人教版八年级下册18.2.2菱形同步练习 （含解析）

2023年八年级下册 数学第十八章【同步测试】+【课后提升】
18.2.2菱形
同步测试阶段：
一、单选题
1．下列说法不正确的是（　　）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．一个角是直角的四边形是矩形
D．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
2．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
3．如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6.若过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为(　　)
A．4 B．2.4 C．4.8 D．5
4．下列说法正确的是(　　)
A．矩形的对角线垂直 B．菱形的对角线互相垂直
C．邻边相等的四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形
5．菱形的两条对角线的长分别是6和8 ，则这个菱形的周长是（　　）
A．24 B．20 C．10 D．25
二、填空题
6．如图所示，将两张等宽的长方形条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=4cm，∠ABC=30°，则四边形ABCD的面积是　 　cm2．
7．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长是　 　．
8．菱形的周长是20，一条对角线的长为6，则它的面积为　 　．
9．如图，菱形 的两条对角线相交于点O，若 ，则 　 　°．
10．如图，菱形的对角线、相于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为　 　．
三、解答题
11．如图，□ABCD中对角线BD平分∠ABC.
求证：□ABCD是菱形.
12．已知：直线l1与直线l2平行，且它们之间的距离为2，A、B是直线l1上的两个定点，C、D是直线l2上的两个动点（点C在点D的左侧），AB=CD=5，连接AC、BD、BC，将△ABC沿BC折叠得到△A1BC．
（Ⅰ）求四边形ABDC的面积．
（Ⅱ）当A1与D重合时，四边形ABDC是什么特殊四边形，为什么？
（Ⅲ）当A1与D不重合时：①连接A1、D，求证：A1D∥BC；②若以A1，B，C，D为顶点的四边形为矩形，且矩形的边长分别为a，b，求（a+b）2的值．
13．如图，D、E、F分别是 各边的中点，连接DE、EF， ，求证：四边形ADEF为菱形.
14．如图，在菱形ABCD中，E为AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于F.求证：AB与EF互相平分.
课后提升阶段：
一、单选题
1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是 (　　)
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．邻角互补
2．一个菱形的两条对角线的长分别为5和8，那么这个菱形的面积是（　　）
A．40 B．20 C．10 D．25
3．如图，在菱形 中， ， ，点 、 同时由 、 两点出发，分别沿 、 方向向点 匀速移动（到点 为止），点 的速度为 ，点 的速度为 ，经过 秒 为等边三角形，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则添加的下列条件中，不能判定平行四边形ABCD是菱形的是(　　)
A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2
5．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于点G，AG＝ cm，则GH的长为（　　）
A． cm B． cm C． cm D． cm
二、填空题
6．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和12cm，则这个菱形的面积是cm2　 　.
7．如图，在Rt ABC中 ， ， ，D为AB的中点， ，则四边形ADCE的周长为　 　．
8．如图， 是菱形 的对角线 上一点，过点 作 于点 . 若 ，则点 到边 的距离为　 　.
9．如图，在菱形 中，对角线 与 相交于点O， 交 于点E， ，则 的长为　 　 .
10．如图，在菱形ABCD中，AB=10，AC=12，则它的面积是　 　 .
三、解答题
11．如图，在菱形ABCD中，分别延长AB、AD到E、F，使得BE＝DF，连结EC、FC．
求证：EC＝FC．
12．已知，如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF∥BE，AC平分∠BAD．
求证：四边形ABCD为菱形．
13．如图，在四边形ABCD中，，对角线BD垂直平分对角线AC；垂足为点O．求证：四边形是菱形．
14．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）在BC上截取CF=CO，连接OF，若AC=16，BD=12，求四边形OFCD的面积．
同步测试答案：
1．【答案】C
【解析】【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形是正确的，故该选项不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形是正确的，故该选项不符合题意；
C、一个角是直角的四边形是矩形是错误的，故该选项符合题意；
D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形是正确的，故该选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理对A作判断；根据矩形的判定定理对BC作判断；根据菱形的判定定理对D作判断.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；
B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；
C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；
D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．
故选B．
【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
3．【答案】C
【解析】【解答】连接BD，交AC于O点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∴
∴
∵AC=6，
∴AO=3，
∴
∴DB=8，
∴菱形ABCD的面积是
∴BC AE=24，
故答案为：C.
【分析】连接BD，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO= AC，然后根据勾股定理计算出BO长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式BC AE= AC BD可得答案.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：A.矩形的对角线相等，不互相垂直，故本选项不符合题意；
B.菱形的对角线互相垂直，故本选项符合题意；
C.四边相等的四边形是菱形，邻边相等的四边形不是菱形，故本选项不符合题意；
D.对角线相等的四边形不一定是矩形，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】分别根据矩形的性质与判断、菱形的判断与性质对各选项进行逐一判断即可．
5．【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，BD=8，AC=6，
∴AC⊥BD，OA=OC=3，OD=OB=4，AB=BC=CD=AD，
在Rt△AOD中， ，
∴菱形ABCD的周长为：4×5=20，
故答案为：B．
【分析】先利用菱形的性质：对角线互相垂直且平分求出菱形的边长，再计算菱形的周长即可。
6．【答案】8
【解析】【解答】∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，
分别作CD，BC边上的高为AE，AF，如图所示：
∵两纸条相同，∴纸条宽度AE=AF．
∵平行四边形的面积为AE×CD=BC×AF，∴CD=BC．∴平行四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=4cm，
∵∠ABC=30°，∴AE= AB=2cm，∴S菱形ABCD=BC AE=4×2=8，
故答案为8．
【分析】作辅助线AE⊥BC，AF⊥CD，根据两线平行得出四边形ABCD是平行四边形，由于两个长方形同宽故AE=AF，而AE×CD=AF×BC，所以可判断平行四边形ABCD是菱形，结合内含30°的直角三角形的性质可算出AE，最后根据面积公式算出答案。
7．【答案】16
【解析】【解答】解：∵E，F分别是AD，BD的中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴AB=2EF=4，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=CD=DA=4，
∴菱形ABCD的周长=4×4=16．
故答案为16．
【分析】先利用三角形中位线性质得到AB=4，然后根据菱形的性质计算菱形ABCD的周长．本题考查了菱形的性质：菱形的四条边都相等．灵活应用三角形中位线性质是解决问题的关键．
8．【答案】24
【解析】【解答】解：∵菱形的周长是20
∴边长=5
∵一条对角线的长为6
∴另一条对角线的长为8
∴菱形的面积= ×6×8=24．
故答案为24．
【分析】根据菱形的性质可求得边长=5以及另一条对角线的长为8，再根据菱形的面积公式求出面积=为 ×6×8=24．
9．【答案】140
【解析】【解答】解：∵菱形 的两条对角线相交于点O，
∴∠AOD=90°，∠ADB=∠CDB,
∵ ，
∴∠ADB=180°-∠AOD-∠DAC=70°，
∴∠ADC=2∠ADB=140°，
故答案为：140°.
【分析】根据菱形的性质即可解答.
10．【答案】4
【解析】【解答】解：四边形ABCD是菱形，
，
，
，
，
，
菱形ABCD的面积 ，
，
，
故答案为：4．
【分析】先利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求出BD的长，再利用勾股定理求出AB的长，最后利用直角三角形斜边上中线的性质可得 。
11．【答案】证明：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，
∴∠2=∠3.
又∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴ AB =AD，
∴□ABCD是菱形.
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出 ∠2=∠3 ， BD平分∠ABC， 得出 ∠1=∠3， 进而得出AB =AD；根据菱形的判定定理，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可证出ABCD是菱形。
12．【答案】（Ⅰ）∵AB=CD=5，AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABDC的面积=2×5=10；
（Ⅱ）∵四边形ABDC是平行四边形，
∵A1与D重合时，
∴AC=CD，
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴四边形ABDC是菱形；
（Ⅲ）①连结A1D，如图所示，
∵△ABC沿BC折叠得到△A1BC，
∴CA1=CA=BD，AB=CD=A1B，
在△A1CD和△A1BD中
CA1=BD，CD=BA1，A1D=A1D，
∴△A1CD≌△A1BD（SSS），
∴∠3=∠4，
又∵∠1=∠CBA=∠2，
∴∠1+∠2=∠3+∠4，
∴∠1=∠4，
∴A1D∥BC；
②当∠CBD=90°，
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴∠BCA=90°，
∴S△A1CB=S△ABC= ×2×5=5，
∴S矩形A1CBD=10，即ab=10，
而BA1=BA=5，
∴a2+b2=25，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=45；
当∠BCD=90°时，
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴∠CBA=90°，
∴BC=2，
而CD=5，
∴（a+b）2=（2+5）2=49，
∴（a+b）2的值为45或49．
【解析】（Ⅰ）根据平行四边形的判定方法可得到四边形ABCD为平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式计算；
（Ⅱ）根据折叠的性质得到AC=CD，然后根据菱形的判定方法可判断四边形ABDC是菱形；
（Ⅲ）①连结A1D，根据折叠性质和平行四边形的性质得到CA1=CA=BD，AB=CD=A1B，∠1=∠CBA=∠2，可证明△A1CD≌△A1BD，则∠3=∠4，然后利用三角形内角和定理得到得到∠1=∠4，则根据平行线的判定得到A1D∥BC；②讨论：
当∠CBD=90°，则∠BCA=90°，由于S△A1CB=S△ABC=5，则S矩形A1CBD=10，即ab=10，由BA1=BA=5，根据勾股定理得到a2+b2=25，然后根据完全平方公式进行计算；当∠BCD=90°，则∠CBA=90°，易得BC=2，而CD=5，
所以（a+b）2=（2+5）2．
13．【答案】证明：∵D、E、F为AB、BC、AC的中点，
∴DE、EF是 的中位线，
∴ ， ，
∴四边形ADEF为平行四边形.
∵DE、EF是 的中位线，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴四边形ADEF是菱形.
【解析】【分析】由题意可得DE、EF是△ABC的中位线，则DE∥AC、EF∥AB、DE=AC、EF=AB，推出四边形ADEF为平行四边形，DE=EF，然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明.
14．【答案】证明：连接BD，AF，BE，
在菱形ABCD中，AC⊥BD
∵EF⊥AC，
∴EF∥BD，又ED∥FB，
∴四边形EDBF是平行四边形，DE=BF，
∵E为AD的中点，
∴AE=ED，∴AE=BF，
又AE∥BF，
∴四边形AEBF为平行四边形，
即AB与EF互相平分．
【解析】【分析】由菱形的性质可证AC⊥BD，又已知EF⊥AC，所以AG=BG，GE=BD，AD∥BC，可证四边形EDBF为平行四边形，可证GE=GF，即证结论．
课后提升答案：
1．【答案】B
【解析】矩形的对角线平分相等，菱形的对角线平分垂直，它们的邻角都互补。
故选B
2．【答案】B
【解析】【解答】菱形的面积为5×8÷2=20.
故答案为：B.
【分析】根据菱形的面积=对角线之积的一半，可知菱形的面积
3．【答案】D
【解析】【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，
∴AB=AD，∠ADB= ∠ADC=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
又∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF=∠DEF=60°，
又∵∠ADB=60°，
∴∠ADE=∠BDF，
在△ADE和△BDF中，
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴AE=BF，
∵AE=t，CF=2t，
∴BF=BC CF=5 2t，
∴t=5 2t
∴t= ，
故答案为：D.
【分析】连接BD，证明△ADE≌△BDF（ASA），可得AE=BF，由于AE=t，CF=2t，可得BF=BC CF
=5 2t，由AE=BF列出方程，求出t值即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】因为对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以A能够判定 ABCD是菱形；因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以B能够判定 ABCD是菱形；因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以C不能够判定 ABCD是菱形；因为∠1=∠2，OB=OD，所以AB=AD，所以D能够判定 ABCD是菱形，故答案为：C.
【分析】根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形是菱形逐一判断即可.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，
∴AO＝4cm，BO＝3cm，
在Rt△AOB中，AB＝ ＝5cm，
∵ BD×AC＝AB×DH，
∴DH＝ cm，
在Rt△DHB中，BH＝ ＝ cm，
则AH＝AB﹣BH＝ cm，
∴GH＝ ＝ ＝ cm．
故答案为：B．
【分析】菱形的面积即可表示为底乘高，也可表示成两条对角线积的一半，从而可求出DH长。利用勾股定理可求出BH长，继而可求出AH长。在直角三角形AGH中，利用勾股定理即可求出GH长。
6．【答案】30
【解析】【解答】菱形的面积= ×5×12=30(cm2).
故答案为：30.
【分析】菱形的面积等于对角线成积的一半；或者底乘高.
7．【答案】20
【解析】【解答】解：∵ ，
∴四边形ADCE为平行四边形，
又∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴ ，
∴平行四边形 为菱形，
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，AD=5，
∴菱形ADCE的周长为20．
故答案为：20.
【分析】先证明平行四边形ADCE为菱形，再求出AD=5，最后利用菱形的周长公式计算即可。
8．【答案】4
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，BD为其对角线
∴∠ABD=∠CBD，即BD为角平分线
∴点E到边AB的距离等于EF，即为4.
【分析】首先根据菱形的性质，可得出∠ABD=∠CBD，然后根据角平分线的性质，即可得解.
9．【答案】2
【解析】【解答】解：∵ ，AO＝CO，
∴OE是△ABC的中位线，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝4cm，
∴OE＝2cm.
故答案为：2.
【分析】根据 ，AO＝CO，求出OE是△ABC的中位线，再根据菱形的性质求出AB的长度，然后根据三角形中位线定理，即可求出OE长.
10．【答案】96
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AC=12，
∴AO=6，
∵AB=10，
∴BO==8，
∴BD=16，
∴菱形的面积S=AC BD=×16×12=96．
故答案为：96．
【分析】首先根据勾股定理可求出BO的长，进而求出BD的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
11．【答案】证明：∵ 四边形ABCD是菱形∴ BC＝DC ，∠ABC＝∠ADC∴ 180°－∠ABC＝180°－∠ADC，∴ ∠EBC＝∠FDC∴ △EBC≌△FDC∴ EC＝FC
【解析】【分析】根据菱形的性质得出 BC＝DC ，∠ABC＝∠ADC ，根据等角的补角相等得出∠EBC＝∠FDC ，然后利用SAS判断出 △EBC≌△FDC ，根据全等三角形的对应边相等即可得出 EC＝FC。
12．【答案】证明：∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，∵DF∥BE，∴∠DFA=∠BEC，∴∠AEB=∠CFD，在△AEB和△CFD中，，∴△AEB≌△CFD（ASA），∴AB=CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAF，∵∠BAE=∠DCF，∴∠DAF=∠DCF，∴AD=CD，∴四边形ABCD是菱形．
【解析】【解答】首先证得△ABE≌△CDF，得到AB=CD，从而得到四边形ABCD是平行四边形，然后证得AD=CD，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行证明即可．
【分析】此题考查了菱形的判定和平行四边形的性质以及全等三角形的性质等。
13．【答案】证明：∵BD是AC的垂直平分线，
∴BA= BC， AO= OC， BO⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵ AD // BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB= AD，
∴AD= BC，
∵ AD // BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形．
【解析】【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，再结合BD⊥AC，即可得到四边形ABCD是菱形。
14．【答案】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∴四边形OCED为矩形；
（2）解：作FH⊥OC于点H，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OD=OB=BD=6，OA=OC=AC=8，
∴S△DOC==24，
在Rt△OBC中，BC==10，sin∠OCB==，
在Rt△CFH中，CF=CO=4，sin∠HCF==，
∴FH=CF=，
∴S△OCF==，
∴S四边形OFCD=S△DOC+S△OCF=．
【解析】【分析】（1）先证明四边形OCED为平行四边形，再由菱形的性质得出∠DOC=90°，即可得出结论；
（2）作FH⊥OC于点H，先求出△DOC的面积，由勾股定理求出BC，根据三角函数求出FH，求出△OCF的面积，S四边形OFCD=S△DOC+S△OCF，即可得出结果．