2022-2023学年九年级数学下册北师大版 2.2二次函数的图象与性质同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年九年级数学下册北师大版 2.2二次函数的图象与性质同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 180.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-13 11:34:23 | ||
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文档简介
2.2 二次函数的图象与性质
同步练习
一、单选题
1．下列关于二次函数的图像和性质的叙述中，正确的是（ ）
A．点在函数图像上 B．开口方向向上
C．对称轴是直线 D．与直线有两个交点
2．已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
4．用配方法将二次函数化为的形式为（ ）
A． B． C． D．
5．点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是( )
A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0
C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对
7．已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A．10 B．22 C．34 D．142
8．如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，的值随值的增大而增大
C．点的坐标为 D．
9．如图，在正方形中，，点P从点A出发沿路径向终点C运动，连接，作的垂直平分线与正方形的边交于M，N两点，设点P的运动路程为x，的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
10．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-1
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上的两点，将抛物线的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为_____．
12．将二次函数的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位．
（1）若平移后的二次函数图象经过点，则a＝______．
（2）平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值为______．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与交于点A．过点A作轴的垂线，分别交两条抛物线于点B、C(点B在点A左侧，点C在点A右侧)，则线段BC的长为____．
14．如图，点O是正方形ABCD的对称中心，射线OM，ON分别交正方形的边AD，CD于E，F两点，连接EF，已知，．
（1）以点E，O，F，D为顶点的图形的面积为_________；
（2）线段EF的最小值是_________．
15．如图，等腰的三个顶点分别在等边的三条边上，，已知，则面积的最小值是___________．
三、解答题
16．已知二次函数（m是常数）．
(1)若，
①该二次函数图像的顶点坐标为______；
②当时，该二次函数的最小值为______；
③当时，该二次函数的最小值为______．
(2)当时，该二次函数的最小值为1，求常数m的值．
17．已知抛物线的图象经过点，过点A作直线l交抛物线于点．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)将抛物线向下平移个单位，使顶点落在直线l上，求m，n的值．
18．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（-1 ，0），C（0，3）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
19．如图，已知抛物线y＝x2﹣5x+4与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状，并说明理由；
(3)如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ.在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由.
20．如图，点在抛物线C：上，且在C的对称轴右侧．
(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程．
21．已知抛物线y=ax2 +bx+ l经过点（1，-2）， （-2，13）.
(1)求a，b的值；
(2)若（5，y1），（n，y2）是抛物线上不同的两点，且y2=12-y1，求n的值；
(3)将此抛物线沿x轴平移m（m>0）个单位长度，当自变量x的值满足-1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为6，求m的值．
参考答案：
1．D2．C3．B4．D5．B6．D7．C8．D9．A10．D
11．4
12． 3或1
13．6
14． 1
15．
16．(1)①；②2；③3
(2)或
17．(1)；
(2)3；2
18．(1)
(2)点M坐标（1，2）
(3)存在，点P坐标为（1，6），（1，），（1，），（1，）
19．（1）解：对于y＝x2﹣5x+4，令y＝0，则0＝x2﹣5x+4，
∴x1＝4，x2＝1，
∴点A（1，0），点B（4，0），
令x＝0，则y＝4，
∴点C（0，4）；
（2）解：四边形OCPQ为平行四边形，理由如下：
∵点B的坐标为（4，0），点C（0，4），
设直线BC的表达式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+4，
设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），
则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
故PQ有最大值，
当x＝2时，PQ的最大值为4＝CO，
∴PQ＝CO，PQOC，
∴四边形OCPQ为平行四边形；
（3）解：∵D是OC的中点，点C（0，4），
∴点D（0，2），
由（2）知：当x＝2时，PQ的最大值为4，
当x＝2时，y＝x2﹣5x+4＝﹣2，
∴Q（2，﹣2），
由点D、Q的坐标，同理可得，直线DQ的表达式为y＝﹣2x+2，
过点Q作QH⊥x轴于点H，
则QHCO，故∠AQH＝∠ODQ，
而∠DQE＝2∠ODQ.
∴∠HQA＝∠HQE，
则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，
∴设直线QE的表达式为y＝2x+r，
将点Q的坐标代入上式并解得r＝﹣6，
∴直线QE的表达式为y＝2x﹣6，
联立y＝x2﹣5x+4得，
解得或（不合题意，舍去），
∴点E的坐标为（5，4），
设点F的坐标为（0，m），
∴BE2＝（5﹣4）2+（4﹣0）2＝17，
BF2＝m2+42＝m2+16，
EF2＝（m﹣4）2+52，
当BE＝BF时，即16+m2＝17，解得m＝±1；
当BE＝EF时，即25+（m﹣4）2＝17，方程无解；
当BF＝EF时，即16+m2＝25+（m﹣4）2，解得m＝ ；
故点F的坐标为（0，1）或（0，﹣1）或（0，）.
20．(1)对称轴为直线，的最大值为4，
(2)5
21．(1)a=1，b=-4
(2)n的值为-1
(3)m的值为4或6
同步练习
一、单选题
1．下列关于二次函数的图像和性质的叙述中，正确的是（ ）
A．点在函数图像上 B．开口方向向上
C．对称轴是直线 D．与直线有两个交点
2．已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
4．用配方法将二次函数化为的形式为（ ）
A． B． C． D．
5．点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是( )
A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0
C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对
7．已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A．10 B．22 C．34 D．142
8．如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，的值随值的增大而增大
C．点的坐标为 D．
9．如图，在正方形中，，点P从点A出发沿路径向终点C运动，连接，作的垂直平分线与正方形的边交于M，N两点，设点P的运动路程为x，的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
10．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-1
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上的两点，将抛物线的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为_____．
12．将二次函数的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位．
（1）若平移后的二次函数图象经过点，则a＝______．
（2）平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值为______．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与交于点A．过点A作轴的垂线，分别交两条抛物线于点B、C(点B在点A左侧，点C在点A右侧)，则线段BC的长为____．
14．如图，点O是正方形ABCD的对称中心，射线OM，ON分别交正方形的边AD，CD于E，F两点，连接EF，已知，．
（1）以点E，O，F，D为顶点的图形的面积为_________；
（2）线段EF的最小值是_________．
15．如图，等腰的三个顶点分别在等边的三条边上，，已知，则面积的最小值是___________．
三、解答题
16．已知二次函数（m是常数）．
(1)若，
①该二次函数图像的顶点坐标为______；
②当时，该二次函数的最小值为______；
③当时，该二次函数的最小值为______．
(2)当时，该二次函数的最小值为1，求常数m的值．
17．已知抛物线的图象经过点，过点A作直线l交抛物线于点．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)将抛物线向下平移个单位，使顶点落在直线l上，求m，n的值．
18．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（-1 ，0），C（0，3）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
19．如图，已知抛物线y＝x2﹣5x+4与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状，并说明理由；
(3)如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ.在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由.
20．如图，点在抛物线C：上，且在C的对称轴右侧．
(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程．
21．已知抛物线y=ax2 +bx+ l经过点（1，-2）， （-2，13）.
(1)求a，b的值；
(2)若（5，y1），（n，y2）是抛物线上不同的两点，且y2=12-y1，求n的值；
(3)将此抛物线沿x轴平移m（m>0）个单位长度，当自变量x的值满足-1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为6，求m的值．
参考答案：
1．D2．C3．B4．D5．B6．D7．C8．D9．A10．D
11．4
12． 3或1
13．6
14． 1
15．
16．(1)①；②2；③3
(2)或
17．(1)；
(2)3；2
18．(1)
(2)点M坐标（1，2）
(3)存在，点P坐标为（1，6），（1，），（1，），（1，）
19．（1）解：对于y＝x2﹣5x+4，令y＝0，则0＝x2﹣5x+4，
∴x1＝4，x2＝1，
∴点A（1，0），点B（4，0），
令x＝0，则y＝4，
∴点C（0，4）；
（2）解：四边形OCPQ为平行四边形，理由如下：
∵点B的坐标为（4，0），点C（0，4），
设直线BC的表达式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+4，
设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），
则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
故PQ有最大值，
当x＝2时，PQ的最大值为4＝CO，
∴PQ＝CO，PQOC，
∴四边形OCPQ为平行四边形；
（3）解：∵D是OC的中点，点C（0，4），
∴点D（0，2），
由（2）知：当x＝2时，PQ的最大值为4，
当x＝2时，y＝x2﹣5x+4＝﹣2，
∴Q（2，﹣2），
由点D、Q的坐标，同理可得，直线DQ的表达式为y＝﹣2x+2，
过点Q作QH⊥x轴于点H，
则QHCO，故∠AQH＝∠ODQ，
而∠DQE＝2∠ODQ.
∴∠HQA＝∠HQE，
则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，
∴设直线QE的表达式为y＝2x+r，
将点Q的坐标代入上式并解得r＝﹣6，
∴直线QE的表达式为y＝2x﹣6，
联立y＝x2﹣5x+4得，
解得或（不合题意，舍去），
∴点E的坐标为（5，4），
设点F的坐标为（0，m），
∴BE2＝（5﹣4）2+（4﹣0）2＝17，
BF2＝m2+42＝m2+16，
EF2＝（m﹣4）2+52，
当BE＝BF时，即16+m2＝17，解得m＝±1；
当BE＝EF时，即25+（m﹣4）2＝17，方程无解；
当BF＝EF时，即16+m2＝25+（m﹣4）2，解得m＝ ；
故点F的坐标为（0，1）或（0，﹣1）或（0，）.
20．(1)对称轴为直线，的最大值为4，
(2)5
21．(1)a=1，b=-4
(2)n的值为-1
(3)m的值为4或6