18.2.2 菱形（实例均为2013中考教师讲解典型题）课件
文档属性
| 名称 | 18.2.2 菱形（实例均为2013中考教师讲解典型题）课件 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 670.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-03-16 23:47:02 | ||
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文档简介
课件21张PPT。菱形(第2课时) 1.理解菱形的判定.(重点)
2.会用菱形的性质和判定定理进行计算或证明.(重点、难点)菱形的判定
判定定理的推导：
如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O.【思考】1.如果四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，那么△AOD与△AOB有什么关系？为什么？
提示：△AOD≌△AOB.
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB，∵AC⊥BD，∴∠AOB=∠AOD=90°，又∵OA=OA，∴△AOD≌△AOB(SAS).2.在上述条件下，四边形ABCD是菱形吗？为什么？
提示：四边形ABCD是菱形.理由：∵△AOD≌△AOB，∴AD=AB，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是菱形.
3.如果AB=BC=CD=DA，那么四边形ABCD是菱形吗？为什么？
提示：四边形ABCD是菱形.理由：∵AB=CD，BC=DA，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形.【总结】菱形的判定定理：
(1)对角线_________的平行四边形是菱形.
(2)___________的四边形是菱形.互相垂直四条边相等 (打“√”或“×”)
(1)对角线相等的四边形是菱形.( )
(2)对角线互相垂直的四边形是菱形.( )
(3)对角线相等的平行四边形是菱形.( )
(4)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.( )
(5)对角线互相平分且垂直的四边形是菱形.( )×××√√知识点 菱形的判定
【例】(2013·常州中考)如图，在△ABC中，
AB=AC，∠B=60°，∠FAC，∠ECA是△ABC
的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．
求证：四边形ABCD是菱形．
【思路点拨】根据平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再利用菱形的判定定理得出结论.【自主解答】∵∠B=60°，AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，∴AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC=60°，∠FAC=∠ACE=120°，
∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠B=∠D=60°，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形.【总结提升】菱形的常用判定方法
注：因菱形的特殊性在边和对角线上，因此不论是菱形的性质还是判定，一般是从“边”和“对角线”的角度解题.题组：菱形的判定
1.如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是( )
A.AB＝CD B.AD＝BC C.AB＝BC D.AC＝BD
【解析】选C．因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是AB=BC．2.如图，在?ABCD中，AE，CF分别是∠BAD
和∠BCD的平分线，添加一个条件,仍无法
判断四边形AECF为菱形的是( )
A.AE=AF B.EF⊥AC
C.∠B=60° D.AC是∠EAF的平分线
【解析】选C.由题意易证四边形AECF是平行四边形，再由菱形的判定方法知A,B选项都可判定四边形AECF是菱形;而D选项中AC是∠EAF的平分线易证AE=EC,故也能判定四边形AECF是菱形;C选项不能判定四边形AECF是菱形.3.(2013·泰州中考)对角线互相______的平行四边形是菱形．
【解析】对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
答案：垂直4.如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD=_________°．【解析】∵CD与BE互相垂直平分，
∴四边形BDEC是菱形，
∴DB=DE，CF=DF.
∵∠BDE=70°，
∵AD⊥DB，∴∠BAD=90°-55°=35°.
∵AB垂直平分CD.
∴AC=AD，∴∠FAC=∠FAD=35°，∴∠CAD=70°．
答案：705.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE
∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是菱形．
【证明】∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD,
∴四边形OCED是菱形.6.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．求证：四边形AEDF是菱形．
【证明】∵点D,E，F分别是BC，AB，AC的中点，
∴DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形.
又∵AD⊥BC，BD=CD，∴AB=AC,∴AE=AF,
∴平行四边形AEDF是菱形.7.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂直平分线分别与AD,BC相交于点E,F，连接AF.
求证：AE=AF.【证明】连接CE.∵AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，
又∵AO=CO，
∴△AEO ≌△CFO(AAS),
∴AE=CF,∴四边形AECF是平行四边形.
又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形,
∴AE=AF.【想一想错在哪？】如图所示，在?ABCD中，∠BAD的平分线与
BC边相交于点E，∠ABC的平分线与AD边相交于点F，AE与BF相交于点O，求证：四边形ABEF是菱形.提示：本题错在说明四边形ABEF是菱形时，由对角线互相垂直就直接判定四边形ABEF是菱形，而忽略了“平行四边形”这一前提条件.
2.会用菱形的性质和判定定理进行计算或证明.(重点、难点)菱形的判定
判定定理的推导：
如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O.【思考】1.如果四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，那么△AOD与△AOB有什么关系？为什么？
提示：△AOD≌△AOB.
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB，∵AC⊥BD，∴∠AOB=∠AOD=90°，又∵OA=OA，∴△AOD≌△AOB(SAS).2.在上述条件下，四边形ABCD是菱形吗？为什么？
提示：四边形ABCD是菱形.理由：∵△AOD≌△AOB，∴AD=AB，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是菱形.
3.如果AB=BC=CD=DA，那么四边形ABCD是菱形吗？为什么？
提示：四边形ABCD是菱形.理由：∵AB=CD，BC=DA，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形.【总结】菱形的判定定理：
(1)对角线_________的平行四边形是菱形.
(2)___________的四边形是菱形.互相垂直四条边相等 (打“√”或“×”)
(1)对角线相等的四边形是菱形.( )
(2)对角线互相垂直的四边形是菱形.( )
(3)对角线相等的平行四边形是菱形.( )
(4)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.( )
(5)对角线互相平分且垂直的四边形是菱形.( )×××√√知识点 菱形的判定
【例】(2013·常州中考)如图，在△ABC中，
AB=AC，∠B=60°，∠FAC，∠ECA是△ABC
的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．
求证：四边形ABCD是菱形．
【思路点拨】根据平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再利用菱形的判定定理得出结论.【自主解答】∵∠B=60°，AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，∴AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC=60°，∠FAC=∠ACE=120°，
∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠B=∠D=60°，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形.【总结提升】菱形的常用判定方法
注：因菱形的特殊性在边和对角线上，因此不论是菱形的性质还是判定，一般是从“边”和“对角线”的角度解题.题组：菱形的判定
1.如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是( )
A.AB＝CD B.AD＝BC C.AB＝BC D.AC＝BD
【解析】选C．因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是AB=BC．2.如图，在?ABCD中，AE，CF分别是∠BAD
和∠BCD的平分线，添加一个条件,仍无法
判断四边形AECF为菱形的是( )
A.AE=AF B.EF⊥AC
C.∠B=60° D.AC是∠EAF的平分线
【解析】选C.由题意易证四边形AECF是平行四边形，再由菱形的判定方法知A,B选项都可判定四边形AECF是菱形;而D选项中AC是∠EAF的平分线易证AE=EC,故也能判定四边形AECF是菱形;C选项不能判定四边形AECF是菱形.3.(2013·泰州中考)对角线互相______的平行四边形是菱形．
【解析】对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
答案：垂直4.如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD=_________°．【解析】∵CD与BE互相垂直平分，
∴四边形BDEC是菱形，
∴DB=DE，CF=DF.
∵∠BDE=70°，
∵AD⊥DB，∴∠BAD=90°-55°=35°.
∵AB垂直平分CD.
∴AC=AD，∴∠FAC=∠FAD=35°，∴∠CAD=70°．
答案：705.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE
∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是菱形．
【证明】∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD,
∴四边形OCED是菱形.6.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．求证：四边形AEDF是菱形．
【证明】∵点D,E，F分别是BC，AB，AC的中点，
∴DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形.
又∵AD⊥BC，BD=CD，∴AB=AC,∴AE=AF,
∴平行四边形AEDF是菱形.7.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂直平分线分别与AD,BC相交于点E,F，连接AF.
求证：AE=AF.【证明】连接CE.∵AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，
又∵AO=CO，
∴△AEO ≌△CFO(AAS),
∴AE=CF,∴四边形AECF是平行四边形.
又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形,
∴AE=AF.【想一想错在哪？】如图所示，在?ABCD中，∠BAD的平分线与
BC边相交于点E，∠ABC的平分线与AD边相交于点F，AE与BF相交于点O，求证：四边形ABEF是菱形.提示：本题错在说明四边形ABEF是菱形时，由对角线互相垂直就直接判定四边形ABEF是菱形，而忽略了“平行四边形”这一前提条件.