第七章 复数
7.2 复数的四则运算
一、复数加法与减法的运算法则
1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则
(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)z1－z2＝ .
2.对任意z1，z2，z3∈C，有
(1)z1＋z2＝ ；
(2)(z1＋z2)＋z3＝ .
【答案】1.（2）(a－c)＋(b－d)i
2.（1）z2＋z1 （2）z1＋(z2＋z3)
二、复数加减法的几何意义
如图，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数 对应，向量与复数 对应.
【答案】z1＋z2 z1－z2
三、复数乘法的运算法则和运算律
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ .
2.复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝
结合律 (z1z2)z3＝
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝
【答案】1.(ac－bd)＋(ad＋bc)i
2.z2z1 z1(z2z3) z1z2＋z1z3
四、复数除法的法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数，
则＝＝ (c＋di≠0).
【答案】＋i
一、单选题
1．复数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】复数。
故答案为：A.
2．已知i是虚数单位，则复数 等于（ ）
A．2＋i B．2－i C．1－3i D．1＋3i
【答案】D
【解析】由题意，
故答案为：D
3．已知复数 满足 （ 是虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，得 ，所以 ，则 ，
故选C.
4．设a是实数，若复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点在直线x+y=0上，则a的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】因为，又复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点在直线x+y=0上，故，解得a=0．
5．复数z1=2-i，z2=1+2i，i为虚数单位，则z1· =（ ）
A．4-5i B．3i C．4-3i D．-5i
【答案】D
【解析】解：.
故答案为：D
6．若复数 ， ，则下列结论错误的是（ ）
A． 是实数 B． 是纯虚数
C． 是实数 D． 是纯虚数
【答案】B
【解析】 是实数； 不是纯虚数； 是实数； 是纯虚数，
故答案为：B.
二、填空题
7．已知复数（其中是虚数单位），则 .
【答案】
【解析】由已知条件可得。
故答案为：。
8．设为虚数单位，若复数，则的实部与虚部的和为 .
【答案】7
【解析】因为，因此，复数的实部与虚部之和为。
故答案为：7。
三、计算题
9.计算：(1)＋；
(2)(3＋2i)＋(－2)i；
(3)(1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|；
(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i).
【答案】(1)原式＝－i＝－i；
(2)(3＋2i)＋(－2)i＝3＋(2＋－2)i＝3＋i；
(3)(1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|＝1＋2i＋i－1＋5＝5＋3i；
(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i＝8＋2i.
四、解答题
10．已知z是复数，且 和 都是实数，其中i是虚数单位．
（1）求复数z和 ；
（2）若复数 在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：设 ，则 ，
为实数， ，即 ．
为实数，
，则 ；
所以 ，
（2）解：由（1）得，
依题意得 ，解得 ．
实数 的取值范围是
【解析】（1）利用已知条件结合复数的加减法运算法则和复数的乘除法运算法则，再结合 和 都是实数，从而结合复数为实数的判断方法，进而求出复数z，再利用复数求模公式，从而求出复数z的模。
（2）利用复数的加减法运算法则，从而得出复数 ，再利用复数的几何意义得出复数对应的点的坐标，再结合点的坐标确定出点所在的象限，再结合已知条件复数 在复平面内对应的点位于第三象限，从而求出实数m的取值范围。第七章 复数
7.2 复数的四则运算
一、复数加法与减法的运算法则
1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则
(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)z1－z2＝ .
2.对任意z1，z2，z3∈C，有
(1)z1＋z2＝ ；
(2)(z1＋z2)＋z3＝ .
二、复数加减法的几何意义
如图，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数 对应，向量与复数 对应.
三、复数乘法的运算法则和运算律
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ .
2.复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝
结合律 (z1z2)z3＝
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝
四、复数除法的法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数，
则＝＝ (c＋di≠0).
一、单选题
1．复数等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知i是虚数单位，则复数 等于（ ）
A．2＋i B．2－i C．1－3i D．1＋3i
3．已知复数 满足 （ 是虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
4．设a是实数，若复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点在直线x+y=0上，则a的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
5．复数z1=2-i，z2=1+2i，i为虚数单位，则z1· =（ ）
A．4-5i B．3i C．4-3i D．-5i
6．若复数 ， ，则下列结论错误的是（ ）
A． 是实数 B． 是纯虚数
C． 是实数 D． 是纯虚数
二、填空题
7．已知复数（其中是虚数单位），则 .
8．设为虚数单位，若复数，则的实部与虚部的和为 .
三、计算题
9.计算：(1)＋；
(2)(3＋2i)＋(－2)i；
(3)(1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|；
(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i).
四、解答题
10．已知z是复数，且 和 都是实数，其中i是虚数单位．
（1）求复数z和 ；
（2）若复数 在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．
