(共39张PPT)
10.1.1有限样本空间与随机事件
思考：观察下列事件，你能发现什么特点？
（1）将一枚硬币抛掷2次，观察正面、反面出现的情况；
（2）从你所在的班级随机选择10名学生，观察近视眼人数；
（3）在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命；
（4）记录某地区7月份的降雨量.
1.随机试验：
对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验. 常用字母E表示.
主要研究具有以下特点的随机试验：
（1）试验可以在相同条件下重复进行；
（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
随机试验
思考：体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号0，1，2，...，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码。这个随机试验共有多少个可能结果？如何表示这些结果？
根据球的号码，共有10种可能结果。
如果用m表示“摇出的球的号码为m”这一结果，那么所有可能结果可用集合表示{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.
样本点和样本空间
定义 字母表示
样本点 我们把随机试验E的_______________
称为样本点 用 表示样本点
样本空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 用 表示样本空间
有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为_____________ Ω＝{ω1，ω2，…ωn}
每个可能的基本
结果
ω
Ω
有限样本空间
随机事件、必然事件与不可能事件
随机
事件 我们将样本空间Ω的 称为 ，简称事件，并把只包含 样本点的事件称为 ，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为__________
必然
事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为_________
不可能事件 空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生.我们称 为___________
子集
随机事件
一个
基本事件
事件A发生
必然事件
不可能事件
例1、抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间。
解：因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，
所以试验的样本空间可以表示为Ω={正面朝上，反面朝上}
如果用h表示“正面朝上”，用t表示“反面朝上”，
则样本空间Ω={h，t}
例2、抛掷一枚骰子，观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.
解：用i表示朝上面的“点数为i”.
由于落地时朝上面的点数有1，2，3，4，5，6，
共6个可能的基本结果，
所以试验的样本空间可以表示为Ω={1，2，3，4，5，6}.
例3、抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间.
解：抛两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，
第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点
可用（x,y）表示.
所以试验的样本空间
Ω={（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）}.
用集合表示（列举法）
例3、抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间.
解：如果用1表示“正面朝上”，用0表示“反面朝上”，
所以试验的样本空间
Ω={（1，1），（1，0），（0，1），（0，0）}.
接下来我们用树状图再次理解一下解答过程（图10.1—1）。
用树状图表示试验结果
思考：在体育彩票摇号试验中，摇出“球的号码为奇数”是随机事件吗？摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件？
“球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件。
一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示。
为了描述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件。
随机事件一般用大写字母A,B,C,...表示。
在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生。
随机事件
Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件。
而空集Φ不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称Φ为不可能事件。
必然事件与不可能事件不具有随机性。
为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形。
每个事件都是样本空间Ω的一个子集。
事件的分类
例4 如图10.1-2，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效。把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常。
（1）写出试验的样本空间；
（2）用集合表示下列事件：
M=“恰好两个元件正常”
N=“电路是通路”
T=“电路是断路”
解：（1）分别用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能状态，
则这个电路的工作状态可用（x1,x2，x3)表示.
同时，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，
则样本空间Ω={（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），
（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），
（1，1，1）}
用树状图将所有的可能结果表示如下（如图10.1-3）
解：（2）“恰好两个元件正常”等价于（x1,x2，x3)∈Ω，且x1,x2，x3中恰有两个为1,
所以M={（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}
“电路是通路”等价于（x1,x2，x3)∈Ω，且x1=1，x2，x3中至少有一个是1,
所以N={（1，1，0），（1，0，1），（1，1，1）}
同理，“电路是断路”等价于（x1,x2，x3)∈Ω，x1=0，或x1=1,x2=x3=0
所以T={（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（0，1，1），（1，0，0）}
1.随机试验：
对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验. 常用字母E表示.
主要研究具有以下特点的随机试验：
（1）试验可以在相同条件下重复进行；
（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
课堂小结
随机事件、必然事件与不可能事件
随机
事件 我们将样本空间Ω的 称为 ，简称事件，并把只包含 样本点的事件称为 ，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为__________
必然
事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为_________
不可能事件 空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生.我们称 为___________
子集
随机事件
一个
基本事件
事件A发生
必然事件
不可能事件
一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示。
为了描述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件。
随机事件一般用大写字母A,B,C,...表示。
在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生。
随机事件
Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件。
而空集Φ不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称Φ为不可能事件。
必然事件与不可能事件不具有随机性。
为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形。
每个事件都是样本空间Ω的一个子集。
事件的分类
备选例题(共26张PPT)
10.1.2事件的关系和运算
在掷骰子试验中，定义如下事件：
Ci＝{出现i点},i=1,2,3,4,5,6；
D1＝{出现的点数不大于3},D2＝{出现的点数大于3}；
E1＝{出现的点数为1或2},E2＝{出现的点数为2或3}，
F＝{出现的点数为偶数)
G＝{出现的点数为奇数}．
你还能写出这个试验其他的一些事件吗？请用集合的形式表示这些事件.借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
探究
用集合的形式表示事件C1=“点数为1 ”和事件G=“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
由已知得：C1={1}和G={1，3，5}
显然，如果事件C1发生，那么事件G一定发生。
用集合表示就是
也就是说，事件G包含事件C1.
利用样本空间的子集表示事件，我们可以利用集合的知识研究随机事件.
事件的关系
一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)，记作(如下图10.1-4所示)
特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含B，即
则称事件A与事件B相等，记作A=B.
事件的包含关系
一般地，若事件A和事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们就称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，
记作
(如下图10.1-5所示：绿色区域和黄色区域表示这个并事件)
并事件(或和事件)
一般地，若事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们就称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，
记作
交事件(或积事件)
一般地，若事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B=Φ，我们就称事件A与事件B互斥(或互不相容)
(如下图10.1-7所示)表示两个互斥事件
互斥事件
对立事件
综上所述，事件的关系或运算的含义，以及相应的符号如下表
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含
A发生导致B发生
并事件(和事件)
交事件(积事件)
互斥(互不相容)
互为对立
A与B有且仅有一个发生
A与B不能同时发生
A与B同时发生
A与B至少一个发生
A∩B=Φ
A∪B=Ω，且A∩B=Φ
类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件。
例如，对于三个事件A, B, C, A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A, B, C中至少一个发生，A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A, B, C同时发生，等等。
如图10.1-9，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效。设事件A=“甲元件正常”，B=“乙元件正常”。
(1) 写出表示两个元件工作状态的样本空间；
(2) 用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；
(3) 用集合的形式表示事件A∪B和事件 ，并说明它们的含义及关系。
例5
一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球。设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N“两个球颜色不同”。
(1) 用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
(2) 事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？
(3) 事件R与G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与R2的交事件与事件R有什么关系？
例6
解：(1) 所有的试验结果如图10.1.-10所示。
用数组(x1, x2)表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间
Ω={(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)， (2, 1)，(2, 3)，(2, 4)，
(3, 1)，(3, 2)，(3, 4)， (4, 1)，(4, 2)，(4, 3)}
事件R1=“第一次摸到红球”，即x1=1或2
于是R1={(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}
备选例题(共20张PPT)
10.1.3古典概型
研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小。
1.概率的概念：
对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件A的概率用
P（A）表示。
导入新课
我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们有哪些共同特征？
1、有限性：样本空间的样本点只有有限个；
2、等可能性：每个样本点发生的可能性相等。
古典概型的概念：
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型。
思考
下面两个随机试验，如何度量事件A和事件B发生的可能性大小？
（1）一个班级中有18名男生、22名女生。采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A=“抽到男生”
（2）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”
（1）班级中共有40名学生，从中选择一名学生，即样本点是有限个；因为是随机选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，因此这是一个古典概型。
抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小。因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量。这个随机试验的样本空间中有40个样本点，而事件A=“抽到男生”包含18个样本点。因此，事件A的可能性大小为
思考
（2）我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，
则试验的样本空间Ω={（1，1，1），（1，1，0），（1，0，1），
（1，0，0），（0，1，1），（0，1，0），（0，0，1），
（0，0，0）}，共有8个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型。
事件B发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点在样本空间包含的样本点中所占的比例大小。因此可以用事件包含的样本点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量。因为B={（1，0，1），（0，1，0），（0，0，1）}所以事件B发生的可能性大小为3/8
古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A,B,C,D四个选项中选择一个正确答案。如果考生掌握了考查内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少？
答：试验有选A、选B、选C、选D共四种可能结果，试验的样本空间可以表示为Ω={A,B,C,D}。考生随机选择一个答案，表明每个样本发生的可能性相等，所以这是一个古典概型，设M=“选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，所以n（M）=1，所以考生随机选择一个答案，答对的概率
例7
古典概型的解题步骤
1.判断试验的事件是否是古典概型，并用字母表示所求的事件(如事件A)
2.求出样本点总数n和事件A包含的样本点个数k
3.用公式 求出事件A发生的概率.
在标准化考试中也有多选题，多选题是从A,B,C,D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中至少有一个选项是正确的）。你认为单选题和多选题哪种更难选对？为什么？
答：在多选题中，基本事件为15个(A),(B),(C),(D),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C)
,(B,D),(C,D),(A,B,C),(A,B,D),(A,C,D),(A,B,C,D),假设该考生不会做，
在他答对任何答案是等可能的情况下，他答对的概率是十五分之一，
比单选题答对的概率四分之一小得多，所以多选题更难答对。
思考
抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果。
（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
（2）求下列事件的概率：
A=“两个点数之和5”
B=“两个点数相等”
C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”
例2
解：（1）抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，Ⅰ号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对，组成抛掷两枚骰子试验的一个结果。
用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数是m，数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数是n，则数组（m,n）表示这个试验的一个样本点。
因此，该试验的样本空间Ω={（m,n）|m,n∈{1，2，3，4，5，6}}，其中共有36个样本点。
由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型。
（2）因为A={（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）}
所以n(A)=4，
因为B={（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）}
所以n(B)=6，
因为C={（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5）}
所以n(C)=15，
在例2中，为什么要把两枚骰子标上记号？ 你能解释其中原因吗
如果不给两枚骰子标记号，则不能区分所抛掷的两个点数分别属于哪枚骰子，如抛出的结果是1点和2点，有可能第一枚骰子的结果是1点，也有可能第二枚骰子的结果是1点。
这样，（1，2）和（2，1）的结果将无法区别。
思考
同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢？
我们可以发现，36个结果都是等可能的；
而合并为21个可能结果时，（1，1），（1，2）发生的可能性大小不等，这不符合古典概型特征，
所以不能用古典概型公式计算概率，
因此 是错误的
思考
古典概型的概念：我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型。
1、有限性：样本空间的样本点只有有限个；
2、等可能性：每个样本点发生的可能性相等。
古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
课堂小结
备选例题(共19张PPT)
10.1.4 概率的基本性质
复习回顾
1.概率定义:对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，用P(A)表示.
2.古典概型：(1)有限性; (2)等可能性.
3.古典概型概率计算公式：
其中，n(A) 和 n(Ω)分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.
复习回顾
事件的关系
或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 A B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 AB或A+B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=Φ
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B=Φ,AB=Ω
事件的关系或运算
探究新知
下面我们从定义出发，研究概率的性质，例如概率的取值范围；特殊事件的概率；事件有某些特殊关系时，它们的概率之间的关系，等等。
由概率的定义可知:
任何事件的概率都是非负的；
且在每次试验中必然事件一定发生；不可能事件一定不发生。
概率的基本性质
性质1 对任意的事件A，都有P(A) .
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0.
探究
若事件A与事件B互斥，和事件A∪B的概率与事件A,B的概率之间有什么关系？
概率加法公式
一般地，因为事件A与事件B互斥，即A与B不含有相同的样本点，所以n(A∪B)=n(A)+n(B),这就等价于P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件的概率之和。所以我们推出了互斥事件的概率加法公式。
性质3 如果事件A和事件B互斥，那么
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
互斥事件的概率加法公式还可以推广到多个事件的情况。如果事件 两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即
探究
若事件A与事件B互为对立事件，它们的概率有什么关系？
因为事件A与事件B互为对立事件，所以和事件A∪B=Ω，A∩B= 。
所以有 1=P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
由此我们得到
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么
P(B)＝__________，P(A)＝__________.
在古典概型中，对事件A与事件B，如果 ，
那么 .于是 ，即
一般地，对于事件A与事件B，如果A B,即只要事件A发生，则事件B一定发生，那么事件A的概率不超过事件B的概率。于是我们得到了概率的单调性:
性质5 如果 ，那么
由性质5可得，对于任意事件A，因为 ，
所以
探究
对于任意两个事件A和B,和事件的概率与A、B的概率有什么关系？
性质6 设A,B是一个随机试验中的两个事件，我们有
例1
如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“取到红桃心”，事件B=“取到方片”， 请问：
（l）C=“取到红花色”，求 ？
（2）D=“取到黑花色”,求 ？
课堂小结
性质1 对任意的事件A，都有P(A) .
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0.
性质3 如果事件A和事件B互斥，那么
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么
P(B)＝__________，P(A)＝__________.
性质5 如果 ，那么
性质6 设A,B是一个随机试验中的两个事件，我们有(共15张PPT)
10.2
事件的相互独立性
学习目标
XUE XI MU BIAO
问题导入
WEN TI DAO RU
问题2：上述问题中事件A的发生是否会影响B发生的概率？事件A和事件B相互独立吗？（ 独立思考，教师提问）
试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”
试验2： 三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中将奖券”
问题1：分别计算P(A),P(B),P(AB),你有什么发现？
P(A)P(B)
试验2： 三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中将奖券”
知识梳理
ZHI SHI SHU LI
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝ 成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立.
知识点一 相互独立事件的概念
P(A)P(B)
知识点二 相互独立事件的性质
深化概念
×
×
×
√
√
题型探究
TI XING TAN JIU
例1 一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A“第一次摸出球的标号小于3”，事件B“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？
一、事件独立性的判断
解 因为样本空间
所以
此时
因此,事件A与事件B不独立.
，
，
反思感悟
两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
(2)公式法：若P(AB)＝P(A)·P(B)，则事件A，B为相互独立事件.
跟踪训练1 从一副扑克牌52张(去掉大、小王)中任抽一张，设A＝“抽到K”，B＝“抽到红牌”，C＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？(独立完成并展示)
(1)A与B； (2)C与A.
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，
乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
二、相互独立事件概率的计算
解 设 “甲中靶”, “乙中靶”,则 “甲脱靶”, “乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A与B相互独立,A与 , 与B, 与 都相互独立
由已知可得,
（1）
（2）
（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；
反思感悟
(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤
①首先确定各事件之间是相互独立的.
②求出每个事件的概率，再求积.
(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的.
练2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，
乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：(4人为一小组讨论5分钟并展示)
二、相互独立事件概率的计算
解 设 “甲中靶”, “乙中靶”,则 “甲脱靶”, “乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A与B相互独立,A与 , 与B, 与 都相互独立
由已知可得,
（1）
（2）
（1）两人都脱靶；（2）至少有一人中靶.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
布置作业
1.基础巩固：教科书250页 第1、2题
2.能力提升：教科书250页 第3题(共28张PPT)
10.2 事件的相互独立性
人教A版必修第二册
复习回顾
事件的关系
或运算 含义 符号表示 概率表示
包含
并事件(和事件)
交事件(积事件)
互斥(互不相容)
互为对立
A发生导致B发生
A与B至少一个发生
A与B同时发生
A与B不能同时发生
A与B有且仅有一个发生
A B
AUB或A+B
A∩B或AB
A∩B=Φ
A∩B=Φ,
AUB=Ω
P(A)≤P(B)
P(A+B)=P(A)+P(B)
-P(A∩B)
P(AB)=P(A)P(B)
P(A)+P(B)=1
复习回顾
前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质,还研究过和事件的概率计算方法.对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗
我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生.因此，积事件AB发生的概率一定与事件A、B发生的概率有关.那么，这种关系会是怎样的呢
下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题.
探究
下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗
试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.
试验2：一个袋子中装有标号分别是1、2、3、4的4个球,除标号外没有其他差异,采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到球的标号小于3”.
对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率.
对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.
思考
试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.
分别计算P(A)、P(B)、P(AB)，你有什么发现
在试验1中，用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”， 则样本空间为 Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}，包含4个等可能的样本点.
而A={(1,1),(1,0)}，B={(1,0),(0,0)}，所以AB={(1,0)}.
思考
由古典概型概率计算公式，得
于是有
P(AB)=P(A)P(B).
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
思考
试验2：一个袋子中装有标号分别是1、2、3、4的4个球,除标号外没有其他差异,采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到球的标号小于3”.
分别计算P(A)、P(B)、P(AB)，你有什么发现
在试验2中，样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}，包含16个等可能的样本点.而
A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)}，
B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}，
AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}，
所以
于是也有P(AB)=P(A)P(B).
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B，如果
P(AB)=P(A)P(B)
成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
通俗地说，对于两个事件A，B， 如果其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，就把它们叫做
相互独立事件．
若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)．
思考
必然事件Ω、不可能事件 与任意事件相互独立吗？
根据相互独立事件的定义，必然事件一定发生，不受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件一定不会发生，不受任何事件是否发生的影响，当然，他们也不影响其他事件的发生．
由于P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)，P(A )=P( )=P(A)P( )成立．
因此，必然事件Ω、不可能事件 与任意事件相互独立．
思考
互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系. 如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立 以有放回摸球试验为例,验证A与 , 与B, 与 是否独立,你有什么发现
证明
对于A与 ，因为A=AB∪A ，而且AB与A 互斥，
所以
所以
由事件的独立性定义，A与 相互独立.
类似地，可以证明事件 与B， 与 也都相互独立.
注意：
我们知道，如果三个事件A、B、C两两互斥，那么概率加法公式 P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立；
但当三个事件A、B、C两两独立时，等式
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
一般不成立.
判断两个事件是否相互独立的方法
1.直接法:直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率.
2.定义法:判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立.
3.转化法:由判断事件A与事件B是否相互独立, 转化为判断A与 , 与B, 与 是否具有独立性.
例1 一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次. 设事件A=“第一次摸出球的标号小于3"”,事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立
解：因为样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}，且m≠n}，
A={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}，
B={(1,2)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，
AB={(1,2)，(2,1)}.
所以
此时P(AB)≠P(A)P(B)
因此，事件A与事件B不独立.
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8， 乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率:
(1)两人都中靶；
(2)恰好有一人中靶；
(3)两人都脱靶；
(4)至少有一人中靶.
解:设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则 =“甲脱靶”,
=“乙脱靶”.由于两个人射击的结果互不影响，
所以A与B相互独立，A与 ， 与B， 与 都相互
独立.
由已知可得，
(1)AB=“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得
P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72
(2)“恰好有一人中靶” ，且 与 互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得
(3)事件“两人都脱靶”= ，所以
(4)方法1：事件“至少有一人中靶” ,且
两两互斥，所以
方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”，根据对立事件的性质，得事件“至少有一人中靶”的概率为
方法总结
由简单事件通过运算得到复杂事件,进而利用互斥、对立、独立等关系计算概率. 解题时要注意:
1.对事件进行分解,一方面分解为互斥的几类简单事件求概率;另一方面分解为独立的事件, 利用事件同时发生(乘法)求出概率.
2.对事件分解时,要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.
类型 表示
A,B中至少有一个发生为事件
A,B中至多有一个发生为事件
A,B恰好有一个发生为事件
A,B都发生为事件
A,B都不发生为事件
A,B不都发生为事件
已知两个事件A,B,
例3 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每轮猜对的概率为 .在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.
解：设A1、A2分别表示甲两轮猜对1个、2个成语的事件，B1、B2分别表示乙两轮猜对1个、2个成语的事件.根据独立性假定,得
设A=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则A=A1B2∪A2B1，且A1B2与A2B1互斥，A1与B2、A2与B1分别相互独立，所以
因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是
课堂小结
对任意两个事件A与B，如果
P(AB)=P(A)P(B)
成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
注：必然事件Ω、不可能事件 都与任意事件相互独立.
如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否
也相互独立.
若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)．(共21张PPT)
10.3.1 频率的稳定性
探究
重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，设事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”，统计A出现的次数并计算频率，再与其概率进行比较.你发现了什么规律？
探究
下面分步实施试验，考察随着试验次数的增加，事件A的频率的变化情况，以及频率与概率的关系.
第一步：每人重复做25次试验，记录事件A发生的次数，计算频率；
第二步：每4名同学为一组，相互比较试验结果；
第三步：各组统计事件A发生的次数，计算事件A发生的频率，将结果填入下表中.
探究
小组序号 试验总次数 事件A发生的次数 事件A发生的频率
1 100
2 100
3 100
…
合计
思考：比较在自己试验25次、小组试验100次和全班试验总次数的情况下，事件A发生的频率.
（1）各小组的试验结果一样吗？为什么会出现这种情况？
（2）随着试验次数的增加，事件A发生的频率有什么变化规律？
探究
序号 n=20 n=100 n=500
频数 频率 频数 频率 频数 频率
1 12 0.6 56 0.56 261 0.522
2 9 0.45 50 0.50 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 250 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
探究
用折线图表示频率的波动情况如下图：
探究
频率的稳定性
例1
例1 新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数.通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51.
（1）分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率（新生儿中男婴的比率，精确到0.001）；
（2）根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？
例2
例2 一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等.
在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次.据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论？为什么？
解：当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7.根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近.而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的.因此，应该支持甲对游戏公平性的判断.
思考
气象工作者有时用概率预报天气，如某气象台预报“明天的降水概率是90%.如果您明天要出门，最好携带雨具”.如果第二天没有下雨，我们或许会抱怨气象台预报得不准确.那么如何理解“降水概率是90%”？又该如何评价预报的结果是否准确呢？
降水的概率是气象专家根据气象条件和经验，经分析推断得到的.对“降水的概率为90%”比较合理的解释是：大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨.
只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性.如果在类似气象条件下预报要下雨的那些天（天数较多）里，大约有90%确实下雨了，那么应该认为预报是准确的；如果真实下雨的天数所占的比例与90%差别较大，那么就可以认为预报不太准确.
数学人物简介——雅各布第一 伯努利
雅各布·伯努利(Jakob Bernoulli ,1654－1705)，伯努利家族代表人物之一，瑞士数学家。被公认的概率论的先驱之一。他是最早使用“积分”这个术语的人，也是较早使用极坐标系的数学家之一。还较早阐明随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近。
数学人物简介——雅各布第一 伯努利
1654年12月27日，雅各布·伯努利生于巴塞尔，毕业于巴塞尔大学，1671年17岁时获艺术硕士学位。这里的艺术指“自由艺术”，包括算术、几何学、天文学、数理音乐和文法、修辞、雄辩术共7大门类。遵照父亲的愿望，他于1676年22岁时又取得了神学硕士学位。然而，他也违背父亲的意愿，自学了数学和天文学。1676年，他到日内瓦做家庭教师。从1677年起，他开始在那里写内容丰富的《沉思录》。
数学人物简介——雅各布第一 伯努利
1678年和1681年，雅各布·伯努利两次外出旅行学习，到过法国、荷兰、英国和德国，接触和交往了许德、玻意耳、胡克、惠更斯等科学家，写有关于彗星理论（1682年）、重力理论（1683年）方面的科技文章。1687年，雅各布在《教师学报》上发表数学论文《用两相互垂直的直线将三角形的面积四等分的方法》，同年成为巴塞尔大学的数学教授，直至1705年8月16日逝世。
数学人物简介——雅各布第一 伯努利
1699年，雅各布当选为巴黎科学院外籍院士；1701年被柏林科学协会（后为柏林科学院）接纳为会员。许多数学成果与雅各布的名字相联系。例如悬链线问题（1690年），曲率半径公式（1694年），“伯努利双纽线”（1694年），“伯努利微分方程”（1695年），“等周问题”（1700年）等。
数学人物简介——雅各布第一 伯努利
雅各布对数学最重大的贡献是在概率论研究方面。他从1685年起发表关于赌博游戏中输赢次数问题的论文，后来写成巨著《猜度术》，这本书在他死后8年，即1713年才得以出版。
最为人们津津乐道的轶事之一，是雅各布醉心于研究对数螺线，这项研究从1691年就开始了。他发现，对数螺线经过各种变换后仍然是对数螺线，如它的渐屈线和渐伸线是对数螺线，自极点至切线的垂足的轨迹，以极点为发光点经对数螺线反射后得到的反射线，以及与所有这些反射线相切的曲线（回光线）都是对数螺线。他惊叹这种曲线的神奇，竟在遗嘱里要求后人将对数螺线刻在自己的墓碑上，并附以颂词“纵然变化，依然故我”，用以象征死后永生不朽。
数学人物简介——雅各布第一 伯努利
1994年第22届国际数学家大会在瑞士的苏黎世召开，瑞士邮政发行的纪念邮票的邮票图案是雅各布·伯努利的头像，以他名字命名的大数定律及大数定律的几何示意图(即当试验次数无限增大时，事件出现的频率稳定于其出现的概率). 伯努利家族是瑞士的一个曾产生过11位科学家的家族，雅可比·伯努利是其中重要的一员，在数学方面取得了许多重大成果. 例如：他曾对微积分的发展作出了重要贡献；为常微分方程的积分法奠定理论基础；在研究曲线问题方面，他提出了一系列新概念；他创立了变分法；他还是概率论的早期研究者和奠基人.
数学家族
值得一提的是，伯努利家族是一个数学家辈出的家族。 除了雅各布 · 伯努利外，在 17 - 18世纪期间，伯努利家族共产生过11位数学家。其中比较著名的还有他的弟弟约翰 · 伯努利(1667 - 1748)和侄子丹尼尔 · 伯努利(1700 - 1782，在概率论中引入正态分布误差理论，发表了第一个正态分布表)。雅各布 · 伯努利是科学世家伯努利家族中第一位以数学研究成名的人。(共19张PPT)
10.3.2 随 机 模 拟
学习目标
1.了解随机数的意义.
2.会用随机模拟方法估计概率.
3.理解用随机模拟方法估计概率的实质.
4.培养数学建模、数据分析和数学运算等素养.
思考
用频率估计概率，需要做大量的重复实验，有没有其他方法可以替代试验吗？
对于某个指定范围内的整数,每次从中有放回地随机取出的一个数都称为随机数.
蒙特卡洛方法：利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法.
随机数的概念及产生方法
概念：要产生1～n(n∈N*)之间的随机整数,把n个质地和大小相同的小球分别标上1,2,3,…,n,放入一个容器中,充分搅拌后取出一个球,这个球上的数就称为随机数.
产生方法:
①利用计算器产生随机数;
②用计算机软件产生随机数,比如用Excel软件产生随机数
本质:
用模拟试验替代大量的实际操作的试验,获得相应的试验结果.
伪随机数
伪随机数：计算器或计算机产生的随机数是依照确定的算法产生的数,具有周期性(周期很长),它们具有类似随机数的性质.因此,计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数,我们称它们为伪随机数.
随机模拟方法(蒙特卡洛方法)
随机模拟方法(蒙特卡洛方法)：利用计算器或计算机产生的随机数来做模拟试验,通过模拟试验得到的频率来估计概率,我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.
用随机模拟方法得到的频率( )
A.大于概率 B.小于概率
C.等于概率 D.是概率的近似值
答案:D
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)用计算器或计算机软件产生的伪随机数来做模拟试验,得到的频率值不准确.( × )
(2)用简单随机抽样的方法产生的随机数都是等可能的.( √ )
(3)用随机模拟方法估计概率时,产生的随机数越多,估计的结果越准确.( √ )
(4)产生整数随机数的方法只能用计算器或计算机.( × )
(5)利用随机模拟得到的计算结果就是概率.( × )
思考
思考1：你有什么办法产生1～20之间的随机数
思考2：若抛掷一枚质地均匀的骰子30次,如果没有骰子,你有什么办法得到试验的结果
思考3：一般地,如果一个试验的基本事件总数为n,在没有试验条件的情况下,你有什么办法进行m次试验,并得到相应的试验结果
提示:将n个基本事件编号为1,2,…,n,由计算器或计算机产生m个1～n之间的随机数.
类型1：用随机模拟法估计古典概型的概率
【例1】已知某运动员每次投篮命中的概率约为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数:
907 966 191 925 271 932 812 458 569
683 431 257 393 027 556 488 730 113
537 989
据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ( )
A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15
【答案】B
【解析】由题意知模拟三次投篮的结果,经随机模拟产生了20组随机数,在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191,271,932,812,393,共5组随机数,所以所求概率为
= =0.25.
【变式1】天气预报说,在今后的三天中每一天下雨的概率均为30%,用随机模拟的方法进行试验,由1,2,3表示下雨,由4,5,6,7,8,9,0表示不下雨,利用计算器产生0~9之间的20组数据如下:
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
通过以上数据可知三天都不下雨的概率近似为( )
A.0.05 B.0.35 C.0.4 D.0.7
解:由题意知利用计算器模拟求三天都不下雨的概率,产生的20组随机模拟数据中代表三天都不下雨的随机数,应该由4,5,6,7,8,9,0中的三个组成,这样的随机数有:907,966,458,569, 556,488,989,共7组随机数,所以所求概率为 ,故选B.
类型2：用随机模拟估计概率
【例2】某篮球爱好者做投篮练习,假设其每次投篮投中的概率是60%,利用计算器或计算机模拟试验,估计他在连续三次投篮中,三次都投中的概率是多少.
分析:设计模拟试验 产生随机数 估算所求概率
解:我们通过设计模拟试验的方法来解决问题,利用计算机或计算器可以产生0到9之间的取整数值的随机数.
我们用1,2,3,4,5,6表示投中,用7,8,9,0表示未投中,这样可以体现投中的概率是60%.因为是投篮三次,所以每3个随机数作为一组.例如,产生20组随机数:
812 932 569 683 271
989 730 537 925 834
907 113 966 191 432
256 393 027 556 755
相当于做了20次重复试验,其中若3个数均在1,2,3,4,5,6中,则表示三次都投中,它们分别是113,432,256,556,即共有4组数,因此我们得到三次投篮都投中的概率近似为
方法总结
用整数随机数模拟试验估计概率时,首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果.我们可以从以下三个方面考虑:
(1)当试验的基本事件等可能时,基本事件总数即为产生随机数的范围,每个随机数代表一个基本事件.
(2)研究等可能事件的概率时,用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字的个数.
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时,要把这n个随机数作为一组来处理,此时一定要注意每组中的随机数能否重复.
课堂小结
产生随机数的方法
计算器或
计算机软件
构建模拟试验
利用随机模拟估计概率的关注点
(1)当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数
