河北省保定市高三第一次联考试卷(数学理）

河北省保定市高三第一次联考试卷(数学理）
（满分150分，考试时间：120分钟）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，注意事项：
1．第Ⅰ卷的答案填在答题卷方框里，第Ⅱ卷的答案或解答过程写在答题卷指定处，写在试题卷上的无效。
2．答题前，考生务必将自己的“姓名”、“班级”、和“考号”写在答题卷上。
3．考试结束，只交答题卷。
第Ⅰ卷（选择题共60分）
1、 选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，且、都是全集的子集，则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为
A． 　　 B．
C． 　　 　D．
2．已知，则的值为
A． B． C． D．
3．已知等比数列的前10项的积为32，则以下命题为真命题的是
A．数列的各项均为正数 B．数列中必有小于的项
C．数列的公比必是正数 D．数列中的首项和公比中必有一个
4. 如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为
A B C D http://wx.jtyjy.com/
5．如图为一个算法的程序框图，则其输出结果是（ ）
A．0 B．2012 C．2011 D．1
6．已知三边a，b，c的长都是整数，且，
如果，则符合条件的三角形共有（ ）个
A．124 B．225 C．300 D．325
7．已知，，，是空间四点，命题甲：，，， 四点不共面，命题乙：直线和不相交，则甲是乙成立的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．设随机变量，且，则实数的值为
A． 4　 B． 6　 C． 8　 D．10
9. 函数为奇函数，该函数的部分图像如图所示，、分别为最高点与最低点，且，则该函数图象的一条对称轴为
A. B. C. D.
10、若函数等于
A．0 B．1 C．2 D．4
11．已知是定义在上的函数，其图象是一条连续的曲线，且满足下列条件：①的值域为M，且M；②对任意不相等的，∈， 都有|－|<|－|．
那么，关于的方程=在区间上根的情况是
A．没有实数根 B．有且仅有一个实数根
C．恰有两个不等的实数根 D．实数根的个数无法确定
12．已知为上的连续可导函数，当时，，则关于的函数的零点的个数为
A． B． C． D．或
第II卷（非选择题共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）
13．已知(1＋kx2)6 (k是正整数)的展开式中x8的系数小于120，则k＝ ．
14．已知两个等比数列满足，，若数列唯一，则= ．
15．双曲线的两个焦点为、，为双曲线上一点，、、成等比数列，则 .
16、如图，某几何体的正视图（主视图）[]
是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图
都是矩形，则该几何体的体积为 。
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
设函数的图象经过点．
（I）求的解析式，并求函数的最小正周期和最值；
（II）若，其中是面积为的锐角的内角，且，求边和的长.
18. （本小题满分12分）
已知数列的前项和，且．
（1）求数列｛an｝的通项公式；
（2）令，是否存在（），使得、、成等比数列．若存在，求出所有符合条件的值；若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分12分）
如图4，已知平面是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴的截面），BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为母线的中点，已知
（I））求证：⊥平面；
（II）求二面角的余弦值．
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
20．（本小题满分12分）
某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为，第二、第三种产品受欢迎的概率分别为，(＞)，且不同种产品是否受欢迎相互独立。记为公司向市场投放三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为
0 1 2 3
(I)求该公司至少有一种产品受欢迎的概率；
(II)求，的值；
(III)求数学期望.
21.（本小题满分12分）
已知点分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，到焦点的距离的最大值为，且的最大面积为.
（I）求椭圆的方程。
（II）点的坐标为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点。对于任意的是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由。
22．（本小题满分14分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数的图像在点处的切线的斜率为，问： 在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？
（Ⅲ）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，试求实数的取值范围．
数学试卷答案
一、选择题 CACAB DBDDD BC
二、填空题
13．1; 14.; 15.1; 16. ;
三、解答题：
17．解：（1）函数的图象过点
函数的最小正周期 …………………4分
当时， 的最大值为，
当时，最小值为 …………………6分
（2）因为
即 ∴
∵是面积为的锐角的内角，∴ ……………8分
由余弦定理得：
∴ ……………10分
18.（1）解法1：当时，，………………………………2分
即．所以数列是首项为的常数列． ………………6分
所以，即． 所以数列的通项公式为．…………12分
19．解：依题意可知， 平面ABC，∠＝90°，
空间向量法 如图建立空间直角坐标系，因为＝4，
则 ………………4分
（I），
，∴，∴
， ∴，∴
∵ 平面 ∴ ⊥平面 ………………6分
（II） 平面AEO的法向量为，设平面 B1AE的法向量为
， 即
令x＝2，则
∴
∴二面角B1—AE—F的余弦值为 ………………8分
（Ⅲ）因为，∴， ∴
∵，
∴ ………………12分
20．解：设事件表示“该公司第种产品受欢迎”，=1,2,3，由题意知，， ......................1分
（I）由于事件“该公司至少有一种产品受欢迎”与事件“”是对立的，所以该公司至少有一种产品受欢迎的概率是， ............3分
（II）由题意知，
，整理得且，由，可得. ...7分
（III）由题意知
， .....................9分
............10分
因此 ............12分
21.解：(I)由题意可知：a+c= +1 ，×2c×b=1,有∵a2=b2+c2
∴a2=2, b2=1, c2=1
∴所求椭圆的方程为： …………….4分
（II）设直线l的方程为：y=k（x-1）A(x1，y1) ,B(x2，y2)，M(,0)
联立
则
22．解：（Ι）由知：
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；………………4分
（Ⅱ）由得
∴，. ………………………5分
∴,
∵ 函数在区间上总存在极值，
∴有两个不等实根且至少有一个在区间内…………6分
又∵函数是开口向上的二次函数，且，∴ …………7分
由，∵在上单调递减，
所以；∴，由，解得；
综上得： 所以当在内取值时，对于任意，函数，在区间上总存在极值 . …………8分
（Ⅲ）令，则
.
①. 当时，由得，从而,
所以，在上不存在使得； …………………10分
②. 当时，,
在上恒成立，故在上单调递增。
故只要，解得
综上所述，的取值范围是 …………………12分
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