2022-2023学年人教版八年级数学下册 18.1.2平行四边形的判定同步练习 （含解析）

2023年八年级下册 数学第十八章【同步测试】+【课后提升】
18.1.2平行四边形的判定
同步测试阶段：
一、单选题
1．如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF＝20m，则AB长为（　　）
A．10m B．20m C．30m D．40m
2．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若BC＝6，则DE＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，在四边形 中，E是 边的中点，连接 并延长交 的延长线于点F，且 添加一个条件使四边形 是平行四边形，下面四个条件中可选择的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，已知四边形ABCD中，∠C=90°，点P是CD边上的动点，连接AP，E，F分别是AB，AP的中点，当点P在CD上从点D向点C移动过程中，下列结论成立的是（　　）
A．线段EF的长先减小后增大 B．线段EF的长不变
C．线段EF的长逐渐增大 D．线段EF的长逐渐减小
5．如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若DE＝ ，则EF的长为（　　）
A． B． C． D．8
二、填空题
6．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为　 　.
7．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是　 　．（添加一个条件即可，不添加其它的点和线）．
8．已知三角形的周长为20cm，连接各边中点所得的三角形的周长为　 　cm.
9．如图，平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，连接AP，若S△PBG＝2，则S四边形AEPH＝　 　.
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，E、F分别为DB、BC的中点，若AB＝8，则EF＝　 　．
三、解答题
11．已知在四边形ABCD中，AD=BC，∠D=∠DCE．求证：四边形ABCD是平行四边形．
12．设直线l1和直线l2平行，且l1和l2间的距离为a．如果线段AB在l1的右侧，并设AB关于l1的对称图形是A′B′，而A′B′关于l2的对称图形是A″B″（如图），那么，线段AB和A″B″有什么关系？
13．如图.在 ABCD中，已知E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接BF、AC.求证：AC=BF。
14．已知直角梯形ABCD中AD∥BC，∠B=90°，AB=8，AD=24，BC=26，点P从A点出发，沿AD边以1的速度向点D运动，点Q从点C开始沿CB边以3的速度向点B运动，P，Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t．设运动时间为t秒，t分别为何值时，四边形PQCD是平行四边形？
课后提升阶段：
一、单选题
1．如图所示， ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是CD中点，连接OE，若OE＝3cm，则AD的长为（　　）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
2．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，添加一个条件，可使四边形ABCD是平行四边形.下列错误的是（　　）
A．BC∥AD B．BC=AD
C．AB=CD D．∠A+∠B=180°
3．如图， 的对角线，交于点，是的中点，连结，，，若，则等于(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，四边形EFGH的周长为11，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，AD的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．7
5．顺次连接四边形各边中点所得的四边形是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．以上都不对
二、填空题
6．如左下图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若BC=10，则DE=　 　．
7．如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离.于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM＝AC，BN＝BC，测得MN＝200m，则A，B间的距离为　 　m.
8．如图，△ABC中，∠A＝73°，∠B＝45°，点D是AC的中点，点E是AB边上一点，且AE＝AB，则∠ADE＝　 　°．
9．四边形ABCD中，如果AB=DC，当AB　 　 DC时，四边形ABCD是平行四边形；当AD　 　 BC时，四边形ABCD是平行四边形.
10．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB为直角，若AB=8，BC=10，则EF的长为　 　
三、解答题
11．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD边上的点，且AE＝CF，求证：四边形EBFD是平行四边形．
12．如图，在中，，BD为的中线，过点作于点，过作BD的平行线，交的延长线与点，在的延长线上截取，连接，若，，则四边形的周长为多少？
13．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OB，OD的中点，试说明四边形AECF是平行四边形．
14．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF.求证：BE//DF.
同步测试答案：1．【答案】D
【解析】【解答】∵E、F是AC，AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF= AB
∵EF=20m，
∴AB=40m．
故答案为：D．
【分析】根据题意直接利用三角形中位线定理，可求出AB．
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ BC＝3，
故答案为：B.
【分析】由已知可得DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线等于第三边的一半，可求出DE的长。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A、添加 时，无法证明AB∥CD或AD＝BC，故不能使四边形 是平行四边形，此选项错误；
B、 添加 时，无法证明AD∥BC或AB＝CD，故不能使四边形 是平行四边形，此选项错误；
C、 添加 时，无法证明∠ABC＝∠ADC，故不能使四边形 是平行四边形，此选项错误；
D、 ∵ ，
∴AD∥FC，
在△AED和△BEF中，
，
∴△AED≌△BEF（AAS），
∴AD＝BF，
∵ ，
∴AD＝CB，
∴四边形 是平行四边形，此选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的判定方法，把A、B、C、D四个选项中的条件分别代入验证，发现D为正确选项，添加 时，可先证明△AED≌△BEF，得到AD＝BF＝CB，结合AD∥FC可得四边形 是平行四边形.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：连接BD，BP，
∵E，F分别是AB，AP的中点，
∴EF是△ABP的中位线，
∴EF= BP，
∵点P在CD上从点D向点C移动过程中，BD＞BP，
∴线段EF的长逐渐减小．
故选D．
【分析】连接BD，BP，由题意可知EF是△ABP的中位线，即EF= BP，当点P在CD上从D向C移动时，BD＞BP，所以线段EF的长逐渐减小．
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，DE＝2 ，
∴BC＝2DE＝4 ，DE∥BC，
∵CF∥BE，
∴四边形EBCF为平行四边形，
∴EF＝BC＝4 ，
故答案为：C.
【分析】利用三角形的中位线定理可求出BC的长，同时可证得DE∥BC，由此可证得四边形EBCF为平行四边形，利用平行四边形的对边相等，可求出EF的长.
6．【答案】16
【解析】【解答】解：∵ ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴BO＝DO＝ BD，BD＝2OB，
∴O为BD中点，
∵点E是AB的中点，
∴AB＝2BE，BC＝2OE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴CD＝2BE.
∵△BEO的周长为8，
∴OB+OE+BE＝8，
∴BD+BC+CD＝2OB+2OE+2BE＝2（OB+OE+BE）＝16，
∴△BCD的周长是16，
故答案为16.
【分析】根据平行四边形的性质可得BO＝DO＝ BD，进而可得OE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出BC＝2OE，再根据平行四边形的性质可得AB＝CD，从而可得△BCD的周长＝△BEO的周长×2.
7．【答案】AB=CD或AD∥BC或∠A=∠C等（不唯一）
【解析】【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°；
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠B=180°；
∴AD∥BC；
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
故答案为：AB=CD或AD∥BC或∠A=∠C等（不唯一）．
【分析]可根据平行四边形判定定理；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；或一组对边平行相等的四边形是平行四边形；或两组对边分别平行的四边形是平行四边形来添加条件，所以答案不唯一。
8．【答案】10
【解析】【解答】解：如图，
∵ 分别为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：10.
【分析】根据中位线定理分别求出DE、EF和DF各边的长，则△DEF的周长可求.
9．【答案】8
【解析】【解答】解：∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形HPFD、四边形PGCF、四边形BGPE是平行四边形，
∴ ，
∵S△PBG＝2，
∴ ，
∵CG＝2BG，
∴ ，
∵ ,
∴ .
故答案为：8.
【分析】由题意根据平行四边形的判定和性质，进行面积的等量代换分析即可求解.
10．【答案】2
【解析】【解答】解：在 中， ， 是斜边 上的中线， ，
，
、 分别为 、 的中点，
是 的中位线，
，
故答案为：2．
【分析】根据题意求出CD=4，再求出 是 的中位线，最后计算求解即可。
11．【答案】解：∵∠D=∠DCE，
∴AD∥BC，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】【分析】根据内错角相等，两直线平行可得 ∥ ，根据平行四边形的判定定理即可得出结论.
12．【答案】解：因为l1平行于l2，并且AA′A″垂直于l1，当然也垂直于l2，同理BB′B″也垂直于l1和l2。又在平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，所以AA′A″∥BB′B″①另一方面，因为AP=PA′，A′P′=P′A″，所以AA′A″=2PP′=2a，同理BB′B″=2a，所以AA′A″=BB′B″②由①②可知，ABB″A'″为平行四边形，所以A''B''平行且等于AB
【解析】【分析】轴对称的定义;把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称.性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；根据定义和性质可得：AA′=B′B″，A′A″=BB′，所以AA′+A′A″=BB′+B′B″，即
AA″=BB″，而根据l1和l2间的距离为a可得1和l2平行，则根据平行四边形的判断可知AA″B″B为平行四边形，于是可得AA″∥BB″。
13．【答案】证明： 如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD,
∴∠1=∠2,
∵ E为BC的中点 ,
∴BE=CE,在△ABE与△FCE中，
∵∠1=∠2,∠3=∠4，BE=CE，
∴△ABE≌△FCE，
∴AE=EF,又BE=CE，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∴AC=BF.
【解析】【分析】根据平行四边对边平行得出AB∥CD，根据二直线平行内错角相等得出∠1=∠2,然后利用AAS△ABE≌△FCE，根据全等三角形对边相等得出AE=EF,然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形ABFC是平行四边形，根据平行四边形对边相等得出AC=BF.
14．【答案】解：根据题意得：PA=t，CQ=3t，则PD=AD-PA=24-t，
∵AD∥BC，
∴PD∥CQ，
∴当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，
即24-t=3t，
解得：t=6，
即当t=6时，四边形PQCD为平行四边形.
【解析】【分析】根据题意可得PA=t，CQ=3t，则PD=AD-PA=24-t，根据平行四边形的判定当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，可得方程24-t=3t，解此方程即可求得答案.此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
课后提升答案：
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ ABCD
∴OB=OD
∵E是CD中点
∴OE是△BCD的中位线
∴AD＝2OE＝2×3＝6（cm）．
故答案为B．
【分析】先求出OB=OD，再证明OE是△BCD的中位线，最后求解即可。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：根据平行四边形的判定，
A、AB∥CD，BC∥AD
C、AB∥CD，AB=CD
D、AB∥CD，由∠A+∠B=180°，∴BC∥AD
以上选项均符合是平行四边形的条件，B则不能判定是平行四边形.
故答案为：B.
【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ACD的中位线，
.
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质可得AO=CO，AD=BC=10，根据垂直的概念可得∠ACD=90°，利用勾股定理可得CD的值，由题意可得OE是△ACD的中位线，则CD=2OE，据此计算.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，
∴BC＝5，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EF∥HG，EF＝HG＝BC＝，
∵四边形EFGH的周长为11，
∴EH＝FG=，
∴AD＝2GF＝6，
故答案为：A.
【分析】 在Rt△BDC中，根据勾股定理求出BC，然后根据三角形中位线定理求出EF和GH的长，结合四边形EFGH的周长为11，列式求出FG，从而求出AD长.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：如图四边形ABCD，E、N、M、F分别是DA，AB，BC，DC中点，连接AC，DE，
根据三角形中位线定理可得：
EF平行且等于AC的一半，MN平行且等于AC的一半，
根据平行四边形的判定，可知四边形为平行四边形．
故选：A．
【分析】利用三角形中位线定理可得新四边形的对边平行且等于原四边形一条对角线的一半，那么根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定所得的四边形一定是平行四边形．
6．【答案】5
【解析】【解答】解：∵ D、E分别是AB、AC的中点
∴DE是△ABC的中位线
∴DE=BC=×10=5
【分析】根据三角形中位线定理可证得DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线等于第三边的一半，就可求出DE的长。
7．【答案】100
【解析】【解答】∵AM=AC，BN=BC，∴AB是△ABC的中位线，∴AB= MN=100m，
故答案为：100.
【分析】根据三角形的中位线平行且等于第三边的一半解答即可.
8．【答案】62
【解析】【解答】解：∵点E是AB边上一点，且AE=AB，
∴点E是AB的中点，
∵点D是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴∠ADE=∠C，
∵∠A=73°，∠B=45°，
∴∠C=180°-73°-45°=62°，
故答案为：62．
【分析】根据三角形中位线的性质可得DE//BC，所以∠ADE=∠C，再利用三角形的内角和求出∠C=180°-73°-45°=62°即可。
9．【答案】平行；=
【解析】【解答】四边形ABCD中，AB=DC，当AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形；当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形.
【分析】考查平行四边形的判定.
10．【答案】1
【解析】【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DE=BC= ×10=5，
∵∠AFB为直角，D是AB的中点，即FD是直角△ABF的中线，
∴FD=AB=×8=4．
∴EF=DE﹣FD=5﹣4=1．
故答案是：1．
【分析】根据三角形的中位线定理求得DE的长，然后根据FD是直角△ABF斜边上的中线，求得FD的长，则EF即可求得．
11．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，EB∥FD．
又∵AE＝CF，
∴DF=BE，
∴四边形EBFD是平行四边形．
【解析】【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行求解即可。
12．【答案】解：∵AG∥BD，BD＝FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
∴∠AFC=90°
在Rt△AFC中，
∠AFC=90°，，，
由勾股定理得AC2=AF2+CF2=100
∴AC==10
∵
∴△ABC是直角三角形
又∵点D是AC中点，
∴BD＝DF＝AC＝5，
∴四边形BGFD是菱形，
∴四边形BDFG的周长＝4GF＝20．
【解析】【分析】先判断出四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得出BD＝DF，则可判断四边形BGFD是菱形，再根据四边形BDFG的周长公式计算即可。
13．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵点E、F分别是O
B、OD的中点，
∴OE=OF．
∴四边形AECF是平行四边形．（方法不唯一）
【解析】【分析】性质：平行四边形的对角线互相平分；判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形；
14．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，AD//BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
又∵DE//BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE//DF.
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AD＝BC，AD//BC，由已知条件可知AE＝CF，根据线段的和差关系可得DE＝BF，推出四边形BEDF是平行四边形，然后根据平行四边形的性质可得结论.