17.2一元二次方程的解法（3）
【学习目标】
1．体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b2－4ac≥0
2．会用公式法解一元二次方程
【学习重点】掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程；
【学习难点】求根公式复杂，不易记忆；系数为负数时，代入求根公式常出符号错误；
【学习过程】
一、预习导学
1．用配方解一元二次方程的步骤是什么？
2．一元二次方程中a=_____,b=_____,c=_______; 中a=______,b=______,c=________.
3．用配方法结合直接开平方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？
如何解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）？
二、课堂探究
1、能否用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）呢？回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，分组讨论交流、求解：
ax2＋bx＋c = 0（a≠0）
由上可知，一元二次方程的根由方程的系数a,b,c而定，因
此：
解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形，当时，将a,b,c代入式子x=_____________，就得到方程的根；当时就得到方程无实数根；
这个式子叫做一元二次方程的求根公式；
利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法；
由求根公式可知，一元二次方程最多有___个实数根。
2、用公式法解下列方程：（1）； （2）
三、当堂训练
1．用公式法解方程，下列代入公式正确的是（ ）
A. B.
C． D.
2．方程的根是（ ）
A． B. C. D.
3．用公式法解下列方程：
（1） （2）
四、课外巩固
课本练习
五、学后反思17.2一元二次方程的解法（1）
【学习目标】
1．理解一元二次方程降次的转化思想；
2．会利用直接开平方法对形如的一元二次方程进行求解；
【学习重点】会用直接开平方法解一元二次方程。
【学习难点】通过根据平方根的意义解形如的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如的方程。
【学习过程】
一、预习导学
（一）旧知回顾
1、如果那么x叫做a的______,记作________;
2、如果,那么x记作________;
3、9的平方根是 ；0的平方根是 ；—4的平方根
4、如何解方程： ？
5、用直接开平方法解方程（x＋h）2=k ，方程必须满足的条件是（ ）
A．k≥o B．h≥o C．hk＞o D．k＜o
二、课堂探究
1、解方程：
2、小明同学在解方程时是这样解的，请同学们看看他的解法对吗？如果是你解，该如何解呢？
三、拓展延伸
1、已知一元二次方程，试用直接开平方法解这个方程。
2、在实数范围内定义运算“”，其法则为：，求方程（43）的解．
四、当堂训练
1．方程的实数根的个数是（ ）
A．1 B. 2 C. 0 D.以上答案都不对
2．方程的根是（ ）
A． B. C. D.
3．方程的根是__________.
4．当n_____时，方程有根，其根为_______.
5、解方程： （1） （2）(2x-1)2-18=0
五、课外巩固
同步练习
六、学后反思17.4一元二次方程根与系数的关系
【学习目标】
1、掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会运用它来解决有关问题；
2、通过一元二次方程的根与系数的关系的发现过程，培养和锻炼学生观察、分析、猜想的能力，发展学数学、用数学的意识.
【学习重点】掌握一元二次方程的根与系数的关系；
【学习难点】一元二次方程的根与系数的关系的发现和运用是教学的难点。
【学习过程】
一、预习导学
1.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是 ；
2.解下列方程，并计算方程的两根x1 + x2和 x1· x2的值，填入下表：
(1) x2+2x-15 = 0 (2) 3x2-4x+1 = 0 （3）2x2-5x+1 = 0
序号 方程 x1 x2 x1 + x2 x1· x2 a b c
1 x2+2x-15= 0
2 3x2-4x+1 = 0
3 2x2-5x+1 = 0
3.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程的两根x1 、x2与系数a、b 、c有什么关系？
.
二、课堂探究
根据上面的表格，同学们发现其中的部分规律了吗？
2.利用一元二次方程的求根公式思考：
对于一元二次方程（a≠0), 当时，方程有两个
不相等的实数根：
我们可以通过计算求出x1 + x2 和x1· x2的结果（见课本第36-37页）：
x1 + x2 = ，x1· x2 = 。
小结：
1．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=____，x1x2=____．
2．如果方程x2+px+q=0（p、q为已知常数，p2－4ｑ≥0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=_____，x1x2=________；
对应练习:不解方程，求出方程两根的和与两根的积（直接口答）：
① 3x2 －4x+1= 0 ② x2 + 3x -1= 0
例题学习：1、自学课本38页例1。 2、师生共同学习38页例2。
三、当堂训练
1．若关于x的一元二次方程的两个根为，则这个方程是（ ）
A. B.
C. D.
2．若方程的两根是2和-3，则p，q分别为（ ）
A. 2,-3 B. -1,-6 C. 1,-6 D. 1,6
3．方程，当m=_____时，此方程两个根互为相反数；当m=_____时，两根互为倒数。
4．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝ ，x1·x2＝ ，（x1－x2）2= ，x1-x2= 。
5.若是方程的两根，且，求k的值。
四、拓展延伸
已知是方程的两个实数根，且。
求及a的值；
五、课外巩固
课本40页习题17.4.
六、学后反思17.2一元二次方程的解法（4）
【学习目标】
1．理解一元二次方程的解法——因式分解方法(提公因式法、公式法)．
2．体会转化的数学思想方法
3. 能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．。
【学习重点】利用因式分解法解一元二次方程；
【学习难点】将方程化为一般形式后，对方程左侧二次三项式的因式分解。
【学习过程】
一、预习导学
1．若，则 .
2.观察下面两个方程：(1) x(2x+1)=0; (2) 3x(x+2)=0;
问题：（1）你能说出这两题的特点吗？
（2）你知道方程的解吗？说说你的理由。
3．解方程：x2－x = 0
你认为这种解法可以吗？若不对，请写出正确解法.
解：
两边同时约去下x，得：x＝1
3． 的方法叫做因式分解法新课标第一网 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
二、课堂探究
1、由上述过程我们知道：当方程的一边能够分解成两个一次因式的乘积形式而另一边等于0时，即可解之。这种方法叫做因式分解法。
因式分解法的理论依据是：两个因式的积等于零，那么这两个的值就至少有一个为____.即：若ab=0,则_____或______。
你能总结出因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？
2、请用两种方法解方程：
3、判断下面哪些方程，用因式分解法求解是否比较简便？（不解方程，只说出原因即可）
（1） x2－5x+6= 0 ； （2） （2x－1）2－1 = 0 ；
（3）（x+4）（x-1）= 6 ； （4） 3（x―5）2 = 2（5―x）
三、当堂训练
1．方程的根是______________;
2．方程的根是___________;
3、方程用 法较简便，方程的根为
4、用因式分解法解方程：
5、（2009，青海）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
6、（2009，黄石）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，求该三角形的周长。
四、课外巩固
课本30页练习
五、学后反思17.5一元二次方程的应用（2）
【学习目标】
1、使学生会用列一元二次方程的方法解有关数字方面的应用问题．
2、进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养用数学的意识．
【学习重点】使学生会用列一元二次方程的方法解有关数字方面的应用问题；
【学习难点】设元的灵活性和解的讨论。
【学习过程】
一、预习导学
1.已知n为整数，请用n表示：
(1) 三个连续整数： .
(2) 三个连续偶数： .
(3) 三个连续奇数： .
2. 一个数字与它各个数位上的数字有何关系？也就是如何用各个数位上的数字表示三位数？
3.列方程解应用题的基本步骤？
二、课堂探究
1.已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数.
2.两个连续奇数的积是323, 求这两个数.
3.一个三位数，十位上的数字比它个位上的数字大３，百位上的数字等于个位上的数字的平方。已知这个三位数比它的个位上的数字与十位上的数字的积的２５倍大２０２，求这个三位数。
思考：
（１）一个三位数与它各个数位上的数字有何关系？也就是如何用各个数位上的数字表示三位数？
（２）由题意知，十位上的数字、百位上的数字都与个位上的数字有关，因此你可以设_____上的数字为______，那么______位上的数字为______，______位上的数字为________。这个三位数可表示为_________。
解：
三、当堂训练
1.三个连续正整数中，前两个数的平方和等于第三个数的平方，则这三个数从小到大依次为 。
2. 有一个两位数，等于它的两个数字的积的3倍，十位上的数字比个位上的数字小2,求这个两位数。
四、课外巩固
同步练习
五、学后反思17.5一元二次方程的应用（1）
【学习目标】
1. 使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率问题．
2. 进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生应用数学的意识。
【学习重点】学会用列方程的方法解决有关增长率问题；
【学习难点】有关增长率之间的数量关系。
【学习过程】
一、预习导学
1．（1）原产量+增产量=实际产量．
（2）单位时间增产量=原产量×增长率．
（3）实际产量=原产量×（1+增长率）．
2．（1）某工厂一月份生产零件1000个，二月份生产零件1200个，那么二月份比一月份增产_______个？增长率是多少 。
（2）银行的某种储蓄的年利率为6%，小民存1000元，存满一年连本带利的钱数是 。
3.某厂第一个月生产了彩电m台,第二个月比第一个月产量增长的百分率为x,，则第二个月生产了________台;第三个月比第二个月又增长了相同的百分率,则第三个月的产量为___________ 台。
上述问题3中的关于增长率的规律表达式是:
两次增长后的量=： ；
二、课堂探究
例：某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价的百分数？
分析：设每次降价的百分数为x．
第一次降价后，每件为600-600x=600（ ）元．
第二次降价后，每件为600（1-x）-600（1-x）·x= 元．
这样列出的方程是 。
请给出解题过程：
这个方程可用 方法来解，并舍去不符合题意的一个解；因x表示两次降价的平均降价率，所以还要化成 数.
三、当堂训练
1.某商品两次价格上调后，单位价格从4元变为4.84元,则平均每次调价的百分率是( ) A、9% B、10％ C、11％ D、12％
2.某商品连续两次降价，每次都降20﹪后的价格为元，则原价是（ ）
（A）元 （B）1.2元 （C）元 （D）0.82元
3.一工厂计划2007年的成本比2005年的成本降低15%，如果每一年比上一年降低的百分率为x，那么求平均每一年比上一年降低的百分率的方程是( )
A、(1-x)2=15% B、(1+x)2=1+15% C、(1-x)2=1+15% D、(1-x)2=1-15%
4.某林场第一年造林200亩，第一年到第三年共造林728亩，若设每年增长率为x，则应列出的方程是________________________。
5.某工厂计划两年内把产量翻一番，如果每年比上一年提高的百分数相同，求这个百分数。
四、拓展延伸
某厂1月份生产零件2万个，一季度共生产零件7.98万个，若每月的增长率相同，求每月的增长率。
五、课外巩固
同步练习
六、学后反思17.1一元二次方程（1）
【学习目标】
1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程的概念给一元二次方程下定义；
2．一元二次方程的一般形式及其有关概念；
3．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。
【学习重点】
一元二次方程的概念及其一般形式和用一元二次方程的有关概念解决问题。
【学习难点】
通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。
【学习过程】
一、预习导学
学生自学课本19-20页问题1、问题2，并完成下列问题：
1、问题1、问题2中所列的方程有什么共同的特点？这样的方程叫做 ，
你能模仿一元一次方程的定义给一元二次方程下个定义吗。
2．结合上面的方程的特点你能够用一个式子表示一元二次方程的一般形式吗？
3．一元二次方程的一般形式其中______叫做二次项，a叫做______,bx叫做_______,b叫做_______.c是常数项。
二、课堂探究
1、下面是一元二次方程吗？（填“是”或“否”） 新课标第一网 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
2、方程：3x(x-1)=2(x+2)+8
（1）是一元二次方程吗？如果是一元二次方程请将它化成一般形式。
（2）如果是，请分别说出它的二次项，一次项，常数项和它各项的系数。
三、拓展延伸
关于x的方程
（1）m取何值时，它是一元二次方程；
（2）m取何值时，它是一元一次方程，并解之。
四、当堂训练
（一）填空题。
1．一元二次方程（x-2）(x+3）=5的一般形式是 。
2．一元二次方程的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
3．关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为
（二）根据题意，列出一元二次方程并化成一般形式（不解方程）。
（1）一个数比另一个数大3，且两个数之积为10，求较小的数x.
（2）一个长方形的面积是18cm2，它的宽比长少3cm，求这个矩形的长x.
(3) 将48张桌子排成若干行，且每行的桌子数目相同，已知每一行的桌子数比总行数多2，求这些桌子排成的行数x？
（4）三个连续的奇数，两两相乘，其和为105，求这三个连续奇数。
五、课外巩固
同步练习
六、学后反思17.5一元二次方程的应用（3）
【学习目标】
1.使学生会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用问题．
2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养用数学的意识
【学习重点】会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用题；
【学习难点】分析有关面积、体积方面的应用题的数量关系。
【学习过程】
一、预习导学
1. 长方形的周长公式___________,面积公式_________ 长方体的体积公式______________
2.自学课本42页例4.
二、课堂探究
例1. 如图所示，在一个长为５０米，宽为３０米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的７５％，等宽且互相垂直的两条路的面积占２５％，求路的宽度。
例2.如图，一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个相等的小正方形，制成高是5cm， 容积是500 的长方体
容器，求这块铁皮的长和宽．
三、当堂训练
1、有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的二倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少？www.xkb1.com ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
（只列不解）
2、有一张长40cm，宽25cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图那样的无盖纸盒，若纸盒的底面积是450，那么纸盒的高是多少？
四、拓展延伸
要建一个面积为的长方形养鸡场，养鸡场的一边靠着原有的一面墙，
如图，墙长为8m，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长为24m．求养鸡场的长与宽；
五、课外巩固
同步练习
六、学后反思17.3一元二次方程的根的判别式
【学习目标】
1、掌握一元二次方程的根的判别式，会根据根的判别式判断一元二次方程的根的况；
2、经历一元二次方程的根的情况的讨论过程，体会分类讨论的数学思想和方法.
【学习重点】一元二次方程的根的判别式及运用；
【学习难点】一元二次方程根的判别式的灵活运用是教学的难点。
【学习过程】
一、预习导学
1.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是 ；
2.一般地，在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，
当Δ = b2- 4ac > 0时，方程 ；
当Δ = b2- 4ac = 0时，方程 ；
当Δ = b2- 4ac < 0时，方程 。
3.在方程中，系数a = ，b = ，c = ，= ，
利用求根公式求得x1 = , x2 = .
4.方程的判别式Δ = ，当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根。
二、课堂探究
1．利用一元二次方程的求根公式思考：
对于一元二次方程（a≠0),∵a≠0,∴
①当时，是正实数，因此，方程有两个不相等的实数根：
x1 = , x2 = .
②当时，=0，因此，方程有两个相等的实数根：
x1 = x2 = .
③当时，在实数范围内无意义，因此，方程 .
可见，一元二次方程（a≠0)的根的情况由来确定.我们把叫做 的 ，常用“ ”来表示.
2.以上规律反过来说是： ；
；
.
3. 例 不解方程，判断下列方程根的情况：
(1) 3x2+5x-2 = 0 (2) 5x- 4 = 2x2
（3）t 2+t+2 =0 （4）p（ 2- p）= 5
本例中遇到没有化成一元二次方程的一般形式的情况，应该怎么办？
三、拓展延伸
思考：若关于x的一元二次方程无实数根，则m的最大负整数值为 .
四、当堂训练
1、方程x2-ax+9=0有两个相等的实数根，则a=________
2、(2010年芜湖市)关于x的方程(a －5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（ ）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
3、已知关于x的一元二次方程，当m分别取何值时，
（1）方程有两个不相等的实数根？
（2）方程有两个相等的实数根？
（3）方程没有实数根？
五、课外巩固
课本35页练习1、2
六、学后反思17.2一元二次方程的解法（2）
【学习目标】
会利用配方法熟练、灵活的解一元二次方程；
通过对计算过程的反思，获得解决新问题的体验，体会在解决问题的过程中所呈现的数学方法和数学思想；
通过配方法的探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯；
感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
【学习重点】用配方法熟练地解数字系数为1的一元二次方程；
【学习难点】灵活地用配方法解数字系数不为1的一元二次方程；
【学习过程】
一、预习导学
1．写出完全平方公式：________________ 、 ______________
2．这两个公式都有什么共同特点：______________________________________
3．解方程：
4.试一试：完成下列配方过程
5．判断下列方程能否用开平方法来求解 若能解，该如何解
(1)x2-4x+4＝2； (2)x2+12x+36＝5．
二、课堂探究
1． 独立思考·解决问题
解方程x2＋6x＋4 = 0
2、上述解方程的方法你知道是什么了吧？它里面蕴含着非常重要的数学思想，你知道是什么了吗？
那你知道用这种方法解方程时最关键的一步是什么了吗？你能说说你发现了什么没有？
4、你能总结出来用这种方法解一元二次方程的步骤吗？
三、拓展延伸
你能用配方法解下面的一元二次方程吗？
（1）2x2-3x-1 = 0 （2）用配方法解关于x的方程：
（）
四、当堂训练
1．（2009，丽水）用配方法解方程时，方程的两边同加上 ，使得方程左边配成一个完全平方式
2．（2009，台州）用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ）
A．（ B． C． D．
3．
4．若是一个完全平方式，则a=_______;
5、解方程 （1） x2－4x＋3 = 0 （2）2x2-6x+1 = 0
五、课外巩固
1、课本25页，练习1、2
2、同步练习
六、学后反思
