(共29张PPT)
17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨各自独立地创立了微积分
牛顿偏重从物理问题出发，应用了运动学的原理，如瞬时速度中的“微分”、运动变量的“积分”等概念.
莱布尼茨从几何学问题出发，用分析法引进微积分，得出运算法则，比牛顿的更为规范和严密.
课题导入
微积分的创立与处理四类科学问题直接相关
1
求物体在任意时刻的速度与加速度
2
求曲线的切线
3
求函数的最大值与最小值
4
求长度、面积、体积和重心等
导数是微积分的核心概念之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本方法.
导数的本质是什么？
5.1.1 变化率问题
1、能够从具体例子体会、提炼函数平均变化率的概念；
2、理解函数平均变化率的几何意义；
3、如何求函数的平均变化率
目标引领
阅读课本并思考
如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度？
独立自学
引导探究
问题1 高台跳水运动员的速度
问题1 高台跳水运动员的速度
在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系：
如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？
我们可以把整个运动时间段分成许多小段, 用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态.
引导探究
问题1 高台跳水运动员的速度
请计算对应时间段的平均速度：
引导探究
要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度．
再计算：
问题1 高台跳水运动员的速度
思考：(1)运动员在这段时间里是静止的吗
(2)平均速度能准确反映运动员的运动状态吗
(1)在这段时间内，运动员并不处于静止状态.
(2)用平均速度不能准确反映运动员在这段时间内里的运动状态.
引导探究
思考：（1）瞬时速度与平均速度有什么关系？
（2）你能利用这种关系求运动员在 t =1s时的瞬时速度吗？
瞬时速度：
物体在某一时刻的速度
为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.
问题1 高台跳水运动员的速度
引导探究
问题1 高台跳水运动员的速度
我们在t=1之后或之前，任意取一个时刻1+Δt，Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.
引导探究
Δt < 0 Δt > 0
-0.01 0.01
-0.001 0.001
-0.0001 0.0001
-0.00001 0.00001
-0.000001 0.000001
给出Δt更多的值，计算
-4.951
-4.9951
-4.99951
-4.999951
-4.9999951
-5.049
-5.0049
-5.00049
-5.000049
-5.0000049
引导探究
解：
因此运动员在t=2 s 时的瞬时速度为-14.8m/s.
1.已知跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度 h (单位：m)与起跳后的时间 t (单位：s)的函数关系式为
（1）求运动员在t=2 s 时的瞬时速度；
引导探究
解：
因此运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度为
1.已知跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度 h (单位：m)与起跳后的时间 t (单位：s)的函数关系式为
（2）求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻 t0 的瞬时速度？
m/s
探究：抛物线的切线的斜率
引导探究
我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切.
对于一般的曲线C，如何确定它的切线呢？
问题1：我们知道斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线 f(x)=x2 在点 P0(1,1) 处的切线的斜率呢？
追问1：如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条直线与这条曲线一定相切吗？
引导探究
追问2：如果一条直线与一条曲线相切，那么它们只有一个公共点吗？
不一定
不一定
引导探究
追问3：对于抛物线 f(x)=x2，应该如何定义它点 P0(1,1) 处的切线呢？
类比上节课的研究思路，例如研究运动员在 t =1s的瞬时速度
引导探究
x
y
O
1
2
1
2
3
4
P
P0
将点P逐渐靠近点P0，观察割线P0P的位置变化情况.
T
当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线P0T称为抛物线 f(x)=x2在点 P0(1,1) 处的切线.
追问3：对于抛物线 f(x)=x2，应该如何定义它点 P0(1,1) 处的切线呢？
追问4：如何求抛物线 f(x)=x2在点 P0(1,1) 处的切线P0T 的斜率k0呢？
引导探究
无限逼近
无限逼近
取极限
记点P的横坐标 x=1+Δx，则点P的坐标即为 (1+Δx,(1+Δx)2).
于是割线P0P 的斜率
让横坐标变化量 Δx趋近于0，观察割线斜率的变化情况.
引导探究
当Δx无限趋近于0，割线斜率k无限趋近于2.
引导探究
我们把2叫做“当Δx无限趋近于0时， 的极限“，记为
从几何图形上看，当横坐标间隔| Δx |无限变小时， 当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T .
割线P0P的斜率k 无限趋近于点P0处的切线的斜率k0.
因此，切线P0T 的斜率k0=2.
x
y
O
1
2
1
2
3
4
P
P0
T
引导探究
x
y
O
1
2
1
2
3
4
P0
记点P的横坐标 x=2+Δx，则点P的坐标即为 (2+Δx,(2+Δx) 2).于是割线P0P 的斜率
故抛物线 f(x)=x2在点 P0(2,4) 处的切线P0T 的斜率为4.
问题2：你能用上述方法，求抛物线 f(x)=x2在点 P0(2,4) 处的切线P0T 的斜率吗？
P
引导探究
x
y
O
1
2
1
2
3
4
P0
记点P的横坐标 x= x0+Δx，则点P的坐标即为 (x0 +Δx,(x0 +Δx)2).于是割线P0P 的斜率
故抛物线 f(x)=x2在点 P0(x0, x02) 处的切线P0T 的斜率为2x0.
问题3：一般地，如何求抛物线 f(x)=x2在点 P0(x0, x02) 处的切线P0T 的斜率呢？
P
切线斜率的本质是瞬时变化率
1.本节课收获了哪些知识？
平均速度
瞬时速度
目标升华
瞬时速度的本质是平均速度的极限.
(1) 平均速度：
(2) 瞬时速度：
2.求物体在时刻t0的瞬时速度一般步骤：
物体运动的平均速度
物体运动的瞬时速度
函数的平均变化率
函数的瞬时变化率
几何意义
割线的斜率
几何意义
切线的斜率
无限逼近
无限逼近
目标升华
解:
当堂诊学
例1
当堂诊学
2、已知抛物线 f(x)=x2+1. 求:
(1)抛物线在点(0,1) 处的切线的斜率；
(2)抛物线在点(0,1) 处的切线方程.
解：(1)
(2)抛物线在点(0,1) 处的切线方程为 y =1.
强化补清
完成课后作业(共19张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
思考
在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性的研究了一次函数、指数函数增长数度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数函数”比“直线上升”快得多。进一步地，能否精确定量的刻画变化速度的快慢呢？
第五章 一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
5.1.1 变化率问题
探究
瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度吗？
问题二 抛物线的切线的斜率
我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切。对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？
问题一跳水运动员的速度
在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面
的高度h(m)与起跳后的时间t(s)存在函数关系
h(t)=-4.9t2+4.8t+11
如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢？
例如，在0≤t≤0.5这段时间里
h(0.5)-h(0)
=
=2.35(m/s)
0.5-0
在1≤t≤2这段时间里，
h(2)-h(1)
)=
=-9.9(m/s)
2-1
般地，在t1≤t≤t2这段时间里，
h(t2)-h(t)
=-4.9(t1+t2)+4.8
t2-t1
用平均速度
不能准确反映运动员在这一时间段内的运动状态
瞬时速度
设运动员在时沟附近某一时间段内的平均速度是亚，可以想
象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动
员在t,时钩的瞬时速度。
为了求运动员在t=1是的时速度，我们在t=1,之后或之前
任意取一个时钩1十么t,么是时间改变量，可以是正值，也可以是
负值，但不为0.当4t>0时，1+4t在1之后；当4t<0时，1+
么t在1之前。当4t>0时，把运动员在时间段[1,1+△t内近以看
或做匀速直线运动，计算时间段[1,1+△t内的平均速度立，用平
均速度近以表示运动员在t=1时的时速度。当4t<0时，在时间
段[1+△t,1]内可作类以处理。为了提高近以表示的箱确度，我们不
断缩短时间间隔，得到如图（表5,1-1）
我们发现，当△t无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是
从大有1的一边无限趋于1时，平均速度都无限趋近于-5.
h(1+△t)-h(1)
-4.9(4t)2-54t
事实上，由)=
(1+△t)-1
△t
=-4.9△t-5可以
发现，当△t无限趋近于0时，一4.9△t也无限趋近于0，所以无限趋
近于-5。这与前面得到的结论一致。数学中，我们把-5叫做“当△t
无限趋近于0时，五=h1+4)-h(包
(1+△t)-1
的极限”，记为
h(1+△t)-h(1)
lim
△t→0
△t
从物理的角度看，当时间间隔△无限趋近于0时，平均速度)
就无限趋近于仁1时的瞬时速度。因此，运动员在仁1时的瞬时速度
(1)=-5m/s.(共26张PPT)
高二数学新授课
1.通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程.
2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系.
3.体会极限思想.
学习目标
区间测速
车辆油耗
高台跳水
思考引入
一、平均速度
二、瞬时速度
三、抛物线的切线的斜率
重点内容
问题1 在高台跳水中，运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11，根据上述探究，你能求该运动员在0≤t≤0.5,1≤t≤2 内的平均速度吗？
知识建构1
知识建构
为了精准刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如， 时的瞬时速度是多少？
我们先考察 附近的情况. 任取一个时刻 ， 是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 当 时，在1之前；当 时，在1之后.
知识建构2
时, 在时间段 内 时，在时间段 内
……
……
当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势
知识建构2
我们发现，当 趋近于0时，即无论 t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值 .
从物理的角度看，时间间隔 无限变小时，平均速度 就无限趋近于 时的瞬时速度，因此，运动员在 时的瞬时速度是 .
为了表述方便，我们用 表示“当 ， 趋近于0时，平均速度 趋近于确定值 ”.
知识建构2
1.瞬时速度：物体在 的速度称为瞬时速度.
2.瞬时速度的计算：设物体运动的时间与位移的函数关系式为y＝h(t)，
则物体在t0时刻的瞬时速度为 .
3.瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度 就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度.
注意点：Δt可正，可负，但不能为0.
某一时刻
知识建构
例1 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度.
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
学有所用
1.若本例中的条件不变，试求物体的初速度.
解 求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度，
＝1＋Δt，
即物体的初速度为1 m/s.
学有所用
解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
2.若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
则2t0＋1＝9，∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
学有所用
问题3 前面我们从物理的角度研究了瞬时速度的问题，它反映到我们几何上是什么意思？
知识建构3
x
y
O
1
2
1
2
3
4
P
知识建构3
割线位置 无限逼近 切线位置
割线斜率 无限逼近 切线斜率
记点P的横坐标 x=1+Δx，则点P的坐标即为 (1+Δx,(1+Δx)2). 于是割线P0P 的斜率
知识建构3
从代数的角度列表展示上述过程：
让横坐标变化量 Δx趋近于0，割线斜率的趋近于2.
知识建构3
我们把”2”叫做“当Δx无限趋近于0时， 的极限“，记为
从几何图形上看，当横坐标间隔| Δx |无限变小时， 当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T 。割线P0P的斜率k 无限趋近于点P0处的切线的斜率k0.
因此，切线P0T 的斜率k0=2.
知识建构3
1.切线：设P0是曲线上一定点，P是曲线上的动点，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的切线.
2.切线的斜率：设P0(x0，y0)是曲线y＝f(x)上一点，则曲线y＝f(x)在点
P0(x0，y0)处的切线的斜率为k0＝ .
知识建构2
3.切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线PP0无限趋近于点P0处的切线P0T，这时，割线PP0的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0.
注意点：极限的几何意义：曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率.
知识建构2
P64页思考问题，小组完成回答问题
答 ： 前者的几何意义是过点（1，h(t)）、(1+Δt,h (1+Δt))的割线的斜率；
后者是过点（1，h(t)）的切线的斜率。
知识建构3
例3 求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1,2)处的切线方程.
所以切线的方程为y－2＝0×(x－1)，即y＝2.
学有所用
延伸探究 本例函数不变，求与2x－y＋4＝0平行的该曲线的切线方程.
学有所用
＝2x0－2＋Δx，
故有2x0－2＝2，解得x0＝2，
所以切点为(2,3)，所求切线方程为2x－y－1＝0.
学有所用
(1)求抛物线在某点处的切线方程的步骤
(2)求曲线过某点的切线方程需注意，该点不一定是切点，需另设切点坐标.
反思感悟
1.知识清单：
(1)平均速度.
(2)瞬时速度.
(3)曲线在某点处的切线方程.
2.方法归纳：极限法、定义法.
3.常见误区：对割线的斜率与切线的斜率之间的关系理解不到位.
总结提升(共14张PPT)
5.1导数的概念及其意义
5.1.1 变化率问题（2）
瞬时速度
平均速度
无限逼近
取极限
复习回顾
平均变化率
瞬时变化率
几何意义？
h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11
(高度关于时间的瞬时变化率)
S＝πR2
(面积关于半径的瞬时变化率)
v(t)＝4.8t＋11
(速度关于时间的瞬时变化率)
问题2 抛物线的切线的斜率
我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切. 对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢
追问1：如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条直线与这条曲线一定相切吗？
追问2：如果一条直线与一条曲线相切，那么它们一定只有一个公共点吗？
下面我们以抛物线f(x)=x2为例进行研究.
探究 你认为应该如何定义抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线
x
y
O
f(x)＝x2
1
1
2
2
3
4
P0
与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线，我们通常在点P0(1, 1)的附近任取一点P(x, x2)，考察抛物线f(x)=x2的割线P0P的变化情况.
x
y
1
2
1
2
3
4
O
P
P0
观察 如图示，当点P(x, x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1, 1)时，割线P0P有什么变化趋势
T
当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置P0T，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线.
探究：如何求抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线P0T的斜率呢？
切线位置
割线位置
无限逼近
切线斜率
割线斜率
无限逼近
取极限
记点P的横坐标x＝1＋Δx，则点P的坐标即为(1＋Δx，(1＋Δx)2).于是割线P0P的斜率
Δx→0时，斜率kP0P→2.
例1 你能用上述方法，求抛物线f(x)＝x2在点P0(2，4)处的切线P0T的斜率吗？
记点P的横坐标x＝2＋Δx，则点P的坐标即为
(2＋Δx，(2＋Δx)2).于是割线P0P的斜率
故抛物线在点P0(2，4)处的切线斜率为4.
例2 求抛物线f(x)=2x2-1在x=1处的切线方程.
例2 求抛物线f(x)=2x2－1在x=1处的切线方程.
1. 你认为应该怎样定义抛物线f(x)=x2在点(x0, x02)处的切线 试求抛物线f(x)=x2在点(－1, 1)处切线的斜率.
课本P64
课本P62
最下面
2. 求抛物线f(x)=x2+1在点(0, 1)处的切线方程.
课本P64
思考 观察问题1中的函数 的图象，平均速度
的几何意义是什么 瞬时速度v(1)呢
P0
P
T
h(t)在t=1处的导数-5
是h关于t的瞬时变化率（物理意义）
是h在点(1,h(1))处的切线斜率（几何意义）
1.高台跳水运动员平均速度及瞬时速度
2.抛物线的割线及切线的斜率
课堂小结：(共18张PPT)
5.1.2导数的几何意义
知识回顾
1.函数的平均变化率
知识回顾
2.导数
导数f’(x0)的几何意义是什么？
探 究
探 究
新知讲解
新知讲解
导数的几何意义
新知讲解
以直代曲
例 题
例 题
例 题
例 题
例 题
例 题
例 题
x
y
1
2
O
3
A
例 题
总结归纳
1.导数的几何意义
总结归纳
2.求切线方程步骤
)y=x)
fxo+△x)
fxo+△x)-fxo)
f(xo)
0
Xo
x0+△xx
P
0
△C
f(xo+△x)
Po
f(x)
X
Xo
xo+△r
T
T
T
Po
Po
Po
点P。附近的曲线越来越接
近于直线
在点Po附近，曲线y=f(x)可以用点Po处的切线PoT
近似代替
h
I
14
0
t
12
八
t(共20张PPT)
5.2.1基本初等函数的导数
知识回顾
知识回顾
探 究
问题1：根据导数的定义，求函数y=f(x)=c的导数.
x
y
y=c
O
探 究
问题2：根据导数的定义，求函数y=f(x)=x的导数.
x
y
y=x
O
探 究
问题3：根据导数的定义，求函数y=f(x)=x2的导数.
探 究
x
y
y=x2
O
探 究
问题4：根据导数的定义，求函数y=f(x)=x3的导数.
探 究
x
y
y=x3
O
探 究
探 究
x
y
O
你能求出曲线在点(1,1)处的切线方程吗？
探 究
x
y
O
探 究
基本初等函数的导数公式
可以直接使用哦
例 题
例 题
例 题
例 题
总结归纳
总结归纳(共19张PPT)
1.导数的定义
复习
(1)求平均变化率：
(2)取极限，得导数：
课题导入
函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率.
用导数求切线方程的步骤：
（1）求出函数在x=x0处的导数 ，得到曲线在点(x0，f(x0))的切线的斜率；
（2）由直线的点斜式写出切线方程
3.导数的几何意义
5．2 导数的运算
5．2.1 基本初等函数的导数
目标引领
2.掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用.
独立自学
阅读课本，回答问题：
引导探究二
题型探究
(e，1)
(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；
(2)求过点Q(1,0)的曲线的切线方程．
若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
(1)显然P(1,1)是曲线上的点，所以P为切点，
即k＝f′(1)＝－1.
所以曲线在P(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，
即为x＋y－2＝0.
例4
(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；
(2)求过点Q(1,0)的曲线的切线方程．
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
例4
B
当堂诊学
2.
A
3.
2
0
2
3
强化补清
完成课后作业(共34张PPT)
（一）含参数的一次不等式
讨论标准：
一次项系数a，一般分为a>0,a=0,a<0进行讨论；
复习导入
解含参的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a∈R),把讨论对象逐级讨论，逐步解决
（二）含参数的二次不等式
第一级讨论：
二次项系数a，一般分为a>0,a=0,a<0进行讨论；
第二级讨论：
方程根的判别式△，一般分为△>0,△=0, △<0进行讨论；
第三级讨论：
对应方程根的大小，若x1,x2分别是方程ax2+bx+c=0的两根，一般分为x1>x2, x1=x2 , x1若某级已确定，可直接进入下一级讨论.
注：若能因式分解，则对应方程一定有根，可直接下一级
复习导入
5．3.2 函数的极值与最大(小)值(第4课时)
含参数的函数的最大(小)值
1．了解函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系；2．会求含参数的函数的最大（小）值；
3．体会数形结合、化归转化的数学思想．
目标引领
独立自学
引导探究
引导探究
引导探究
引导探究
引导探究
引导探究
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A
当堂诊学
A
A
4
当堂诊学
当堂诊学
当堂诊学
当堂诊学
强化补清
按要求完成课后练习
