以MN为边，可作等边三角形PMN；
△PMF的面积为400．（求解过程如下）．
连接PE，
∵△MEF和△PMN为等边三角形，
∴∠PMN=∠NMF=∠MFE=60°，MN=MP，NE=NF，
∴∠PME=∠NMF，
在△MPE和△MNF中，
，
∴△MPE≌△MNF（SAS），
∴∠MEP=∠MFE=60°，
∴∠PEN=60°，
∴PE∥MF，
∴S△PMF=S△MEF=EF2=400．
【解析】【分析】如图，以MN为边容易作出等边三角形，结合等边三角形的性质，连接PE，可证明△MPE≌△MNF，可证明PE∥MF，容易求得S△PMF=S△MEF，可求得答案．
14．【答案】证明：∵AM=DN，∴AM+MN=MN+ND，∴AN=MD，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠D，在△ABN和△DCM中，
∵ ，
∴△ABN≌△DCM，
∴BN=CM.
【解析】【分析】首先根据AM=DN得到AN=MD，再由矩形的性质得到AB=CD，∠A=∠D，进而得到△ABN≌△DCM，于是得出结论.
课后提升答案：
1．【答案】D
【解析】【解答】解：这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形，
故答案为：D.
【分析】矩形的判定定理有：对角线相等的平行四边形是矩形；一个角是直角的平行四边形是矩形；结合题意分别判断即可.
2．【答案】B
【解析】【分析】矩形对角线的性质：平分、相等，但不垂直．
【解答】A、矩形的对角线平分、相等，故A正确；
B、矩形的对角线平分、相等，故B错误；
C、矩形的对边相等，故C正确；
D、矩形的四个角都是直角，故D正确；
故选B．
【点评】本题考查矩形的性质：对边平行且相等，矩形的对角线平分、相等，四个角都是直角．
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB.
∴∠BAO=∠ABO=55°.
∴∠AOD=∠BAO+∠ABO=55°+55°=110°.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质可得∠BAO=∠ABO=55°，再依据三角形外角性质可知∠AOD=∠BAO+∠ABO=55°+55°=110°.
4．【答案】A
【解析】【解答】连接EF，DF，
∵BD、CE是△ABC的高，F是BC的中点
∴在Rt△CEB中,
在Rt△BDC中,
∴FE=FD=9
即△EFD为等腰三角形
又∵G是ED的中点
∴FG是等腰三角形EFD的中线，EG=DG=5
∴FG⊥DE(等腰三角形边上的三线合一)，
在Rt△GDF中,FG=
故答案为：A
【分析】先利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求得△EFD为等腰三角形，再利用等腰三角形边上的三线合一，即可求证FG⊥DE，再利用勾股定理可求出FG的长度．
5．【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意作图，如下所示：
∵ ，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD为矩形.
∵矩形ABCD，
∴AB=CD，OA=OB，AC=BD.
∵条件不足无法判定四边形为菱形，
∴AC⊥BD无法判定，故C错误.
故答案为：C.
【分析】本题根据平行四边形的性质，加之∠ABC=90°进行矩形的证明，最后根据矩形性质求解本题.
6．【答案】2.5
【解析】【解答】解：由勾股定理得，斜边= =5，
所以，斜边上中线长= ×5=2.5.
故答案为：2.5.
【分析】利用勾股定理求出斜边长，然后利用斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.
7．【答案】1.5
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，点D是AB的中点，
∴CD= AB=3，
∵过AC的中点E作EF∥CD交AB于点F，
∴EF是△ACD的中位线，
∴EF= CD=1.5；
故答案为：1.5．
【分析】先由直角三角形斜边上中线的性质得到CD=3，再由中位线定理得到EF的长.
8．【答案】
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=AC，OB=BD，
∴OA=OB
∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴OA=AB=2，∠BAO=60°，
∴∠ACB=30°，
∴AC=2AB=2，
∴BC=.
【分析】证明△ABO是等边三角形，可得OA=AB=2，∠BAO=60°，从而求出∠ACB=30°，利用直角三角形的性质得出AC=2AB=2，由勾股定理即可求出BC.
9．【答案】20
【解析】【解答】解：∵BD⊥AD，点E是AB的中点，
∴DE=BE= AB=5，
由折叠可得，CB=BE，CD=ED，
∴四边形BCDE的周长为5×4=20，
故答案为：20．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到DE和BE的长度，即可得到四边形BCDE的周长。
10．【答案】AC=BD(答案不唯一)
【解析】【解答】解：添加条件为AC=BD，
∵四边形ABCD为平行四边形，AC=BD
∴平行四边形ABCD为矩形
【分析】根据矩形的判定定理，添加合适的条件即可得到答案。
11．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，AO=3，
∴∠ABC=90°，AD=BC，AB=DC，AO=OC，OB=OD，AC=BD，
∴AC=BD=2AO=6，OB=OC，
∴AB= AC=3，
由勾股定理得：BC=3 ，
∴AB=DC=3，AD=BC=3 ，
∴矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=6+6 ，
矩形ABCD的面积是AB×BC=3×3 =9 ．
【解析】【分析】利用矩形对角线相等与直角三角形30°角所对边等于斜边的一半，可得 AB= AC=3 ，在直角三角形CBD中可求得BC长，从而可求得矩形的周长与面积.
12．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC﹣∠DOC=∠BOD﹣∠DOC，
∴∠AOD=∠BOC，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC，
∴AO=OB．
【解析】【分析】首先根据矩形的性质得到∠A=∠B=90°，AD=BC，利用角角之间的数量关系得到∠AOD=∠BOC，利用AAS证明△AOD≌△BOC，即可得到AO=OB．
13．【答案】（1）证明：∵CE∥BF，
∴∠CED=∠BFD，
∵D是BC边的中点，
∴BD=DC，
在△BDF和△CDE中
，
∴△BDF≌△CDE（AAS）；
（2）四边形BFCE是矩形，
证明：∵△BDF≌△CDE，
∴DE=DF，
∵BD=DC，
∴四边形BFCE是平行四边形，
∵BD=CD，DE=BC，
∴BD=DC=DE，
∴∠BEC=90°，
∴平行四边形BFCE是矩形．
【解析】【分析】（1）根据平行线得出∠CED=∠BFD，根据AAS推出两三角形全等即可；
（2）根据全等得出DE=DF，根据BD=DC推出四边形是平行四边形，求出∠BEC=90°，根据矩形的判定推出即可．
14．【答案】证明：在中，有，
∵，，
∴，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，由，，可得，根据两组对边平行且相等可证四边形DEFC是平行四边形，结合DE⊥AB，可证四边形是矩形．