第六章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
一、向量方法解决平面几何问题的步骤
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为 问题.
(2)通过 ，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.
(3)把运算结果“ ”成几何关系.
【答案】向量；向量运算；翻译
二、向量方法解决物理问题的步骤
用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
(1) ，即把物理问题转化为数学问题.
(2) ，即建立以向量为载体的数学模型.
(3) ，即求向量的模、夹角、数量积等.
(4) ，即把所得的数学结论回归到物理问题.
【答案】问题转化；建立模型；求解参数；回答问题
三、余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于
公式表达 a2＝ ， b2＝ ， c2＝
推论 cos A＝， cos B＝， cos C＝
【答案】其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍；b2＋c2－2bccos A；a2＋c2－2accos B；a2＋b2－2abcos C
四、余弦定理可以用于两类解三角形问题
1.已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角.
2.已知三角形的三边，求三角形的三个角.
五、解三角形
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的 .已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 .
【答案】元素；解三角形
六、正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等.
即＝＝.
【答案】正弦
七、正弦定理的变形公式
1.a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
2.sin A＝，sin B＝，sin C＝(其中R是△ABC外接圆的半径).
【答案】2Rsin A；2Rsin B；2Rsin C
八、距离问题
类型 图形 方法
两点间不可到达的距离 余弦定理
两点间可视不可到达的距离 正弦定理
两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理， 再用余弦定理
九、高度问题
类型 简图 计算方法
底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C.
底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值.
点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值.
十、角度问题
测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解.
一、单选题
1.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 ， 则角C的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】解：∵ ，
又 ， ∴ ， ∴ ， ∴.
故答案为：A.
2.在东京奥运会乒乓球男单颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和 ， 第一排和最后一排的距离为米（如图所示），则旗杆的高度为（ ）
A. 9米 B. 27米 C. 米 D. 米
【答案】 B
【解析】依题意可知 ，
，
∴ ，
由正弦定理可知 ，
∴米，
∴在中，米.
故答案为：B.
3.已知 的角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ， ， ，则 （ ）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】 B
【解析】由余弦定理得 ，即 ，整理得 ，解得 。
故答案为：B.
4.已知空间向量 满足 ， ，则 与 的夹角为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 以上都不对
【答案】 D
【解析】设 与 的夹角为θ，
由 ，得 ，
两边平方，得 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
故答案为：D.
5.在 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 ，则 最小内角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】解：因为 ，所以 则 ，
可知 的最小内角为角A，
所以 ，
又 ，所以 .
故答案为：D.
6.二七罢工纪念塔位于郑州市二七广场，是为纪念京汉铁路工人大罢工中牺牲的烈士，发扬“二七”革命传统文化精神而修建的纪念性建筑物.某校为庆祝建党100周年，组织学生参观二七罢工纪念塔.同学们在参观过程中，对纪念塔的塔高产生了兴趣，为测量塔的高度，甲同学在二七广场 地测得纪念塔顶端 仰角为 ，乙同学在二七广场 地测得纪念塔顶端 的仰角为 ，塔底为 （ ， ， 在同一水平面上， 平面 ），量得 米， ，则纪念塔的高 （ ）
A. 米 B. 米 C. 40米 D. 63米
【答案】 D
【解析】如图，
设 米，由题意可得 米， 米，
在 中，由 ，
可得 .
故答案为：D
二、填空题
7.在 中， ， ， ，则 的面积为 .
【答案】
【解析】因为 ，可得 ，即 ，
联立方程组 ，可得 ，
因为 ，所以 ，
所以 的面积 .
故答案为： .
8.在平面凸四边形 中， 且 则 ．
【答案】 90
【解析】在 中，由余弦定理得 ，
，
则 ，
则在 中，由余弦定理得
，
又 ， .
故答案为：90 .
三、解答题
9.在中，角、、所对的边分别为、、 ， .
（1）求角的大小；
（2）若 ， ， 求的周长.
【答案】 （1）解：由得 ，
即 ，
， ， ， ， .
（2）解： ， .
当时， ， ， 则.
， ， 由正弦定理得 ， ， 则；
当时， ， 即.
， ， 即 ， ， 则.
综上可知的周长为.
【解析】(1)由已知条件结合同角三角函数的基本关系式和两角和的正弦公式，即可得出 ， 由角C的取值范围即可求出角C的大小。
(2)根据题意由两角和的正弦公式整理化简，即可求出cosB的取值，从而即可求出角B的大小，再由正弦定理计算出b的取值，并把结果代入到余弦定理计算出a的值，由此即可得出答案。
10.如图，在中， ， ， BC边的中垂线交BC于D，交AB于E，且.
（1）求的值；
（2）求的面积.
【答案】（1）解：如图，连接 ， 则 ，
在中，.
因为 ， 所以 ，
解得；
（2）由（1）可知 ，
则.
因为 ， 所以.
【解析】(1)根据题意由三角形中的几何计算关系，结合余弦定理以及同角三角函数的基本关系式，代入数值计算出结果即可。
(2)由(1)的结论结合三角形的面积公式，代入数值利用面积之间的关系计算出结果即可。第六章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
一、向量方法解决平面几何问题的步骤
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为 问题.
(2)通过 ，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.
(3)把运算结果“ ”成几何关系.
二、向量方法解决物理问题的步骤
用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
(1) ，即把物理问题转化为数学问题.
(2) ，即建立以向量为载体的数学模型.
(3) ，即求向量的模、夹角、数量积等.
(4) ，即把所得的数学结论回归到物理问题.
三、余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于
公式表达 a2＝ ， b2＝ ， c2＝
推论 cos A＝， cos B＝， cos C＝
四、余弦定理可以用于两类解三角形问题
1.已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角.
2.已知三角形的三边，求三角形的三个角.
五、解三角形
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的 .已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 .
六、正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等.
即＝＝.
七、正弦定理的变形公式
1.a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
2.sin A＝，sin B＝，sin C＝(其中R是△ABC外接圆的半径).
八、距离问题
类型 图形 方法
两点间不可到达的距离 余弦定理
两点间可视不可到达的距离 正弦定理
两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理， 再用余弦定理
九、高度问题
类型 简图 计算方法
底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C.
底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值.
点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值.
十、角度问题
测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解.
一、单选题
1.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 ， 则角C的最大值是（ ）
A. B. C. D.
2.在东京奥运会乒乓球男单颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和 ， 第一排和最后一排的距离为米（如图所示），则旗杆的高度为（ ）
A. 9米 B. 27米 C. 米 D. 米
3.已知 的角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ， ， ，则 （ ）
A. B. 2 C. D. 3
4.已知空间向量 满足 ， ，则 与 的夹角为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 以上都不对
5.在 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 ，则 最小内角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
6.二七罢工纪念塔位于郑州市二七广场，是为纪念京汉铁路工人大罢工中牺牲的烈士，发扬“二七”革命传统文化精神而修建的纪念性建筑物.某校为庆祝建党100周年，组织学生参观二七罢工纪念塔.同学们在参观过程中，对纪念塔的塔高产生了兴趣，为测量塔的高度，甲同学在二七广场 地测得纪念塔顶端 仰角为 ，乙同学在二七广场 地测得纪念塔顶端 的仰角为 ，塔底为 （ ， ， 在同一水平面上， 平面 ），量得 米， ，则纪念塔的高 （ ）
A. 米 B. 米 C. 40米 D. 63米
二、填空题
7.在 中， ， ， ，则 的面积为 .
8.在平面凸四边形 中， 且 则 ．
三、解答题
9.在中，角、、所对的边分别为、、 ， .
（1）求角的大小；
（2）若 ， ， 求的周长.
10.如图，在中， ， ， BC边的中垂线交BC于D，交AB于E，且.
（1）求的值；
（2）求的面积.
