2023年广东省普通高中学业水平合格性模拟考试数学试卷（2）（含答案）

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2023年广东省普通高中学业水平合格性模拟考试（2）
数 学
本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时90分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场
号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．是虚数单位，复数等于（　　）
A． B． C． D．
2．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|0≤x≤3}，则A∩B等于（　　）
A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x≤2} C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x＜2}
3．命题：“ ，”的否定是（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．函数的定义域为（　　）
A． B． C． D．
6．已知函数，则的值是（　　）
A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4
7．函数的单调递增区间是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
8．如图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得到的25%分位数为（　　）
A．66.5 B．67 C．67.5 D．68
9．中国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”．如4＝2+2，6＝3+3，8＝3+5，…，现从3，5，7，11，13这5个素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（　　）
A． B． C． D．
10．下列函数中，在区间上单调递减的是（　　）
A． B． C． D．
11．在下列区间中，函数的零点所在区间是（　　）
A． B． C． D．
12．设a，b为实数，且a+b＝3，则2a+2b的最小值是（　　）
A．6 B． C． D．8
13．已知，若是第二象限角，则的值为（　　）
A． B． C． D．
14．设是边的中点，若，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．1
15．已知直线m、n与平面α、β，给出下列四个命题其中正确的是（　　）
A．若nα，nβ，则αβ B．若m⊥α，mβ，则α⊥β
C．若mα，nα，则mn D．若m⊥β，α⊥β，则mα
二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．
16．已知向量，，且，共线，则实数　 　．
17．已知是奇函数，且当时，，则的值为　 　．
18．函数（，）的部分图象如图所示，则
　 ．
18题图 19题图
19．如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则球的体积为　 　．
三、解答题：本大题共3小题，第20小题8分，第21小题14分，第22小题14分，共36分．解答须写出文字说明、证明过程及演算步骤．
20．某地居民用水采用阶梯水价，其标准为：每户每月用水量不超过15吨的部分，每吨3元；超过15吨但不超过25吨的部分，每吨4.5元；超过25吨的部分，每吨6元．
（1）求某户居民每月需交水费y（元）关于用水量x（吨）的函数关系式；
（2）若A户居民某月交水费67.5元，求A户居民该月的用水量．
21．如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcos∠BAC＝asinB．
（1）求∠BAC的大小；
（2）若AB⊥AD，AC＝，CD＝，求△ACD的面积．
22．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠BAD＝，PA＝PD，O为AD边的中点．
（1）证明：平面POB；
（2）若，，，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
2023年广东省普通高中学业水平合格性模拟考试（2）
数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C A C B D C
题号 9 10 11 12 13 14 15
答案 B A D B A D B
二、填空题
16． 17． 18． 19．
三、解答题：
20．解：（1）当0≤x≤15时，y＝3x；…………………1分
当15＜x≤25时，y＝45+4.5（x﹣15）＝4.5x﹣22.5；…………………2分
当x＞25时，y＝45+45+6（x﹣25）＝6x﹣60．…………………3分
∴某户居民每月需交水费y（元）关于用水量x（吨）的函数关系式为
．…………………4分
（2）∵A户居民某月交水费67.5元，
∴由（1）的函数关系式可得A户居民该月的用水量超过15吨，不超过25吨，…………………5分
∴4.5x﹣22.5＝67.5，…………………6分
解得x＝20（吨），…………………7分
答：A户居民该月的用水量为20吨．…………………8分
21．解：（1）在△ABC中，由正弦定理得：sinBcos∠BAC＝sin∠BACsinB．……1分
∵sinB≠0，…………………2分
∴cos∠BAC＝sin∠BAC，…………………3分
∴tan∠BAC＝1，…………………4分
∵∠BAC∈（0，π），…………………5分
∴∠BAC＝．…………………6分
（2）∵AB⊥AD，且∠BAC＝，
∴∠CAD＝，…………………7分
在△ACD中，由余弦定理得，CD2＝AC2+AD2﹣2×AC×ADcos∠CAD，………8分
∴5＝8+AD2﹣2××AD×，…………………9分
解得AD＝1或AD＝3，…………………10分
∴当AD＝1时，△ACD的面积为S＝，……………12分
当AD＝3时，△ACD的面积为S＝．……………14分
22．（1）证明：∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴AB＝BD＝AD，…………………1分
∵O为AD的中点，
∴AD⊥BO，…………………2分
∵O为AD的中点，PA＝PD，
∴AD⊥PO，…………………3分
∵PO∩BO＝O，PO 平面POB，BO 平面POB，
∴AD⊥平面POB．…………………6分
（2）解：∵，是正三角形，∴OB＝3，…………………7分
在Rt△PAO中，，，∴PO＝2，…………………8分
∵OB2+PO2＝＝＝PB2，∴PO⊥OB，…………………9分
∵AD⊥PO，且OB∩AD＝O，OB平面ABCD，AD平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，…………………11分
，…………………12分
∴四棱锥P﹣ABCD的体积为．…………14分
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