第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
一、平面向量基本定理
1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a， 实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内 向量的一个基底.
【答案】1.不共线；任一；有且只有一对
2.所有
二、平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相 的向量，叫做把向量作正交分解.
【答案】垂直
三、平面向量的坐标表示
1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个 分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作 .
2.在直角坐标平面中，i＝ ，j＝ ，0＝ .
【答案】1.单位向量；a＝(x，y)
2.(1,0)；(0,1)；(0,0)
四、平面向量加、减运算的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
数学公式 文字语言表述
向量加法 a＋b＝ 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量减法 a－b＝ 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
【答案】(x1＋x2，y1＋y2)；(x1－x2，y1－y2)
五、平面向量数乘运算的坐标表示
已知a＝(x，y)，则λa＝ ，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数 .
【答案】(λx，λy)；乘原来向量的相应坐标
六、平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.
则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当 时，向量a，b(b≠0)共线.
注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.
【答案】x1y2－x2y1＝0
七、平面向量数量积的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
则a·b＝ .
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝ 或|a|＝ .
若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝ ，
|a|＝ .
(2)a⊥b .
(3)cos θ＝＝ .
【答案】x1x2＋y1y2；x2＋y2；；(x2－x1，y2－y1)；；x1x2＋y1y2＝0；
一、单选题
1.已知向量，满足 ，，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】解：因为 ，
所以 ，
所以.
故答案为：B.
2.已知向量 ， 向量 ， 且 ， 则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】 C
【解析】因为 ， 则 ， 解得 ， ， 因此，。
故答案为：C.
3.若向量 ， ， 与 共线，则实数k的值为（ ）
A. -1 B. C. 1 D. 2
【答案】 B
【解析】∵向量 ， ，
∴ ， ，
又因为 与 共线，∴ ，解得 。
故答案为：B
4.已知向量 ， ，且 ，则 （ ）
A. 12 B. 14 C. 15 D. 16
【答案】 C
【解析】因为向量 ， ，且 ，
所以 ，解得： ，
所以 ，可得 ，
所以 。
故答案为：C.
5.若向量 ，则（ ）
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
【答案】 B
【解析】因为 ,所以 不平行，因为 ，所以 ，
又 ，
故答案为：B.
6.在 中， ， ，E在 上且 ，则 （ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 12
【答案】 C
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 ．
故答案为：C．
二、填空题
7.已知向量 ， ， 则下列向量与向量垂直的有 .（只填正确的序号）
①；②；③；④
【答案】 ①②④
【解析】因为 ， ，
所以 ，
设与向量垂直的向量为 ，
则 ， 即 ，
经验证，得、、均满足上式.
故答案为：①②④.
8.已知向量 ， ， 若 ， 则实数 .
【答案】 -5
【解析】由得 ， ．
故答案为：-5．
三、解答题
9.已知向量 =（-2，1）， =（1，-2）， ， ．
（1）求 ；
（2）若 ，求k的值；
（3）当k=1时，求 与 夹角的余弦值．
【答案】（1）解： 由题意得，；
（2）解： 由题意得， ，
∵
∴1×(2k+1)-(-5)×(-k-2)=0
即-3k-9=0
则k=-3
（3）解： 当k=1时， ，
则
【解析】根据向量数量积的坐标表示，及向量平行的充要条件，结合向量的夹角公式求解即可
10.已知 ， ， 与 的夹角为 ．
（1）求 与 的值；
（2）若 与 垂直，求实数 的值．
【答案】（1）解:∵ ， ， 与 的夹角为 ，
∴ ；
．
（2）若 与 垂直，则 ，
即 ，
，
．
【解析】 (1)根据数量积的定义可求 ,根据 可求 的值；
(2)由题意得 ，进而求出实数 的值．第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
一、平面向量基本定理
1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a， 实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内 向量的一个基底.
二、平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相 的向量，叫做把向量作正交分解.
三、平面向量的坐标表示
1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个 分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作 .
2.在直角坐标平面中，i＝ ，j＝ ，0＝ .
四、平面向量加、减运算的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
数学公式 文字语言表述
向量加法 a＋b＝ 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量减法 a－b＝ 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
五、平面向量数乘运算的坐标表示
已知a＝(x，y)，则λa＝ ，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数 .
六、平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.
则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当 时，向量a，b(b≠0)共线.
注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.
七、平面向量数量积的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
则a·b＝ .
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝ 或|a|＝ .
若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝ ，
|a|＝ .
(2)a⊥b .
(3)cos θ＝＝ .
一、单选题
1.已知向量，满足 ，，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量 ， 向量 ， 且 ， 则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.若向量 ， ， 与 共线，则实数k的值为（ ）
A. -1 B. C. 1 D. 2
4.已知向量 ， ，且 ，则 （ ）
A. 12 B. 14 C. 15 D. 16
5.若向量 ，则（ ）
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
6.在 中， ， ，E在 上且 ，则 （ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 12
二、填空题
7.已知向量 ， ， 则下列向量与向量垂直的有 .（只填正确的序号）
①；②；③；④
8.已知向量 ， ， 若 ， 则实数 .
三、解答题
9.已知向量 =（-2，1）， =（1，-2）， ， ．
（1）求 ；
（2）若 ，求k的值；
（3）当k=1时，求 与 夹角的余弦值．
10.已知 ， ， 与 的夹角为 ．
（1）求 与 的值；
（2）若 与 垂直，求实数 的值．
