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高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》测试题B卷
考试时间：100分钟，满分：150分
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）
1．已知函数f(x)＝ln x－f′(－1)x2＋3x－4，则f′(1) ( )
A． －1 B．－2 C．8 D．0
2．设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为( )
A． B． C． D．
3.函数f(x)＝x＋eln x的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．R
4．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是( )．
A．(－2,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
5. f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)、g(x)满足f ′(x)＝g′(x)，则 ( )
A．f(x)=g(x) B．f(x)－g(x)为常数函数
C．f(x)=g(x)=0 D．f(x)+g(x)为常数函数
6．函数f(x)＝x3－3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（ ）
A．1，－1 B．3，-17 C．1，－17 D．9，－19
7．已知，是的导函数，即，，…，，，则 ( )
A． B． C． D．
8．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，f′(x)为函数f(x)的导函数，则f′(0)＝( )
A．0 B．26
C．29 D．212
9．已知点P是曲线上的一个动点，则点P到直线l：的距离的最小值为( )
A．1 B． C． D．
10.设f(x)＝x3＋x2＋2bx＋c，当x∈(0,1)时取得极大值，当x∈(1,2)时取得极小值，
则b－2－1的取值范围为( )
A.(1,4) B.( ，1) C.(，) D.( ，1)
二．填空题（每小题6分, 共24分）
11.函数y＝－x3＋(＋)x2－2x＋4(a<－1)的递减区间为 .
12．= .
13．已知函数f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，函数g(x)＝－x3＋2x2＋mx＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m＝________.
14. 已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f (m)＋(n)的最小值是________．
三、解答题（共计76分）
15．（本题满分12分） 设函数（）．
(Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
(Ⅱ）求函数在区间上的最大值与最小值.
16.（本题满分12分）设函数
⑴求函数的单调区间、极值.
⑵若当时，恒有，试确定a的取值范围.．21世纪教育网
17．（本题满分12分）某汽运集团公司生产一种品牌汽车，上年度成本价为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5万辆．本年度公司为了进一步扩大市场占有量，计划降低成本，实行降价销售．设本年度成本价比上年度降低了x (0
(1)若本年度年销售量比上年度增加了0.6x倍，问x在什么取值范围时，本年度的年利润比上年度有所增加？
(2)若本年度年销售量y关于x的函数为y＝2 011·，则当x为何值时，本年度年利润最大？
18．（本题满分12分）已知函数
(1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；
(2）若函数在处取得极值，对,恒成立，
求实数的取值范围.
19．（本题满分14分）已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数，设e为自然对数的底数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值；
(3)当a＝－1时，试推断方程|f(x)|＝＋是否有实数解．
20. （本题满分14分）已知函数.
(Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；
(Ⅱ)求的单调区间；
(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得
高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》测试题A卷答案
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）
1. 【答案】C
【解析】∵f′(x)＝－2f′(－1)x＋3，f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，
∴f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8.
2. 【答案】 A
【解析】因为切线倾斜角的范围是，所以斜率的范围是即∴.
3. 【答案】 A
【解析】因为，由得。又因为函数定义域为，所以单调增区间为.
4. 【答案】 A
【解析】由于函数f(x)是连续的，故只需要两个极值异号即可．f′(x)＝3x2－3，
令3x2－3＝0，得x＝±1，只需f(－1)·f(1)<0，即(a＋2)(a－2)<0，故a∈(－2,2)．
5. 【答案】 B
【解析】因为f ′(x)＝g′(x) ，所以，所以f(x)－g(x)为常数函数
6. 【答案】B21世纪教育网
【解析】因为，由得（舍)或,又因为，所以f(x)最大值为3，最小值为-17
7. 【答案】 C
【解析】因为，
，
所以周期为4.
所以
8. 【答案】 D
【解析】∵f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，
∴f′(x)＝x′(x－a1)…(x－a8)＋x[(x－a1)…(x－a8)]′
＝(x－a1)…(x－a8)＋x[(x－a1)…(x－a8)]′，
∴f′(0)＝(－a1)·(－a2)·…·(－a8)＋0＝a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212.
9. 【答案】 B
【解析】设P(x0，y0)到直线y＝x－2的距离最小，则y′|x＝x0＝2x0－＝1.
得x0＝1或x0＝ (舍)．∴P点坐标(1,1)．∴P到直线y＝x－2距离为
10. 【答案】
【解析】∵f′(x)＝x2＋x＋2b，
由题意得，即，
画可行域如图中阴影部分.
式子b－2－1的几何意义是可行域内的点与点M(1,2)连线的斜率.
由得A(－3,1)，
∵B(－1,0)，
∴kMB＝1，kMA＝，
∴b－2－1的取值范围是(，1).21世纪教育网
二、填空题
11. 【答案】(－∞，)，(，＋∞)
【解析】∵y′＝－2x2＋2(＋)x－2＝－2[x2－(＋)x＋1]
＝－2(x－)(x－)
由y′＝0，得x1＝，x2＝， ∵<－1，∴<.
∴y′＝－2(x－)(x－)<0的解集，
即原函数的减区间是(－∞，)，(，＋∞).
12 【答案】
【解析】 由定积分的几何意义知所求定积分为半圆x2＋y2＝9 (y≥0)的面积S，
所以
13. 【答案】
解析： 若f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，则m2－4＝0，m＝±2.
若g′(x)＝－3x2＋4x＋m≤0恒成立，则Δ＝16＋4×3m≤0，解得m≤－，故m＝－2.
14 【答案】 —13
【解析】 对函数f(x)求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知
f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.
由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
又∵f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，
f′(n)min＝f′(－1)＝－9. 故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.
三．解答题
15. 【解析】（Ⅰ）因为 ，
所以 ，且．所以 ．
所以 曲线在点处的切线方程是，
整理得 ．6分
(Ⅱ）由（Ⅰ）知．
令，解得．
当时，变化情况如下表：
x 0 1 2
0 + 0
0 递减 递增 0 递减 -2
因此，函数，的最大值为，最小值为.12分
16．【解析】(1)令由表
x a 3a
－ 0 + 0 －
递减 递增 b 递减
可知：当时，函数为减函数，当时。函数也为减函数；当时，函数为增函数.
当x=a时，的极小值为时，的极大值为b. 6分
(2)由
∵0∴
于是，问题转化为求不等式组的解.
解不等式组，得又017. 【解析】(1)本年度年利润为[13(1－0.9x)－10(1－x)]×5×(1＋0.6x)＝5(3－1.7x)(1＋0.6x)．
要使本年度的年利润比上年度有所增加，
则有5(3－1.7x)(1＋0.6x)>5×(13－10)．
解得0(2)本年度年利润为21世纪教育网
W(x)＝[13(1－0.9x)－10(1－x)]×2 011
＝2 011.
W′(x)＝2 011.
令W′(x)＝0，解得x1＝，x2＝2.又0所以函数W(x)在上为增函数，在上为减函数．
故当x＝时，W(x)取得最大值，即当x＝时，本年度的年利润最大．12分
18. 【解析】（Ⅰ），
当时，在上恒成立，函数 在单调递减，
∴在上没有极值点；
当时，得，得，
∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．
∴当时在上没有极值点，
当时，在上有一个极值点．6分
(Ⅱ）∵函数在处取得极值，∴，
∴，
令，可得在上递减，在上递增，
∴，即．12分
19. 【解析】(1)∵当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，f′(x)＝－1＋＝.
当00；当x>1时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，
∴f(x)max＝f(1)＝－1. 4分
(2)∵f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，
.
①若a≥，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上是增函数，
∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不符合题意．
②若a<，则由f′(x)>0
得a＋>0，即0由f′(x)<0得a＋<0，即从而f(x)在上是增函数，在上是减函数．
∴f(x)max＝f＝－1＋ln.
令－1＋ln＝－3，则ln＝－2，
∴＝e－2，即a＝－e2<，
∴a＝－e2为所求．8分
(3)由(1)知，当a＝－1时，f(x)max＝f(1)＝－1，
∴|f(x)|≥1.
令g(x)＝＋，则g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝e，
当00，g(x)在(0，e)上单调递增；[来源:21世纪教育网]
当x>e时，g′(x)<0，g(x)在(e，＋∞)上单调递减．
∴g(x)max＝g(e)＝＋<1.
∴g(x)<1.
∴|f(x)|>g(x)，即|f(x)|> ＋.
∴当a＝－1时，方程|f(x)|＝＋没有实数解14分
20. 【解析】
（Ⅰ），解得. 4分
（Ⅱ）.
①当时，
在区间上，；在区间上，
故的单调递增区间是，
单调递减区间是.
②当时，，
在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，
单调递减区间是.
③当时，， 故的单调递增区间是.
④当时，，
在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是.9分
（Ⅲ）由已知，在上有
由已知，，由（Ⅱ）可知，
①当时，在上单调递增，
故，
所以，，解得，
故.
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
故.
由可知，，，
所以，，，
综上所述，. 14分
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高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》测试题A卷
考试时间：100分钟，满分：150分
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）
1．已知f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于 ( )
A．e2 B．e C.ln 22 D．ln 2
2．已知物体的运动方程为（是时间，是位移），则物体在时刻时的速度为( )
A． B． C． D．
3． 若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于 ( )
A．－1 B．－2 C．2 D．0
4．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为 ( )
A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( )21世纪教育网
A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
6．已知函数，则的导函数 ( )21世纪教育网
A． B．
C． D．
7．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是 ( )
8．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是( )
A．20 B．18
C．3 D．0
9.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如下，则( )
A.函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点
B.函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点
C.函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点
D.函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点
10.函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间上的值域为( )
A.[ ，] B.( ，)
C.[1，] D.(1，)
2、填空题（每小题6分, 共24分）
11．一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体
在s～6 s间的运动路程为__________．
12. 曲线y＝ex在点 (2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 .
13. 已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)极大值与极小值之差为________．
14.直线y＝与函数f(x)＝x3－3x的图像有相异的三个公共点，则的取值范围是 .
三、解答题（共计76分）
15.（本题满分12分） 已知函数（为常数，且），当时有极大值.
(1）求的值；
(2）若曲线有斜率为的切线，求此切线方程.
16.（本题满分12分）已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l，根据以下条件求l的方程．
(1)直线l和y＝f(x)相切且以P为切点；
(2)直线l和y＝f(x)相切且切点异于P.
17.（本题满分12分）已知函数f(x)＝x2－aln x(a∈R)．
(1)若a＝2，求证：f(x)在(1，＋∞)上是增函数；
(2)求f(x)在[1，e]上的最小值．
18.(本题满分12分）某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式；
(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．
19．（本题满分14分）定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋2同时满足以下条件：
①f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；
②f′(x)是偶函数；
③f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝，求函数g(x)在[m，m＋1]上的最小值．
20．（本题满分14分）设函数
(Ⅰ）求函数的单调区间；
(Ⅱ）若函数在内没有极值点，求的取值范围；
(Ⅲ）若对任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.
高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》测试题A卷答案
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）
1．【答案】 B
【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，由f′(x0)＝2，即ln x0＋1＝2，
解得x0＝e.
2. 【答案】 D
【解析】物体在时刻时的速度就是路程在时的导数所以
3. 【答案】 B
【解析】f′(x)＝4ax3＋2bx，∵f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，∴f′(－1)＝－2
4. 【答案】A
【解析】切线l的斜率k＝4，设y＝x4的切点的坐标为(x0，y0)，则k＝4＝4，∴x0＝1，∴切点为(1,1)，
即y－1＝4(x－1)，整理得l的方程为4x－y－3＝0.
5. 【答案】B
【解析】∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根．
∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)>0，即a2－3a－18>0.∴a>6或a<－3.
6.答案 A
解析：
7.【答案】 C
【解析】∵f(x)在x＝－2处取得极小值，∴当x<－2时，f(x)单调递减，即f′(x)<0；
当x>－2时，f(x)单调递增，即f′(x)>0.∴当x<－2时，y＝xf′(x)>0；
当x＝－2时，y＝xf′(x)＝0；当－2当x＝0时，y＝xf′(x)＝0；当x>0时，y＝xf′(x)>0.
8. 【答案】 A
【解析】＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令＝0，得x＝±1，所以－1,1为函数的极值点．又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上f(x)max＝1，f(x)min＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f(x)max－f(x)min≤t，从而t≥20，所以t的最小值是20.
9．【答案】 A
【解析】由图可知，x1，x2，x3，x4是导函数y＝f′(x)的零点，在x1左、右两侧，x4左、右两侧，导函数的符号相同，∴x1，x4不是函数y＝f(x)的极值点，同理易知，x2是函数y＝f(x)的极大值点，x3是函数y＝f(x)的极小值点.
10. 【答案】A
【解析】f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝excosx，当00，
∴f(x)是上的增函数.∴f(x)的最大值为f()＝，
f(x)的最小值为f(0)＝.∴f(x)的值域为[，].
二、填空题
11【答案】m
【解析】由题图可知，该物体在s～6 s间运动的路程为
12 【答案】
【解析】∵点(2，e2)在曲线上，
∴切线的斜率k＝y′|x=2＝ex|x=2＝e2，∴切线的方程为y－e2＝e2(x－2)，
即e2x－y－e2＝0.与两坐标轴的交点坐标为(0，－e2)，(1,0)，21世纪教育网
∴S△＝×1×e2＝
13. 【答案】4
【解析】∵y′＝3x2＋6ax＋3b，
∴y′＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，则x＝0或x＝2.
∴f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4.
14. 【答案】 (－2,2)
【解析】令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2，
极小值为f(1)＝－2，
画出函数图像如图所示，可得－2<<2时，恰有三个不同公共点.
三、解答题
15. 【解析】（1）
则6分
(2）由（1）知，
依题意知
或 10分
又,
所以切线方程为或
即或12分
16. 【解析】(1)由f(x)＝x3－3x得f′(x)＝3x2－3，过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率
f′(1)＝0，故所求的直线方程为y＝－2. 4分
(2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)，则f′(x0)＝3x－3. 6分
又直线过(x0，y0)，P(1，－2)，
故其斜率可表示为8分
所以，即－3x0＋2＝3(－1)(x0－1)．21世纪教育网
解得x0＝1(舍去)或x0＝－，
故所求直线的斜率为k＝3.10分
所以l的方程为即.12分
17. 【解析】(1)证明：当a＝2时，f(x)＝x2－2ln x，
当x∈(1，＋∞)时， ，
所以f(x)在(1，＋∞)上是增函数．3分
(2) ，4分
当x∈[1，e]时，2x2－a∈[2－a，2e2－a]．
若a≤2，则当x∈[1，e]时，f′(x)≥0，所以f(x)在[1，e]上是增函数，
又f(1)＝1，故函数f(x)在[1，e]上的最小值为1. 6分
若a≥2e2，则当x∈[1，e]时，f′(x)≤0，
所以f(x)在[1，e]上是减函数，
又f(e)＝e2－a，所以f(x)在[1，e]上的最小值为e2－a. 8分
若2当 0，此时f(x)是增函数．
又f( )＝ln ，
所以f(x)在[1，e]上的最小值为ln .10分
综上可知，当a≤2时，f(x)在[1，e]上的最小值为1；
当2当a≥2e2时，f(x)在[1，e]上的最小值为e2－a. 12分
18. 【解析】(1)设－u＝k，
∵售价为10元时，年销量为28万件，
∴－28＝k，解得k＝2. 3分
∴u＝－22＋
＝－2x2＋21x＋18.
∴y＝(－2x2＋21x＋18)(x－6)
＝－2x3＋33x2－108x－108(6(2)y′＝－6x2＋66x－108
＝－6(x2－11x＋18)
＝－6(x－2)(x－9)．
令y′＝0，得x＝2(舍去)或x＝9，8分
显然，当x∈(6,9)时，y′>0；
当x∈(9,11)时，y′<0. 9分
∴函数y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的．
∴当x＝9时，y取最大值，且ymax＝135，11分
∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．12分
19. 【解析】(1)f′(x)＝ax2＋2bx＋c，
由题意知
即解得6分
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x3－x＋2. 7分
(2)g(x)＝＝(x－2)ex.
g′(x)＝ex＋(x－2)ex＝(x－1)ex.
令g′(x)＝0，解得x＝1.当x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0，
所以函数g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．9分
当m≥1时，在[m，m＋1]上， g(x)单调递增，g(x)min＝g(m)＝(m－2)em；10分
当m<1g(x)min＝g(1)＝－e；11分21世纪教育网
当m＋1≤1，即m≤0时，在[m，m＋1]上，g(x)单调递减，
g(x)min＝g(m＋1)＝(m－1)em＋1. 12分
综上，函数g(x)在[m，m＋1]上的最小值
g(x)min＝1４分
20. 【解析】（Ⅰ）∵f′(x)=3x2+2x－2=3(x)(x+),1分
又>0，∴当x<－或x>时f′(x) >0；
当－∴函数f(x)的单调递增区间为（－∞，－），(，+∞)，
单调递减区间为(－，).6分
(Ⅱ）由题设可知，方程f′(x)=3x2+2x－2=0在[－1，1]上没有实根
∴，解得>3. 10分
(Ⅲ）∵∈[3,6]，∴由（Ⅰ）知∈[1，2]，－≤－3
又x∈[－2,2] ∴f(x)max=max{f(－2),f(2)}
而f(2)－f(－2)=16－42<0
f(x)max=f(-2)= －8+4+22+m 12分
又∵f(x)≤1在[－2，2]上恒成立
∴f(x)max≤1即－8+4+22+m≤1
即m≤9－4－22,在∈[3，6]上恒成立
∵9－2的最小值为－87，∴m≤－87. 14分
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