第六章 平面向量及其应用 单元测试（含解析）

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第六章 平面向量及其应用单元测试
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列等式恒成立的是(　　)
A.＋＝0
B.－＝
C．(a·b)c＝a(b·c)
D．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
2．已知线段上A，B，C三点满足＝2，则这三点在线段上的位置关系是(　　)
A. B.
C. D.
3．已知a＝(λ，2)，b＝(3，－5)，且a与b的夹角θ是钝角，则λ的取值范围是(　　)
A.　　　　　　　　　　
B.
C.∪
D.∪
4．在平行四边形ABCD中，点E满足＝－2，且O是边AB的中点．若AE交DO于点M，且＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A. B. C. D.
5．黄金分割点是指将一条线段分割为两部分，使得较长部分与全长的比值为的点．利用线段上的两个黄金分割点可以作出正五角星，如图所示．已知C，D为AB的两个黄金分割点，研究发现如下规律：＝＝＝.若△CDE是顶角为36°的等腰三角形，则cos 216°＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
6．菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点P在边BC上(包含端点)，则(＋)·的最小值为(　　)
A．－ B. C．－ D．0
7．已知P是△ABC的外心，且3＋4－2＝0，则cos C＝(　　)
A．－ B．－
C.或－ D.或－
8．设△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＝2，a2sin C＝6sin A，则△ABC面积的最大值为(　　)
A. B. C. D．3
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设a，b是两个非零向量，若b⊥(a－b)，则下列结论正确的是(　　)
A．a·b＝|b|2
B．|a|＝|a－2b|
C．a在b上的投影向量为b
D．cos〈a，b〉＝
10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(　　)
A．若A＞B，则sin A＞sin B
B．若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解
C．若△ABC为钝角三角形，则a2＋b2＜c2
D．若A＝60°，a＝2，则△ABC面积的最大值为
11．在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则下列说法正确的是(　　)
A．sin C＝　　
B．△ABC的面积为2
C．△ABC的外接圆直径是
D．△ABC的内切圆半径是
12．如图，甲船从A1出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距5海里．当甲船航行12分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是(　　)
A．乙船的行驶速度与甲船相同
B．乙船的行驶速度是15 海里/小时
C．甲、乙两船相遇时，甲船行驶了小时
D．甲、乙两船不可能相遇
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知向量a＝(x，y)，b＝(－1，－1)，c＝(4，4)，且满足a·c＝b·c，则a＝________(写出满足条件的一种表示即可)．
14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，B＝，△ABC的面积等于，则b＝________．
15．如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一动点(含端点A，B)．若AB＝2，则|＋|的取值范围是______．
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝120°，D是边BC上一点，AB⊥AD，且AD＝m，△ACD和△ABD的面积分别为S1，S2，对于给定的正数m，当b＋c取得最小值时，＝________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系中，||＝2||＝4，∠OAB＝，＝(－2，2 )．
(1)求点B，C的坐标；
(2)求证：四边形OABC为等腰梯形．
18．(本小题满分12分)[福建福州八中2021高一月考]已知|a|＝，|b|＝，a·b＝－5，c＝xa＋(1－x)b.
(1)当b⊥c时，求实数x的值；
(2)当|c|取最小值时，求向量a与c的夹角的余弦值．
19．(本小题满分12分)[河南郑州2021高一期中]如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，点F在边CD上．
(1)若F是边CD上靠近点C的三等分点，设＝λ＋μ，求λ＋μ的值；
(2)若AB＝，BC＝2，求·的取值范围．
20．(本小题满分12分)[湖南岳阳2022教学质量检测]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2bcos C＝2a－c.
(1)求角B；
(2)在①△ABC的外接圆的面积为，②△ABC的周长为12，③b＝4，这三个条件中任选一个，求△ABC面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
21．(本小题满分12分)某工程队在某海域进行填海造地工程，欲在边长为1千米的等边三角形岛礁ABC的外围选择一点D(D在平面ABC内)，建设一条军用飞机跑道AD.在点D测得B，C两点的视角∠BDC＝60°，如图所示，记∠CBD＝θ，如何设计θ，使得飞机跑道AD最长？
22．(本小题满分12分)[辽宁沈阳第一二○中学2021高一月考]在△ABC中，D是BC的中点，AB＝1，AC＝2，AD＝.
(1)求△ABC的面积．
(2)若E为BC上一点，且＝λ(＋)，求·的值．
答案及解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】D
【详解】＋＝0，故A错误；－＝，故B错误；(a·b)c表示与c共线的向量，而a(b·c)表示与a共线的向量，两者不一定相等，故C错误；根据平面向量数量积的运算性质可知D正确．故选D.
2．【答案】A
【详解】由题意可知和 同向共线，且BC＝2AB.故选A.
3．【答案】D
【详解】因为a与b的夹角θ是钝角，所以cos θ＝＝<0，且≠－1，解得λ<且λ≠－.故选D.
4．【答案】B
【详解】如图，在平行四边形ABCD中，＝－2，△AOM∽△EDM，＝＝＝＝，
＝＝(＋)＝＝＋.
因为＝λ＋μ，所以λ＋μ＝.故选B.
5．【答案】A
【详解】由题意得，在正五角星中，C，D为AB的两个黄金分割点，易知BC＝CE.
因为＝，所以＝.不妨设CE＝2，则CD＝－1，
在△CDE中，由余弦定理得cos 36°＝＝，
所以cos 216°＝cos(180°＋36°)＝－cos 36°＝－.故选A.
6．【答案】C
【详解】如图，设AC∩BD＝O，因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
以O为原点，AC，DB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系．
易得A(－1，0)，B(0，)，C(1，0)．
设P(x，y)，＝λ，其中0≤λ≤1，
则(x，y－)＝λ(1，－)，
所以P(λ，－λ)．
＝(－1－λ，λ－)，＝(－λ，λ)，＝(1－λ，λ－)，
则(＋)·＝8λ2－10λ＋2＝82－，
所以，当λ＝时，(＋)·取最小值－.故选C.
7．【答案】B　
【解析】因为P是△ABC的外心，所以||＝||＝||.
由题知2＝3＋4，两边平方得4||2＝9||2＋16||2＋24·，
即4||2＝9||2＋16||2＋24||·||cos 2C，
即4＝9＋16＋24cos 2C，
所以－＝cos 2C＝2cos2C－1，
则cos C＝±.
又由2＝3＋4＝3＋3＋4＋4，得＝＋.
因为＋>1，所以C与外心P在AB的异侧，即C在劣弧AB上，所以C为钝角，即cos C＝－.故选B.
8．【答案】B
【详解】由正弦定理及a2sin C＝6sin A可得a2c＝6a，即ac＝6.
由b＝2及余弦定理可知4＝a2＋c2－12cos B，所以4＋12cos B＝a2＋c2≥2ac＝12，当且仅当a＝c时取等号，所以cos B≥，所以sin B＝≤＝.所以S△ABC＝acsin B≤×6×＝，当且仅当a＝c时取等号，所以△ABC面积的最大值为，故选B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．【答案】ABC
【详解】因为b⊥(a－b)，所以b·(a－b)＝b·a－b2＝0，所以a·b＝b2＝|b|2，所以选项A正确；因为a·b＝|b|2，所以a2＝a2－4a·b＋4b2，所以|a|＝|a－2b|，所以选项B正确；a在b上的投影向量为·b＝·b＝b，所以选项C正确；由向量数量积的定义可知，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|b|2，所以cos〈a，b〉＝，所以选项D错误．故选ABC.
10．【答案】ABD
【详解】对于A选项，若A＞B，则a＞b，由正弦定理可得＝，所以sin A＞sin B，故A正确；
对于B选项，bsin A＝4sin 30°＝2，则bsin A＜a＜b，所以△ABC有两解，故B正确；
对于C选项，当△ABC为钝角三角形，且C为钝角时，cos C＝＜0，可得a2＋b2＜c2，若C不为钝角，则得不到a2＋b2＜c2，故C错误；
对于D选项，由余弦定理与基本不等式可得4＝a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时，等号成立，所以S△ABC＝bcsin A＝bc≤，故D正确．
11．【答案】ABD
【详解】因为cos＝，所以cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝，
所以sin C＝＝，S△ABC＝absin C＝×1×5×＝2，故A，B正确；
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得c2＝12＋52－2×1×5×＝20，所以c＝2 ，所以△ABC外接圆的直径2R＝＝＝，故C错误；
设△ABC的内切圆半径为r，则S△ABC＝(a＋b＋c)r，即(1＋5＋2)r＝2，所以r＝，故D正确．故选ABD.
12．【答案】AD
【详解】如图，连接A1B2，依题意，A1A2＝25×＝5(海里)，而B2A2＝5海里，∠A1A2B2＝60°，
则△A1A2B2是正三角形，所以∠A2A1B2＝60°，A1B2＝5海里．在△A1B1B2中，∠B1A1B2＝180°－75°－60°＝45°，A1B1＝5 海里，
由余弦定理得B1B2＝＝＝5(海里)，则有A1B22＋B1B22＝A1B12，所以∠A1B2B1＝90°，所以∠A1B1B2＝45°，所以乙船的行驶速度是＝25(海里/时)，A正确，B不正确；
延长B1B2与A1A2交于点O，由∠A1B2B1＝90°，即A1B2⊥OB1，易得OA1＝10海里，OB2＝5 海里，OB1＝5(＋1)海里，甲船从出发到点O用时t1＝＝(时)，乙船从出发到点O用时t2＝＝(时)，t1三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】(0，－2)(答案不唯一，满足x＋y＝－2即可)
【详解】由题意得a·c＝4x＋4y，b·c＝－4－4＝－8，由于a·c＝b·c，所以有x＋y＝－2，取x＝0，y＝－2，得a＝(0，－2)(答案不唯一)．
14．【答案】
【详解】∵a＝2，B＝，△ABC的面积等于＝acsin B＝×2×c×，
∴c＝1.∴由余弦定理可得b＝＝＝.
15．【答案】[，]
【详解】因为点C为的中点，AB＝2，所以||＝，∠CAB＝，
所以|＋|2＝(＋)2＝2＋2＋2·＝||2＋||2＋2||||cos＝||2＋2||＋2＝(||＋1)2＋1.
因为点M为线段AB上的一动点(含端点)，所以0≤||≤2，所以2≤(||＋1)2＋1≤10，所以|＋|的取值范围是[，]．
16．【答案】
【详解】由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，得bcsin 120°＝cm＋bmsin 30°，化简得bc＝bm＋2cm，即＋＝.
b＋c＝(b＋c)××＝×≥×(2 ＋3)＝×(2 ＋3)，当且仅当＝，即b＝c时，b＋c取到最小值，此时＝＝＝.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．【答案】(1)【解】设B(x，y)，则x＝||＋||cos(π－∠OAB)＝5，y＝||sin(π－∠OAB)＝，∴B(5，)，∴＝＋＝(5，)＋(－2，2 )＝(3，3 )，∴C(3，3 )．
(2)【证明】如图，连接OC，
∵＝(3，3 )，＝(1，)，∴＝3，∴∥且||≠||.
又||＝4，||＝＝4，∴||＝||，∴四边形OABC为等腰梯形．
18．【答案】(1)∵b⊥c，∴b·c＝b·[xa＋(1－x)b]＝xb·a＋(1－x)b2＝－5x＋5(1－x)＝0，解得x＝.
(2)|c|2＝[xa＋(1－x)b]2＝x2a2＋2x(1－x)a·b＋(1－x)2b2＝10x2－10x(1－x)＋5(1－x)2＝25x2－20x＋5＝25＋1.
当x＝时，|c|2有最小值1，即|c|有最小值1.
此时，c＝a＋b，a·c＝a·＝a2＋a·b＝×10＋×(－5)＝1.
设向量a，c的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝.
19．【答案】(1)∵E是BC边的中点，F是边CD上靠近点C的三等分点，
∴＝＋＝＋.
在矩形ABCD中，＝，＝－，
∴＝－＋，
即λ＝－，μ＝，则λ＋μ＝－＋＝.
(2)以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示．
则A(0，0)，E(，1)．设F(x，2)，0≤x≤，
∴＝(x，2)，＝(x－，1)，
∴·＝x2－x＋2＝＋，0≤x≤，
∴·的取值范围为.
20．【答案】(1)∵2bcos C＝2a－c，
∴2sin Bcos C＝2sin A－sin C，
∴2sin Bcos C＝2sin(B＋C)－sin C，
2sin Bcos C＝2sin Bcos C＋2cos Bsin C－sin C，
∴2cos Bsin C＝sin C.
∵C∈(0，π)，sin C≠0，
∴cos B＝.
∵B∈(0，π)，∴B＝.
(2)若选①，设△ABC的外接圆半径为R，则π＝π·R2，∴R＝，
∴b＝2Rsin B＝2××＝4.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得16＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，
当且仅当a＝c时，等号成立．
则有S△ABC＝acsin B≤×16×＝4 ，即△ABC面积的最大值为4 .
若选②，∵a＋b＋c＝12，
∴b＝12－(a＋c)，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得[12－(a＋c)]2＝a2＋c2－ac，
则ac＝8(a＋c)－48，
又a＋c≥2，
∴ac－16＋48≥0，
∴ac≥144(舍)或ac≤16，当且仅当a＝c时等号成立，
∴S＝acsin B＝ac≤×16＝4 ，当且仅当a＝c时等号成立，即△ABC面积的最大值为4 .
若选③，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得16＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，
当且仅当a＝c时，等号成立．
∴S△ABC＝acsin B≤×16×＝4 ，即△ABC面积的最大值为4 .
21．【答案】在△BCD中，BC＝1，∠BDC＝60°，∠CBD＝θ.
由正弦定理得＝，
∴BD＝＝cos θ＋sin θ.
在△ABD中，AB＝1，∠ABD＝60°＋θ.
由余弦定理，得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos (60°＋θ)＝12＋(cos θ＋sin θ)2－2×1×(cos θ＋sin θ)×(cos θ－sin θ)＝1＋sin2θ＋sin θcos θ＝1＋×＋sin 2θ＝＋sin(2θ－30°)．
∴当2θ－30°＝90°，即θ＝60°时，跑道AD最长．
22．【答案】
【解】(1)由＝(＋)可得2＝(＋)2＝2＋·＋2，即＝×12＋·＋×22, 解得·＝－1.cos∠BAC＝＝－，又0°<∠BAC<180°，
所以∠BAC＝120°.
S△ABC＝AB·ACsin 120°＝.
(2)因为＝λ，所以AE是∠BAC的平分线．
由S△ABE＋S△ACE＝S△ABC可得 AB·AE·sin 60°＋AC·AE·sin 60°＝AB·AC·sin 120°，解得AE＝.
设＝c, ＝b，|b|＝|c|＝1，
则 |b＋c|＝
＝
＝＝1.
又＝λ，所以 λ＝，
＝(c＋b)．
在△ABC中，由余弦定理得
||2＝1＋4－2×1×2×cos 120°＝7，则||＝.又因为D为BC的中点，所以||＝，||2＝||2＋||2，所以∠BAD＝90°，∠DAC＝30°.
则·＝(c＋b)·＝(c·＋b·)＝|b|·||cos 30°＝×1××＝.
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