人教版九年级数学春学期开学考试测试题（含答案）

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人教版九年级数学春学期开学考试测试题（含答案）
一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得，若点在AB上，则的长为（　　）
A． B．4 C． D．5
2．二次函数与x轴交于（1，0）、（－3，0），则关于x的方程的解为（　　）
A．1，3 B．1，－5 C．－1，3 D．1，－3
3．下列不是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
4．2022年新能源车企迎来了更多的关注，如图是四款新能源汽车的标志，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知点、、在函数上，则、、的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，已知四边形两条对角线相交于点，，，，则的值为（　　）
A．6 B．7 C．12 D．16
7．如图，，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线BP交于点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．1
8．如图，△ABC的边AC经过⊙O的圆心O，BC与⊙O相切于B，D是⊙O上的一点，连接AD，BD，若∠C＝50°，则∠ADB的大小为（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
9．如图，在矩形ABCD中，AB＞AD，∠DAB的平分线与CD交于点E，过点C作CF⊥AE于点F，连接BF，DF．有下列结论：①DE＝BC；②DF＝BF；③∠CDF＝∠CBF；④B，C，D，F四点在同一个圆上．其中正确结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，以下4个结论，其中正确结论的是（　　）
A．abc＞0 B．4a+2b+c＝0
C．a+b＞m（am+b） D．（a+c）2＜b2
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．点关于原点对称的点的坐标为　 　．
12． 关于的二次函数，在时有最大值6，则　 　．
13．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣2，0），（0，4），对称轴在y轴右侧，有下列结论：
①a＜0；
②0＜b＜2；
③关于x的方程ax2+bx+c＝9始终有两个不等根；
④直线y＝ax+c（a≠0）与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）始终有两个交点．
其中正确结论的序号为 　 　．
14．若将抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则得到的抛物线的解析式是 　 　．
15．如图，内接于，连接并延长交于点D，交于点E，若，则的长为　 　.
16．已知点，在抛物线的图象上，判断 　.
17．已知方程有一个根是m，则代数式的值为　 　.
三、解答题：第18，19.20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。
18．已知二次函数与轴只有1个交点，且经过点，求二次函数的表达式．
19．关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1＝0，试求b，c的值．
20．如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得∥，求的度数．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，OABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A(1，0)，B(0，2)，抛物线y=x2+bx-2过点C．求抛物线的表达式．
22．如图，是的直径，，过D作，垂足为点E，的延长线交于点F，，求的度数和的长．
23．已知是的直径，点在上，为的中点.
（Ⅰ）如图，连接，，求证：；
（Ⅱ）如图2，过点作交于点，直径交于点，若为中点，的半径为2，求的长.
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象交x轴于A（4，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，连接AC.
（1）填空：该抛物线的函数解析式为　 　，其对称轴为直线　 　；
（2）若P是抛物线在第一象限内图象上的一动点，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q，试求线段PQ的最大值；
（3）在（2）的条件下，当线段PQ最大时，在x轴上有一点E（不与点O，A重合），且EQ=EA，在x轴上是否存在点D，使得△ACD与△AEQ相似？如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由.
25．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x+3交抛物线于A、D两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上，连接AP、DP、BD，设点P的横坐标为t，若S△APD＝S△ABD，求t的值．
（3）在（2）的条件下，若点P在第三象限，作直线PC，点E为y轴左侧抛物线上一点，过点作EF⊥PC于F，将△EFC绕点C顺时针旋转a，且tana＝，若点E的对应点E'刚好落在坐标轴上，求点E的坐标.
参考答案
1． A2． D3． C4． C5． A6． B7． D8． C9． D10． D
11．（-1，5）
12． 2或
13．①②④
14． y＝﹣ （x+1）2﹣3
15．
16． >
17． 2018
18．解：二次函数与轴只有1个交点，则，
即，
解得，
∴，
把代入得
∴，
∴．
19．解：2（x2﹣2x+1）+bx﹣b+c＝0，
2x2+（b﹣4）x+2﹣b+c＝0，
所以b﹣4＝﹣3，2﹣b+c＝﹣1，
解得b＝1，c＝﹣2．
20．解：∵∥且，
∴，
∵绕点A旋转到的位置，
∴，，
∴，
在中根据内角和定理即可得，
∴，
∴．
21．解：过点C作CD⊥x轴于点D，
则∠CAD+∠ACD= 90°，
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，
∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD，
又∵AB=AC，∴△AOB≌△CDA(ASA)，∴CD=OA=1，AD=OB=2，
∴OD=OA+AD=3，∴点C的坐标为(3，1)，
∵点C(3，1)在抛物线y= x2+bx-2上．∴1= ×9+3b-2，解得b= ，
∴抛物线的表达式为y= x2-x-2．
22．解：如图，连接，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∵，，且是直径，
∴，，
∴，，
∴．
23．解：（Ⅰ）证明：如图连接，
为的中点，
，
，
，
，
，
；
（Ⅱ）如图，连接，
，为中点，
，
，
，
是的直径，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
的半径为2，
，
.
24．（1）；
（2）解：∵A(4，0)，C(0，3)，
∴直线AC的解析式为：
设，则
∴
∵P是抛物线在第一象限内图象上的一动点，
∴0∴当x=2时，PQ的最大值为3；
（3）解：不存在，点D的坐标为或( 4，0).
25．（1）解：直线y＝x+3与x轴的交点A（﹣3，0），
将点A代入y＝x2+bx﹣3，
∴9﹣3b﹣3＝0，
解得b＝2，
∴y＝x2+2x﹣3
（2）解：令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴B（1，0），
当x2+2x﹣3＝x+3时，解得x＝2或x＝﹣3，
∴D（2，5）
∴S△ABD＝ 4×5＝10，
∵S△APD＝S△ABD，
∴S△APD＝10，
过点P作PG∥y轴交AD于点G，
∵点P的横坐标为t，
∴P（t，t2+2t﹣3），G（t，t+3），
∴PG＝|t2+2t﹣3﹣t﹣3|＝|t2+t﹣6|，
∴ |t2+t﹣6|×5＝10，
解得t＝﹣2或t＝1（舍）或t＝ 或t＝ ，
∴t的值为﹣2或 或 ；
（3）解：∵P点在第三象限，
∴P（﹣2，﹣3），
∴CP∥x轴，
设E（m，m2+2m﹣3），则F（m，﹣3），
∴EF＝m2+2m，FC＝﹣m，
当E'点在x轴上时，过点F'作MN⊥x轴交于点M，交CF于点N，
∵∠FCF'＝α，∠E'F'C＝90°，
∴∠MF'E'＝α，
∵tana＝ ，
∴MF'＝ E'F'，NF'＝ CF'，
∴ （m2+2m）+ （﹣m）＝3，
解得m＝ 或m＝ （舍）；
∴E（ ， ）；
当E'在y轴上时，过点E作EK⊥y轴交于点K，
由旋转可知∠ECE'＝α，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得m＝﹣ 或m＝0（舍），
∴E（﹣ ， ）；
综上所述：E点坐标为（ ， ）或（﹣ ， ）
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