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一、选择题
1．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有
( )．
①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°
②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形
③∠A的外角与∠C的外角互补
④∠A∶∠B∶∠C∶∠D的比可以是1∶2∶3∶4
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析 由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确，②④错误．
答案 B
2．如图所示，分别延长圆内接四边形ABCD两组对边相交于E和F两点，如果∠E＝30°，∠F＝50°，那么∠A为
( )．
A．55° B．50°
C．45° D．40°
解析 由∠A＋∠ADC＋∠E＝180°，∠A＋∠ABC＋∠F＝180°，∠ADC＋∠ABC＝180°，
∴∠A＝(180°－∠E－∠F)＝50°.
答案 B
3．圆内接平行四边形一定是
( )．
A．正方形 B．菱形
C．等腰梯形 D．矩形
解析 由于圆内接四边形对角互补，平行四边形的对角相等，所以圆内接平行四边形的各角均为直角，故为矩形．
答案 D
4．如图所示，已知在圆内接四边形ABCD中，BA和CD的延长线交于点P，AC和BD相交于点E，则图中共有相似三角形
( )．
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
解析 由圆周角和圆内接四边形的性质可以判定：
△ABE∽△DCE，△ADE∽△BCE，△PAC∽△PDB，△PAD∽△PCB.
答案 B
二、填空题
5．若BE和CF是△ABC的边AC和AB边上的高，则________四点共圆．
解析 由∠BEC＝∠BFC＝90°，知△BCE和△BCF共圆．
答案 B、C、E、F
6．若圆内接四边形中三个相邻的内角比为5∶6∶4，则这个四边形中最大的内角为______，最小的内角为______．
解析 四边形ABCD内接于圆且三个相邻内角比为5∶6∶4，故四个角之比一定为5∶6∶4∶3，从而最大角为360°×＝120°，最小角为360°×＝60°.
答案 120° 60°
7．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝60°，则∠BAD＝________，∠BCD＝________.
解析 由∠A＝∠BOD＝30°，∠BCD＝180°－∠A＝150°.
答案 30° 150°
8．若两条直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0，(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数a＝________.
解析 由圆内接四边形的性质，知(a＋2)(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0，整理得a2＝1，∴a＝±1.
答案 1或－1
三、解答题
9．试说明矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．
证明 ∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，又AC＝DB，
∴OA＝OC＝OB＝OD.
则点A、B、C、D到点O的距离相等，
∴A、B、C、D这四个点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上．
10．如图所示，AB、CD都是圆的弦，且AB∥CD，F为圆上一点，延长FD、AB交于点E.
求证：AE·AC＝AF·DE.
证明 连接BD，因为AB∥CD，所以BD＝AC.
因为A、B、D、F四点共圆，所以∠EBD＝∠F.
因为∠E为△EBD和△EFA的公共角，
所以△EBD∽△EFA.
所以＝.
所以＝，
即AE·AC＝AF·DE.
11．(拓展深化)如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.
(1)证明：B、D、H、E四点共圆；
(2)证明：CE平分∠DEF.
证明 (1)在△ABC中，因为∠B＝60°，
所以∠BAC＋∠BCA＝120°.
因为AD，CE是角平分线，
所以∠HAC＋∠HCA＝60°，
故∠AHC＝120°.
于是∠EHD＝∠AHC＝120°.
因为∠EBD＋∠EHD＝180°，
所以B、D、H、E四点共圆．
(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，
得∠HBD＝30°.
由(1)知B、D、H、E四点共圆．
所以∠CED＝∠HBD＝30°.
又∵∠AHE＝∠EBD＝60°，
由已知可得EF⊥AD，
可得∠CEF＝30°，
所以CE平分∠DEF.
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模块检测
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的)
1．如图所示，AB∥CD∥EF，则图中的相似三角形共有
( )．
A．2对 B．3对
C．4对 D．5对
答案 B
2．如图所示，在△ABC中，AH⊥BC于H，E是AB的中点，EF⊥BC于F，若HC＝BH，则FC∶BF等于
( )．
A. B.
C. D.
解析 由AH⊥BC，EF⊥BC知EF∥AH，又∵AE＝EB，
∴BF＝FH，∴HC＝BH＝BF，∴FC＝BF.
答案 D
3．如图所示，AB∥GH∥CD，AB＝2，CD＝3，则GH的长是
( )．
A．2.5 B.
C. D.
解析 ∵AB∥GH，∴＝，
∵GH∥CD，∴＝，
∴＋＝＋＝1，∴GH＝.
答案 C
4．若一个直角三角形的一条直角边为3 cm，斜边上的高为2.4 cm，则这个直角三角形的面积为
( )．
A．7.2 cm2 B．6 cm2
C．12 cm2 D．24 cm2
解析 长为3 cm的直角边在斜边上的射影为＝1.8 (cm)，故由射影定理知斜边长为＝5 (cm)，∴三角形的面积为×5×2.4＝6 (cm2)．
答案 B
5．如图所示，PA为⊙O的直径，PC为⊙O的弦，过的中点H作PC的垂线交PC的延长线于点B.若HB＝6，BC＝4，则⊙O的直径为
( )．
A．10 B．13 C．15 D．20
解析 连结PH、HC.∵H为中点，
∴＝，AH＝HC＝＝2.
∵四边形APCH为⊙O的内接四边形，
∴∠A＝∠BCH，
∴＝cos∠A＝cos∠BCH＝＝＝，
∴直径AP＝AH＝13.
答案 B
6．如图所示，AC切⊙O于D，AO的延长线交⊙O于B，且AB⊥BC，若AD∶AC＝1∶2，则AO∶OB＝ ( )．
A．2∶1 B．1∶1
C．1∶2 D．1∶1.5
解析 如图所示，连接OD、OC，则OD⊥AC.
∵AB⊥BC，∴∠ODC＝∠OBC＝90°.
∵OB＝OD，OC＝OC，BC＝DC，
∵＝，∴AD＝DC.
∴BC＝AC.又OB⊥BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝30°.
∴OB＝OD＝AO.∴＝.
答案 A
7．如图所示，CD切⊙O于B，CO的延长线交⊙O于A，若∠C＝36°，则∠ABD的度数是
( )．
A．72° B．63°
C．54° D．36°
解析 连结OB.∵CD为⊙O的切线，∴∠OBC＝90°.
∵∠C＝36°，∴∠BOC＝54°.
又∵∠BOC＝2∠A，∴∠A＝27°.
∴∠ABD＝∠A＋∠C＝27°＋36°＝63°.
答案 B
8．如图，AB为⊙O直径，MN切⊙O于C，AC＝BC，则sin∠MCA＝
( )．
A. B.
C. D.
解析 连接OC，
∵MN切⊙O于C，
∴OC⊥MN，
∴∠MCA＋∠ACO＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠CAO，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠CAO＋∠B＝90°，∴∠MCA＝∠B，
∵AC＝BC，即BC＝2AC，
∴AB＝＝＝AC，
∴sin∠B＝＝＝，∴sin∠MCA＝.
答案 D
9．如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于
( )．
A．120° B．136°
C．144° D．150°
解析 由圆内接四边形性质知∠A＝∠DCE，而∠BCD∶∠ECD＝3∶2，且∠BCD＋∠ECD＝180°，∠ECD＝72°，
∴∠A＝72°.又由圆周角定理知∠BOD＝2∠A＝144°.
答案 C
10．如图所示，AB为⊙O直径，CD切⊙O于D，AB延长线交CD于点C，若∠CAD＝25°，则∠C为
( )．
A．45° B．40°
C．35° D．30°
解析 连结BD，∵AB为直径，
∴∠BDA＝90°.
又∵CD为⊙O切线，切点为D，由弦切角定理知∠BDC＝∠CAD＝25°.
∴∠CDA＝90°＋25°＝115°，
在△ACD中，∠C＝180°－∠A－∠CDA＝180°－25°－115°＝40°.
答案 B
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填在题中横线上)
11．在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AE∶EB＝1∶2，DE与AC交于点F，若△AEF的面积为6 cm2，则△ABC的面积为______ cm2.
解析 如图，作CG⊥AB、FH⊥AB，
∵△AFE∽△CFD，
AE∶EB＝1∶2，
∴＝＝，
又∵△AHF∽△AGC，∴＝＝，
∴＝＝·＝.
∴S△ABC＝72 cm2.
答案 72
12．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若PB＝1，PD＝3，则的值为________．
解析 根据题意知∠PCB＝∠PAD，三角形PCB和PAD有公共角P，故△PCB∽△PAD，所以＝＝.
答案
13．如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的面积等于________．
解析 连接OA，OB，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，知∠AOB＝2∠ACB＝90°，在Rt△OAB中，得OA＝2，即r＝2，∴S＝πr2＝8π.
答案 8π
14．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.
解析 连接BD、DE，由题意可知DE⊥AB，DE＝a，即BC＝DE＝a，∴BD＝ ＝a，∴EF＝BD＝.
答案
15．如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，AD∶BC＝1∶2，AB＝35，PD＝40，则过点P的⊙O的切线长是________．
解析 由圆内接四边形的性质定理，可得△PAD∽△PCB.∴＝．∴＝，即＝，解得PA＝45.若设过点P的⊙O的切线长为x，则x2＝PA·PB＝45×80，∴x＝60.
答案 60
16．如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，BC边上切点为D，AB＝5，BC＝7，AC＝6，则BD＝________.
解析 设E、F分别为AC、AB边上的切点，设BD＝x，则CD＝CE＝7－x，AF＝AE＝6－(7－x)＝x－1，BF＝x，∴x－1＋x＝AB＝5，∴x＝3.
答案 3
三、解答题(本大题共5小题，共56分，解答时对应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)如图所示，圆内的两条弦AB、CD相交于圆内一点P，已知PA＝PB＝4，PC＝PD.求CD的长．
解 设CD＝x，则PD＝x，PC＝x.
由相交弦定理，得PA·PB＝PC·PD，
∴4×4＝x·x，x＝10.
∴CD＝10.
18．(10分)如图，已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是∠ACB的平分线交AE于点F，交AB于D点．
(1)求∠ADF的度数；
(2)AB＝AC，求AC∶BC.
解 (1)∵AC为圆O的切线，∴∠B＝∠EAC.
又知DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠DCB.
∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD
即∠ADF＝∠AFD，又因为BE为圆O的直径，
∴∠DAE＝90°，∴∠ADF＝(180°－∠DAE)＝45°.
(2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴＝，又∵AB＝AC，∠ADF＝45°，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
∴在Rt△ABE中，＝＝tan∠B＝tan 30°＝.
19．(12分)如图所示，在△ABC中，BC＝2，BC边上的高AD＝1，P是BC边上任一点，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F，则P点在什么位置时，△PEF的面积最大，最大值是多少？
解 如图所示，作EM⊥BC于M，FN⊥BC于N，设BP＝x.
∵PF∥AC，
∴△BPF∽△BCA，
∴＝，∴FN＝x.
同理△PCE∽△BCA，EM＝(2－x)．
∴S△PEF＝S AEPF＝(S△ABC－S△BFP－S△PEC)
＝
＝－x2＋x＝－(x－1)2＋ (0∴当x＝1时，即BP＝1时，S△PEF最大，最大值为.
20．(12分)如图所示，E是⊙O内两弦AB和CD的交点，直线EF∥CB，交AD的延长线于F，FG切⊙O于G.求证：
(1)△DFE∽△EFA；
(2)EF＝FG.
证明 (1)∵EF∥CB，
∴∠DEF＝∠DCB.
∵∠DCB和∠DAB都是上的圆周角，
∴∠DAB＝∠DCB＝∠DEF.
∵∠DFE＝∠EFA，∴△DFE∽△EFA.
(2)由(1)知△DFE∽△EFA，
∴＝，即EF2＝FA·FD.
∵FG是⊙O的切线，∴FG2＝FA·FD.
∴FG2＝EF2，即FG＝EF.
21．(12分)如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，CD∥AP，AD与BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.
(1)求证：∠P＝∠EDF；
(2)求证：CE·EB＝EF·EP；
(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的长．
(1)证明 ∵DE2＝EF·EC，∴DE∶CE＝EF∶ED.
∵∠DEF是公共角，∴△DEF∽△CED.
∴∠EDF＝∠C.
∵CD∥AP，∴∠C＝∠P.
∴∠P＝∠EDF.
(2)证明 ∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，
∴△DEF∽△PEA.
∴DE∶PE＝EF∶EA.即EF·EP＝DE·EA.
∵AD、BC相交于点E，
∴DE·EA＝CE·EB.∴CE·EB＝EF·EP.
(3)解 ∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，∴EC＝9.
∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6.
∵CE·EB＝EF·EP，∴9×6＝4×EP.
解得：EP＝.
∴PB＝PE－BE＝，PC＝PE＋EC＝.
由切割线定理得：PA2＝PB·PC，
∴PA2＝×，
∴PA＝.
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(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的)
1．如图所示，已知⊙O的半径为5，两弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB＝8，CE∶ED＝4∶9，则圆心到弦CD的距离为
( )．
A. B.
C. D.
解析 过O作OH⊥CD，连接OD，则DH＝CD，由相交弦定理知AE·BE＝CE·DE，而AE＝EB＝4.可设CE＝4x，则DE＝9x，所以4×4＝4x×9x，解得x＝，
即OH＝＝ ＝.
答案 A
2．如图所示，圆内接四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线相交于点P，对角线AC、BD相交于点Q，则图中相似三角形共有
( )．
A．4对 B．2对 C．5对 D．3对
解析 由∠PAC＝∠PBD，可知△PAC∽△PBD，
又∵∠ADB＝∠ACB，∴△AQD∽△BQC.
又由割线定理得PD·PA＝PC·PB，
且∠P＝∠P，∴△PAB∽△PCD.
又∵∠BAQ＝∠CDQ，∠BQA＝∠DQC，
∴△AQB∽△DQC.∴总共有4对相似三角形．
答案 A
3．如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，若∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于
( )．
A．120° B．136°
C．144° D．150°
解析 要求圆心角∠BOD的度数，需求圆周角∠A的度数，由圆的内接四边形的性质知：∠A＝∠DCE，即求出∠ECD的度数．而∠BCD∶∠ECD＝3∶2，可求出∠ECD＝72°，即∠A＝72°，故∠BOD＝2∠A＝144°.
答案 C
4．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10 cm，AP∶PB＝1∶5，那么⊙O的半径是
( )．
A．5 cm B．4 cm
C．3 cm D．2 cm
解析 观察图形与分析已知条件可利用垂径定理来解．连接OC，则CP＝CD＝5 cm，设AP＝x，则PB＝5x，OC＝3x，OP＝2x，在Rt△OCP中，OC2＝CP2＋OP2，即(3x)2＝52＋(2x)2，解得x＝，故OC＝3x＝3 cm.
答案 C
5．如图所示，在圆的内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是
( )．
A．4 B．5
C．6 D．7
解析 ∠DCF＝∠DAC，∠DCF＝∠BAC，
∠DCF＝∠BCE，∠DCF＝∠BDC，∠DCF＝∠DBC.
答案 B
6．如图所示，⊙O的两条弦AD和CB相交于点E，AC和BD的延长线相交于点P，下面结论：①PA·PC＝PD·PB；②PC·CA＝PB·BD；③CE·CD＝BE·BA；④PA·CD＝PD·AB.
其中正确的有
( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析 根据割线定理知①式正确，②③④不正确．
答案 A
7．如图所示，已知O是圆心，直径AB和弦CD相交于点P，PA＝2，PC＝6，PD＝4，则AB等于
( )．
A．3 B．8 C．12 D．14
解析 要求AB的长，需求出PB的长，由相交弦定理知：PA·PB＝PC·PD，解得PB＝＝＝12，故AB＝PA＋PB＝14.
答案 D
8．如图，锐角三形ABC内接于⊙O，∠ABC＝60°，∠BAC＝40°，作OE⊥AB交劣弧于点E，连接EC，则∠OEC＝( )．
A．5° B．10°
C．15° D．20°
解析 连接OC.∵∠ABC＝60°，∠BAC＝40°，∴∠ACB＝80°.∵OE⊥AB，∴E为的中点．∴、和的度数均为80°.∴∠EOC＝80°＋80°＝160°.∴∠OEC＝10°.
答案 B
9．如图所示，PA切圆于A，PA＝8，直线PCB交圆于C、B，连接AB、AC，且PC＝4，AD⊥BC于D，∠ABC＝α，∠ACB＝β，则的值等于
( )．
A. B. C．2 D．4
解析 要求，注意到sin α＝，sin β＝，
即＝，又△PAC∽△PBA，得＝＝＝.
答案 B
10．如图，AT切⊙O于T，若AT＝6，AE＝3，AD＝4， DE＝2，则BC等于
( )．
A．3 B．4 C．6 D．8
解析 ∵AT为⊙O的切线，
∴AT2＝AD·AC.
∵AT＝6，AD＝4，∴AC＝9.
∵∠ADE＝∠B，∠EAD＝∠CAB，
∴△EAD∽△CAB，即＝，
∴BC＝＝＝6.
答案 C
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分，将正确答案填在横线上)
11．如图所示，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB，D为垂足，AB＝8，若BD＝3AD，则CD＝________.
解析 连接AC，BC，
∵AB为⊙O的直径，
C为⊙O上一点，
∴∠ACB＝90°.又∵CD⊥AB，D为垂足，
由射影定理得CD2＝AD·BD.
又∵AB＝8＝AD＋DB，BD＝3AD，
∴AD＝2，BD＝6.故CD2＝2×6＝12，∴CD＝2.
答案 2
12．如图所示，PA是⊙O的切线，切点为A，PA＝2.AC是⊙O的直径，PC与⊙O交于点B，PB＝1，则⊙O的半径r＝________.
解析 依题意，△PBA∽△ABC，所以＝，即r＝＝＝.
答案
13．已知⊙O和⊙O内一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若PA·PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_____________．
解析 如图所示，延长OP分别交⊙O于C、D两点．
不妨设该圆的半径为r，则有PC＝OC－OP＝r－5，PD＝OP＋OD＝r＋5，
∴PA·PB＝PC·PD，
∴r2－25＝24，∴r＝7.
答案 7
14．(2012·广东高考)如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作图O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________.
解析 连结OA，由圆周角定理得∠AOC＝60°，又由切线的性质得OA⊥PA，在Rt△POA中，PA＝OA·tan∠AOC＝.
答案
15．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若＝，＝，则的值为______．
解析 由题意可知△PBC∽△PDA，于是由＝＝，得＝＝＝.
答案
16．如图，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点C，AD⊥CE于D，若AD＝1，∠ABC＝30°，则圆O的面积是________．
解析 ∵在⊙O中，∠ACD＝∠ABC＝30°，且在Rt△ACD中，AD＝1，∴AC＝2，AB＝4，
又∵AB是⊙O的直径，∴⊙O的半径为2，∴圆O的面积为4π.
答案 4π
三、解答题(本大题共5小题，共56分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)如图，PT切⊙O于T，PAB、PDC是圆O的两条割线，PA＝3，PD＝4，PT＝6，AD＝2，求弦CD的长和弦BC的长．
解 由已知可得PT2＝PA·PB，
且PT＝6，PA＝3，∴PB＝12.
同理可得PC＝9，∴CD＝5.
∵PD·PC＝PA·PB，∴＝，
∴△PDA∽△PBC，
∴＝ ＝，∴BC＝6.
18．(10分)如图，已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是∠ACB的平分线交AE于点F，交AB于D点．
(1)求∠ADF的度数；
(2)AB＝AC，求AC∶BC.
解 (1)∵AC为圆O的切线，∴∠B＝∠EAC.
又知DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠DCB.
∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD
即∠ADF＝∠AFD，又因为BE为圆O的直径，
∴∠DAE＝90°，∴∠ADF＝(180°－∠DAE)＝45°.
(2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴＝，又∵AB＝AC，∠ADF＝45°，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
∴在Rt△ABE中，＝＝tan∠B＝tan 30°＝.
19．(12分)如图所示，在△ABC中，I为△ABC的内心，AI交BC于D，交△ABC外接圆于E.
求证：(1)IE＝EC；
(2)IE2＝ED·EA.
证明 (1)连接IC，∵I为内心，
∴∠3＝∠4，∠1＝∠2.
∵∠1＝∠5，∴∠2＝∠5.
∴∠3＋∠2＝∠4＋∠5，
∴∠EIC＝∠ECI.∴IE＝CE.
(2)∵∠E＝∠E，∠2＝∠5，
∴△ECD∽△EAC，∴＝，
∴CE2＝AE·DE，∴IE2＝AE·ED.
20．(12分)如图所示，已知AB是⊙O的直径，C为圆上任意一点，过C的切线分别与过A、B两点的切线交于P、Q.
求证：AB2＝4AP·BQ.
证明 法一 连接OP、OQ，如图所示．
∵AP、PQ、BQ为⊙O的切线，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
又AP、BQ为⊙O的切线，
AB为直径，∴AB⊥AP，AB⊥BQ.
∴AP∥BQ.
∴∠A＝∠B＝90°，
∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°.
∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3＝90°.
∵∠1＋∠5＝90°，∴∠4＝∠5.
∴△AOP∽△BQO.
∴＝.
∵AB＝2AO＝2OB，∴AB2＝4AP·BQ.
法二 连接OC.
同上可证得∠2＋∠3＝90°.
∵PQ切⊙O于C，∴OC⊥PQ.
在Rt△PQO中，由射影定理可得OC2＝PC·CQ，
利用切线长定理，有PC＝AP，BQ＝QC.
OC2＝AP·BQ，∵AB＝2OC，∴AB2＝4AP·BQ.
法三 如图所示，过P作BQ的垂线PD，垂足为D.
∵AP、BQ、PQ切⊙O于A、B、C，
∴∠A＝∠B＝90°，
AP＝PC，CQ＝BQ.
∴四边形ABDP为矩形，
PQ＝AP＋BQ.∵AP＝BD，AB＝PD.
在Rt△PQD中，利用勾股定理得：PQ2＝PD2＋QD2，
∴(AP＋BQ)2＝AB2＋(BQ－AP)2.
∴4AP·BQ＝AB2.
21．(12分)如图，BC为⊙O的直径，＝，过点A的切线与CD的延长线交于点E.
(1)试猜想∠AED是否等于90°？为什么？
(2)若AD＝2，ED∶EA＝1∶2，求⊙O的半径；
(3)求∠CAD的正弦值．
解 (1)∠AED＝90°，连结AB.
∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.
∵AE切 ⊙O于A，∴∠EAD＝∠ACD.
又＝，∴∠ACB＝∠ACD，
∴∠EAD＝∠ACB.
又∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADE＝∠B.
∴△AED∽△CAB，∴∠AED＝∠CAB＝90°.
(2)∵AD＝2，ED∶EA＝1∶2，∠AED＝90°，
∴ED＝2，EA＝4.
又＝，∴AB＝AD＝2，又△EAD∽△ACB，
∴＝，∴BC＝＝＝10.
∴⊙O半径为5.
(3)过D作DF⊥AC于F.
∵在△ABC中，AC＝4，在△AEC中，CE＝8，
∴CD＝6.又易知△CDF∽△CBA，
∴＝，∴DF＝＝＝.
∴sin∠CAD＝＝＝.
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(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若三角形的三条边之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边为21 cm，则其余两边的长度之和为
( )．
A．24 cm B．21 cm C．19 cm D．9 cm
解析 设其余两边的长度分别为x cm，y cm，则＝＝，解得x＝15 cm，y＝9 cm.故x＋y＝24 cm.
答案 A
2．如图所示，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，且＝2，那么△ADE与四边形DBCE的面积比是
( )．
A. B. C. D.
解析 ＝2，∴＝，故＝，
∴S△ADE∶S四边形DBCE＝4∶5.
答案 C
3．如图所示，在 ABCD中，AE∶EB＝1∶2，若S△AEF＝6 cm2，则S△CDF为
( )．
A．54 cm2 B．24 cm2
C．18 cm2 D．12 cm2
解析 ∵△AEF∽△CDF，
∴＝2＝2＝2＝.
∴S△CDF＝9S△AEF＝54 cm2.
答案 A
4．如图所示，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝BE，则有
( )．
A．△AED∽△BED
B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD
D．△BAD∽△BCD
解析 连接BD，注意到∠A＝∠C＝60°，可设AD＝a，则AC＝3a，而AB＝AC＝BC＝3a，所以AE＝BE＝a，所以＝＝，又＝＝，所以＝，∠A＝∠C＝60°，故△AED∽△CBD.
答案 B
5．如图所示，P、Q分别在BC和AC上，BP∶CP＝2∶5，CQ∶QA＝3∶4，则等于
( )．
A．3∶14 B．14∶3
C．17∶3 D．17∶14
解析 过Q点作QM∥AP交BC于M，
则＝＝，
又∵＝，∴＝.
又＝＝，
＝＝，
∴＝，∴＝.
答案 B
6．如图所示，点D、E分别在AB、AC上，下列条件能判定△ADE与△ACB相似的有 ( )．
①∠AED＝∠B
②＝
③＝
④DE∥BC
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析 由判定定理1知①正确，由判定定理2知②正确，由预备定理1知④正确，③不符合相似三角形的判定定理，故不正确，从而选C.
答案 C
7．如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN，若AB＝14，AC＝19，则MN的长为
( )．
A．2 B．2.5
C．3 D．3.5
解析 延长BN交AC于D，
∵AN平分∠BAC，BN⊥AN.
则△ABD为等腰三角形，
∴AD＝AB＝14，∴CD＝5.
又M、N分别是BC、BD的中点，
故MN＝CD＝2.5.
答案 B
8．如图所示，在 ABCD中，E为CD上一点，DE∶CE＝2∶3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF等于
( )．
A．4∶10∶25 B．4∶9∶25
C．2∶3∶5 D．2∶5∶25
解析 因为AB∥CD，所以△ABF∽△EDF，
所以＝＝，所以＝2＝，
又△DEF、△BEF分别以DF、BF为底时等高，所以＝＝＝.
故S△DEF∶S△EBF∶S△ABF＝4∶10∶25.
答案 A
9．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：
(1)∠B＋∠DAC＝90°；
(2)∠B＝∠DAC；
(3)＝；
(4)AB2＝BD·BC.
其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有
( )．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
解析 (1)不能判定△ABC为直角三角形，因为∠B＋∠DAC＝90°，而∠B＋∠DAB＝90°，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠B＝∠C，不能判定∠BAD＋∠DAC＝90°；而(2)中∠B＝∠DAC，∠C为公共角，∴△ABC∽△DAC，∵△DAC为直角三角形，∴△ABC为直角三角形；在(3)中，＝可得△ACD∽△BAD，所以∠BAD＝∠C，∠B＝∠DAC，∴∠BAD＋∠DAC＝90°；而(4)中AB2＝BD·BC，即＝，∠B为公共角，∴△ABC∽△DBA，即△ABC为直角三角形．
∴正确命题有3个．
答案 A
10．如图所示，在直角梯形ABCD中，AB＝7，AD＝2，BC＝3.设边AB上的一点P，使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有
( )．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析 设AP＝x，则PB＝7－x.
(1)若△PAD∽△PBC，
则＝，
即＝，
得x＝<7，符合条件．
(2)若△PAD∽△CBP，即＝，x2－7x＋6＝0，解得x1＝1，x2＝6也符合条件，故满足条件的点P有3个．
答案 C
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分，把正确答案填在题中横线
上)
11．如图所示，设l1∥l2∥l3，AB∶BC＝3∶2，DF＝20，则DE＝________.
解析 EF∶DE＝AB∶BC＝3∶2，
∴＝，
又DF＝20，∴DE＝8.
答案 8
12．如图，在△ABC中，M、N分别是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是________．
解析 ∵MN是△ABC的中位线，
∴△MON∽△COA，且＝，
∴S△MON∶S△COA＝()2＝.
答案
13．在△ABC中，D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，若DE＝4，则BC＝________.
解析 ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴DE∶BC＝AD∶AB＝1∶2.∴BC＝2DE＝8.
答案 8
14．若两个相似三角形的对应高的比为2∶3，且周长的和为50 cm，则这两个相似三角形的周长分别为________．
解析 设较大的三角形的周长为x cm，则较小的三角形的周长为(50－x)cm.由题意得＝，解得x＝30,50－x＝50－30＝20.
答案 20 cm,30 cm
15．如图，在△ABC中，AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD与CE相交于点F，则＋的值为________．
解析 过D作DG∥CE交AB于G，
则＝＝，
又∵＝，
∴AE＝EG.
∴＝＝1.
又∵＝＝，
EF＝DG，
∴＝.∴＝.
∴＋＝.
答案
16．在四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B＝∠D＝90°，BC＝2，AD＝2，则四边形ABCD的面积是______．
解析 因∠B＝∠D＝90°，于是设想构造直角三角形，延长BA与CD的延长线交于E，则得到Rt△BCE和Rt△ADE，由题目条件知，△ADE为等腰直角三角形，所以DE＝AD＝2，所以S△ADE＝×2×2＝2.
又可证Rt△EBC∽Rt△EDA，
所以＝2＝2＝3.
∴S△EBC＝3S△EDA，∴S四边形ABCD＝S△EBC－S△ADE＝4.
答案 4
三、解答题(本大题共5小题，共56分．解答时应写出必要的文字说明，证明过
程或演算步骤)
17．(10分)如图所示，AB∥CD，OD2＝OB·OE.
求证：AD∥CE.
证明 ∵AB∥CD，∴＝.
∵OD2＝OB·OE，∴＝.
∴＝.∴AD∥CE.
18．(10分)如图，若BE∥CF∥DG，AB∶BC∶CD＝1∶2∶3，CF＝12 cm，求BE，DG的长．
解 ∵BE∥CF，∴＝，
∵AB∶BC＝1∶2，
∴AE∶AF＝1∶3.
∵CF＝12 cm，
∴BE＝12×＝4(cm)．
∵CF∥DG，
∴＝.
又∵AB∶BC∶CD＝1∶2∶3，
∴＝.
∴DG＝·CF＝24(cm)．
19．(12分)如图所示，若△ABC为等腰三角形，△ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB·CE.
(1)求证：△ADB∽△EAC；
(2)若∠BAC＝40°，求∠DAE的度数．
(1)证明 ∵AB2＝DB·CE，AB＝AC，∴＝.
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABD＝∠ACE.
∴△ADB∽△EAC.
(2)解 ∵△ADB∽△EAC，
∴∠DAB＝∠E.
∴△ADB∽△EDA.
∴∠DAE＝∠ABD.
∴∠ABC＝＝70°，
∴∠DAE＝∠ABD＝180°－70°＝110°.
20．(12分)如图所示，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD＝∠B，若AD＝6，AB＝8，BD＝7，求DC的长．
解 ∵∠CAD＝∠B，∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CBA.∴＝＝.
∴AC＝，AC＝.
∴＝.设CD＝x，
则＝，解得x＝9.故DC＝9.
21．(12分)如图所示，CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线，CE⊥CD，CE＝，连接DE交BC于点F，AC＝4，BC＝3.求证：
(1)△ABC∽△EDC；
(2)DF＝EF.
证明 (1)在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，则AB＝5.
∵D为斜边AB的中点，
∴AD＝BD＝CD＝AB＝2.5，
∴＝＝＝.
∴△ABC∽△EDC，
(2)由(1)知，∠B＝∠CDF，
∵BD＝CD，∴∠B＝∠DCF，
∴∠CDF＝∠DCF.
∴DF＝CF.①
由(1)知，∠A＝∠CEF，∠ACD＋∠DCF＝90°，∠ECF＋∠DCF＝90°，
∴∠ACD＝∠ECF.由AD＝CD，得∠A＝∠ACD.
∴∠ECF＝∠CEF，∴CF＝EF.②
由①②，知DF＝EF.
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一、选择题
1．如图所示，PC切⊙O于A，PO的延长线交⊙O于B，BC切⊙O于
B，若AC∶CP＝1∶2，则PO∶OB等于
( )．
A．2∶1 B．1∶1
C．1∶2 D．1∶4
解析 连接OA，则OA⊥PC，
∴△PAO∽△PBC，
∴＝，即＝，
又∵OA＝OB，AC∶CP＝1∶2，设AC＝x，则CP＝2x，
∴CA＝x＝BC，∴＝＝2，∴PO∶OB＝2∶1.
答案 A
2．如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，连接OP交AB于C，连接OA、OB，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为
( )．
A．1,2 B．2,2 C．2,6 D．1,6
解析 ∵PA、PB为⊙O切线，∴OA⊥AP，OB⊥PB，
PA＝PB，OP平分∠APB，∴OP⊥AB.
∴直角三角形有6个，等腰三角形有2个．
即直角三角形有：△OAP，△OBP，△OCA，△OCB，△ACP，△CBP；等腰三角形有：△OAB，△ABP.
答案 C
3．设圆内两条相交弦，其中一弦长为8 cm，且被交点平分，另一条弦被交点分成1∶4两部分，则这条弦长是
( )．
A．2 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm
解析 由相交弦推论即可得．
设另一条弦被分成x cm，
4x cm.则2＝x·4x，所以x＝2 cm.
所以弦长为10 cm.
答案 C
4．如图所示，在⊙O中，弦AB与半径OC相交于点M，且OM＝MC，AM＝1.5，BM＝4，则OC等于
( )．
A．2 B.
C．2 D．2
解析 延长CO交⊙O于D，则DM＝3CM，CM·MD＝MA·MB，所以1.5×4＝3CM 2，CM＝，OC＝2.
答案 D
二、填空题
5．如图所示，已知⊙O的两条弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为________．
解析 由相交弦定理知
EA·EB＝EC·ED. (*)
又∵E为AB中点，AB＝4，DE＝CE＋3，
∴(*)式可化为22＝EC(CE＋3)＝CE2＋3CE，
∴CE＝－4(舍去)或CE＝1.
∴CD＝DE＋CE＝2CE＋3＝2＋3＝5.
答案 5
6．如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C，图中互相垂直的线段有________⊥________.(只要求写出一对线段)
解析 如题图所示，由于PA、PB均为⊙O切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB.又由切线长定理知PA＝PB，OP为∠APB的角平分线，∴AB⊥OP，故应填PA⊥OA或PB⊥OB或AB⊥OP.
答案 AB OP
7．如图所示，AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若EA＝1，ED＝2，则BC的长为________．
解析 ∵CE为⊙O切线，D为切点，
∴ED2＝EA·EB.
又∵EA＝1，ED＝2，∴EB＝4，
又∵CB、CD均为⊙O切线，∴CD＝CB.
在Rt△EBC中，设BC＝x，则EC＝x＋2.
由勾股定理：EB2＋BC2＝EC2
得42＋x2＝(x＋2)2，得x＝3，∴BC＝3.
答案 3
8．(2012·湖南高考)如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．
解析 设半径为R，由相交弦定理得(PO－R)(PO＋R)＝PA·PB，(3－R)·(3＋R)＝1×3,9－R2＝3，R2＝6，R＝.
答案
三、解答题
9．如图所示，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于点L、M、N、P.
求证：AB＋CD＝AD＋BC
证明 因为AB、BC、CD、DA都与⊙O相切，L、M、N、P为切点，所以AL＝AP，LB＝MB，DN＝DP，NC＝MC.
所以AB＋CD＝AL＋LB＋DN＋NC＝AP＋MB＋DP＋MC＝AD＋BC.即AB＋CD＝AD＋BC.
10．如图，已知在⊙O中，P是弦AB的中点，过点P作半径OA的垂线，垂足是点E.分别交⊙O于C、D两点.
求证：PC·PD＝AE·AO.
证明 连接OP，∵P为AB的中点，
∴OP⊥AB，AP＝PB.
∵PE⊥OA，
∴AP2＝AE·AO.
∵PD·PC＝PA·PB＝AP2，
∴PD·PC＝AE·AO.
11．(拓展深化)如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10 cm，AP∶PB＝1∶5，求⊙O的半径．
解 法一 连接OC，设AP＝k cm，PB＝5k (k>0) cm，因为AB为⊙O直径，所以半径OC＝AB＝(AP＋PB)＝(k＋5k)＝3k，且OP＝OA－PA＝3k－k＝2k.
因为AB垂直CD于P，
所以CP＝CD＝5 cm.
在Rt△COP中，
由勾股定理，
得OC2＝PC2＋PO2，
所以(3k)2＝52＋(2k)2，
即5k2＝25，所以k＝．
所以半径OC＝3k＝3 (cm)．
法二 设AP＝k，PB＝5k，
由相交弦定理：
CP·PD＝AP·PB，
即2＝k·5k.
∴k＝，
∴＝＝3，
即⊙O的半径为3 cm.
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一、选择题
1．已知圆的半径为6.5 cm，圆心到直线l的距离为4.5 cm，那么这条直线和这个圆的公共点的个数是
( )．
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
解析 圆心到l的距离是4.5 cm小于圆的半径6.5 cm，故圆与l相交．
答案 C
2．下列说法中正确的个数是
( )．
①垂直于半径的直线是圆的切线；
②过圆心且垂直于切线的直线必过切点；
③过切点且垂直于切线的直线必过圆心；
④过半径的一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
⑤同心圆内大圆的弦AB是小圆的切线，则切点是AB的中点．
A．2 B．3 C．4 D．5
解析 ①不正确，因为垂直于半径的直线不一定是圆的切线；②正确；③正确；④不正确，必须是过半径的外端点且垂直于这条半径的直线才是圆的切线；⑤正确．
答案 B
3．如图所示，已知⊙O的直径与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC＝5，则⊙O的半径为
( )．
A. B.
C．10 D．5
解析 连接OC，则有∠COP＝60°，
OC⊥PC，可求OC＝.
答案 A
4．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以BC上一点O为圆心作⊙O与AB相切于E，与AC相切于C，又⊙O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为
( )．
A．1 B. C. D.
解析 ⊙O与AC相切于C，则∠ACB＝90°，又AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，连接OE，且设⊙O的半径为R，则由△OEB∽△ACB，
∴OB＝＝R，
∴BC＝OC＋OB＝R＋R＝R＝3，
∴R＝，∴BD＝BC－2R＝3－＝.
答案 C
二、填空题
5．若直线l与半径为r的⊙O相交，且圆心O到直线l的距离为5，则r的取值范围是__________．
解析 由直线与圆相交的等价条件易得．
答案 (5，＋∞)
6．如图所示，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于B，DC的延长线交AB于A，∠A＝20°，则∠DBE＝________.
解析 连接OB，则OB⊥AB，
∴∠AOB＝90°－∠A＝70°，
∴∠BOD＝180°－∠AOB＝110°，
又OB＝OD，
∴∠OBD＝(180°－∠BOD)＝35°，
∴∠DBE＝90°－∠OBD＝55°.
答案 55°
7．如图所示，直线AB与⊙O相切于点P，CD是⊙O的直径，C、D与AB的距离分别为4 cm、2 cm，则⊙O的半径为________．
解析 利用圆的切线及梯形中位线的知识可知⊙O的半径为3 cm.
答案 3 cm
8．如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为4 cm，则过AB、BC中点的弦EF的长是________ cm.
解析 利用圆内半径与弦的关系，并结合圆内接四边形的知识连接OB交EF于H，连接OE，则OH＝2 cm，则HE＝＝2cm，∴EF＝4 cm.
答案 4
三、解答题
9．如图所示，AB为⊙O的直径，AE平分∠BAC交⊙O于E点，过E作⊙O的切线交AC于点D，试判断△AED的形状，并说明理由．
解 △AED为直角三角形，理由如下：
连接OE，∵ED为⊙O切线，
∴OE⊥ED.
∵OA＝OE，
∴∠1＝∠OEA.
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠OEA，
∴OE∥AC，∴AC⊥DE，
∴△AED为直角三角形．
10．如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，E为AB上的点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与CD有怎样的位置关系？
解 过E作EF⊥CD于F，
∵DE平分∠ADC，
CE平分∠BCD，
∠A＝∠B＝90°，
∴AE＝EF＝BE＝AB.
∴以AB为直径的圆的圆心为E，
∴EF是圆心E到CD的距离，且EF＝AB，
∴以AB为直径的圆与边CD是相切关系．
11．(拓展深化)如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB＝，∠D＝30°.
(1)求证：AD是⊙O的切线．
(2)若AC＝6，求AD的长．
(1)证明 如图，连接OA，
∵sinB＝，∴∠B＝30°，∵∠AOC
＝2∠B，∴∠AOC＝60°，
∵∠D＝30°，
∴∠OAD＝180°－∠D－∠AOD＝90°，
∴AD是⊙O的切线．
(2)解 ∵OA＝OC，∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝6，
∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，
∴AD＝AO＝6.
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一、选择题
1．下列说法中：(1)直径相等的两个圆是等圆；(2)长度相同的两条弧是等弧；(3)圆中最长的弦是通过圆心的弦；(4)一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，正确的有
( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析 考查圆的一些基本概念．
答案 B
2．如图所示，若D是的中点，则与∠ABD相等的角的个数是
( )．
A．7 B．3
C．2 D．1
解析 由同弧或等弧所对的圆周角相等知∠ABD＝∠CBD＝∠ACD＝∠DAC，故与∠ABD相等的角有3个．
答案 B
3．如图，点A、B、C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于
( )．
A．4π B．8π
C．12π D．16π
解析 连接OA、OB，
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
又∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
又AB＝4，
∴OA＝OB＝4，
∴S⊙O＝π·42＝16π.
答案 D
4．如图所示，若圆内接四边形的对角线相交于E，则图中相似三角形有( )．
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
解析 由推论1知∠ADB＝∠ACB，∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC，∠CAD＝∠CBD，
∴△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC.
答案 B
二、填空题
5．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为________．
解析 连接CP，由推论2知∠CPA＝90°，
即CP⊥AB，由射影定理知AC2＝AP·AB，
∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.
答案 6.4
6．如图所示，AB为⊙O的直径，AC＝4 cm，BC＝3 cm，CD⊥AB于D，则CD的长为________ cm.
解析 由AB为⊙O的直径，可知∠ACB＝90°，由勾股定理可得AB＝5 cm，因S△ACB＝AC·BC＝AB·CD.
故3×4＝5·CD，所以CD＝ cm.
答案
7．如图所示，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝3，则△ABC的周长是________．
解析 由圆周角定理得∠A＝∠D＝∠ACB＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以周长等于9.
答案 9
8．如图所示，若△ABC为等腰三角形，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠A＝40°，D是B的中点，E是A的中点，分别连接BD、DE、BE，则△BDE的三内角的度数分别是________．
解析 如图所示，连接AD.
∵AB＝AC，D是B的中点，
∴AD过圆心O.
∵∠A＝40°，
∴∠BED＝∠BAD＝20°.
∠CBD＝∠CAD＝20°.
∵E是A的中点，
∴∠CBE＝∠CBA＝35°.
∴∠EBD＝∠CBE＋∠CBD＝55°.
∴∠BDE＝180°－20°－55°＝105°.
答案 55° 20° 105°
三、解答题
9．如图所示，AB是⊙O的直径，弦AC＝3 cm，BC＝4 cm，CD⊥AB，垂足为D，求AD、BD和CD的长．
解 ∴AB是⊙O的直径，
∵AC⊥BC.
∵CD⊥AB，
∴AC2＝AD·AB，
BC2＝BD·AB.
∵AC＝3 cm，
BC＝4 cm，
∴AB＝5 cm.
∴AD＝ cm，
BD＝ cm.
∵CD2＝AD·BD＝×＝ cm2.
∴CD＝ ＝ cm，AD＝ cm，
BD＝ cm.
10．如图，△ABC内接于⊙O，＝，点D是上任意一点，AD＝6 cm，BD＝5 cm，CD＝3 cm，求DE的长．
解 在题图中∵＝，
∴∠ADB＝∠CDE，
又∵＝B，
∴∠BAD＝∠ECD，∴△ABD∽△CED，
∴＝，即＝，
∴ED＝2.5 cm.
11．(拓展深化)如图①所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D是BC边上的一点，E是直线AD和△ABC外接圆的交点．
(1)求证：AB2＝AD·AE；
(2)如图②所示，当D为BC延长线上的一点时，第(1)题的结论成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
证明 (1)如图③，连接BE.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠ACB＝∠AEB，
∴∠ABC＝∠AEB.
∴△ABD∽△AEB.
∴AB∶AE＝AD∶AB，
即AB2＝AD·AE.
(2)如图④，连接BE、EC，
∵四边形ABCE内接于⊙O，
∴∠CED＝∠ABC，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠CED＝∠ACB，
∵∠AEC＝180°－∠CED，
∠ACD＝180°－∠ACB，
∴∠AEC＝∠ACD，∴△ACE∽△ADC，
∴＝，∴AB2＝AD·AE.
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一、选择题
1．如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F.已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE、OF、DE、DF，那么∠EDF等于
( )．
A．40° B．55°
C．65° D．70°
解析 ∵∠B＝50°，∠C＝60°，
∴∠A＝70°，∴∠EOF＝110°，
∴∠EDF＝55°.
答案 B
2．如图所示，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为
( )．
A．2 B．3
C．2 D．4
解析 连接BC，则∠ACB＝90°，
又AD⊥EF，
∴∠ADC＝90°，
即∠ADC＝∠ACB，
又∵∠ACD＝∠ABC，
∴△ABC∽△ACD，
∴AC2＝AD·AB＝12，
即AC＝2.
答案 C
3．如图所示，经过⊙O上的点A的切线和弦BC的延长线相交于点P，若∠CAP＝40°，∠ACP＝100°，则∠BAC所对的弧的度数为
( )．
A．40° B．100° C．120° D．30°
解析 ∵AP是⊙O 的切线，∴∠ABC＝∠CAP＝40°，
又∠ACP＝100°，∴∠BAC＝∠ACP－∠ABC＝60°，
即∠BAC所对的弧的度数为120°.
答案 C
4．如图所示，AB是⊙O直径，直线EF切⊙O于B，C、D为⊙O上的点，∠CBE＝40°，＝，则∠BCD的度数是
( )．
A．110° B．115° C．120° D．135°
解析 由AB⊥EF得∠ABC＝90°－∠CBE＝50°，
∴2∠ABC＝100°，又＝，∴50°，
∴∠BCD＝(180°＋50°)＝115°.
答案 B
二、填空题
5．如图所示，AD切⊙O于点F，FB，FC为⊙O的两弦，请列出图中所有的弦切角________________________．
解析 弦切角的三要素：(1)顶点在圆上，(2)一边与圆相交，(3)一边与圆相切．三要素缺一不可．
答案 ∠AFB、∠AFC、∠DFC、∠DFB
6．如图所示，已知AB与⊙O相切于点M，且＝，且、的长为圆周长的四分之一，则∠AMC＝________，∠BMC＝________，∠MDC＝________，∠MOC＝______.
解析 弦切角等于所夹弧所对的圆周角，等于所夹弦所对圆心角度数的一半．
答案 45° 135° 45° 90°
7．如图所示，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧上的点，若∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.
解析 连接OB、OC，
则OB⊥AB，OC⊥AC，
∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°，
∴∠BDC＝∠BOC＝50°.
答案 50°
8．如图所示，AC切⊙O于点A，∠BAC＝25°，则∠B的度数为________．
解析 ∵∠BAC＝∠AOB，
∴∠AOB＝2×25°＝50°，
∴∠B＝×(180°－50°)＝65°.
答案 65°
三、解答题
9．如图所示，已知BC是⊙O的弦，P是BC延长线上一点，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，∠ACB＝80°，求∠P的度数．
解 因为PA与⊙O相切于点A，
所以∠PAC＝∠ABP＝25°.
又因为∠ACB＝80°，所以∠ACP＝100°.
又因为∠PAC＋∠PCA＋∠P＝180°，
所以∠P＝180°－100°－25°＝55°.
10．如图所示，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝130°，AD是⊙O的直径，过B作⊙O的切线FE，求∠ABE的度数．
解 因为四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠C＝130°，所以∠A＝50°.
连接OB，则∠ABO＝50°，所以∠AOB＝80°.
又因为∠ABF＝∠AOB＝40°，
所以∠ABE＝180°－∠ABF＝180°－40°＝140°，
即∠ABE＝140°.
11．(拓展深化)如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线XY切⊙O于点C，BD∥XY，AC、BD相交于E.
(1)求证：△ABE≌△ACD；
(2)若AB＝6 cm，BC＝4 cm，求AE的长．
(1)证明 因为XY是⊙O的切线，所以∠1＝∠2.
因为BD∥XY，所以∠1＝∠3，∴∠2＝∠3.
因为∠3＝∠4，所以∠2＝∠4.
因为∠ABD＝∠ACD，又因为AB＝AC，
所以△ABE≌△ACD.
(2)解 因为∠3＝∠2，∠ABC＝∠ACB，
所以△BCE∽△ACB，＝，AC·CE＝BC2.
因为AB＝AC＝6 cm，BC＝4 cm，
所以6·(6－AE)＝16.所以AE＝ cm.
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