高中数学人教A版（2019）必修第二册分层练习8..5空间直线、平面的平行B（含答案）

一、单选题
1．已知直线a、b和平面，下面说法正确的是( )
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，则
2．若，是空间中两条不相交的直线，则过且平行于的平面（ ）
A．有且仅有一个 B．有一个或无数个 C．至多有一个 D．有无数个
3．在棱长为的正方体中，直线BD到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．在正方体中，棱长为3，E为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
5．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动．若平面AMN，则PA1的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
6．已知正方体的棱长为分别是棱 的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题
7．已知、是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ）
A．“经过两条平行直线，有且仅有一个平面”是平面的基本事实之一
B．“若，，则”是平面与平面平行的性质定理
C．“若，，，则”是直线与平面平行的判定定理
D．若，，，，则
8．在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，线段上有动点，棱 上点满足．以下说法中，正确的有（ ）
A．直线与是异面直线
B．直线平面
C．三棱锥的体积是1
D．三棱锥的体积是3
三、填空题
9．给出下列命题：
①任意三点确定一个平面；
②三条平行直线最多可以确定三个个平面；
③不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行；
④一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；
其中说法正确的有_____（填序号）.
10．设a，b是不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列结论：
①若，b∥，∥，则a∥b；
②若，，，则；
③若，A∈，过点A作直线l∥，则；
④平行于同一个平面的两个平面平行．
其中所有正确结论的序号是________．
11．在棱长为4的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面四边形内（不含边界）一点，若平面，则线段长度的最小值是___________.
12．在棱长为2的正方体中，为BC的中点．当点在平面内运动时，有平面，则线段MN的最小值为______．
四、解答题
13．已知平面α与平面β的交线为直线l，m为平面α内一条直线；n为平面β一条直线，且直线l、m、n互不重合．
(1)若m与n交于点P，判断点P与l的位置关系并证明；
(2)若，判断l与m的位置关系并证明．
14．已知平面平面，直线，，求证：.
15．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：
（1）BFHD1；
（2）EG平面BB1D1D．
16．如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点，.
（1）求三棱锥的体积；
（2）线段上是否存在点使得平面，若存在，求出的长，若不存在，说明理由.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据线面平行的判定定理和线面平行的性质即可判断．
【详解】对于A，若，，则或，故A错误；
对于B，若，，则或，故B错误；
对于C，若，，，则，故C正确；
对于D，若，，则，a与b相交，或a与b异面，故D错误．
故选：C．
2．B
【分析】根据空间中两条直线的位置关系，可以得到，两直线平行或者异面，当，平行时，根据线面平行的判定定理可知过直线且平行于直线的平面有无数个，当，异面时，在上取一点O，过O作，则 ,确定平面，则，此时过直线且平行于直线的平面有且只有一个．
【详解】∵，是空间中两条不相交的直线，∴，只可能平行或者异面．
当，平行时，则过直线且平行于直线的平面有无数个；
当，异面时，如图，
在上取一点O，过O作，则,确定平面，
∴，此时过直线且平行于直线的平面有且只有一个．
故选：B．
3．B
【分析】根据线面平行可得点到面的距离即为线到面的距离，根据等体积法即可求解.
【详解】因为,平面,平面,因此平面,故直线BD到平面的距离即为点到平面的距离；
为边长为2的等边三角形，故，,
设点到平面的距离为，由等体积法可得,即,
故选:B
4．C
【分析】根据题意运用基本事实作出截面，根据截面的几何特征求其面积即可.
【详解】延长交于点，连接交于点，如图，
在正方体中，面面，
面面，面面
，又
四边形是梯形，且为平面截正方体的截面.
又，在等腰梯形中，过作，
.
故选：C.
5．C
【分析】由平面，可以找到点在右侧面的运动轨迹，从而求出的最小值
【详解】
如图所示，取的中点,的中点，连接，
因为分别是棱 的中点，所以，，
又因为,,，
所以平面平面，平面，且点在右侧面，
所以点的轨迹是，且，，
所以当点位于中点处时，最小，
此时，.
故选：C
6．B
【分析】取的中点，连接，易证平面，平面，从而得到平面平面，即可得到的轨迹为线段，再求其长度即可.
【详解】取的中点，连接，如图所示：
分别是棱 的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
因为，，所以四边形为平行四边形，
所以.
又因为平面，平面，所以平面.
因为，所以平面平面.
因为点为底面四边形内（包括边界）的一动点，直线与平面无公共点，
所以的轨迹为线段，则.
故选：B
7．CD
【分析】根据立体几何中的公理可判断A选项；利用平面与平面平行的性质定理可判断B选项；利用线面平行的判定定理可判断C选项；分和两种情况进行讨论，由线面平行的性质和判定定理可判断D选项
【详解】解：“经过两条平行直线，有且仅有一个平面”是平面的基本事实的一个推论，故A错误；
“若，，则”是平面与平面平行的一个性质，故B错误；
“若，，，则”是直线与平面平行的判定定理，故C正确；
若，设过直线m的平面分别交，于直线a，b，如图所示：
∵，，，∴，
∵，，，
∴，∴，
∵，∴，∵，，∴；
若，，，则，故D正确，
故选：CD．
8．ABC
【分析】对A选项：可用异面直线的判定方法判断；
对B选项：可通过证明面面得到直线平面；
对C、D选项：将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积计算.
【详解】对A选项：异面直线的判断方法：经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线，
因为平面，平面，平面，直线，故直线与是异面直线.
对B选项：下面先证明面面，再证直线平面.
如图：连结与交于点，与交于点，
在正方形中，有，又，故，
又面， 面，
所以面，
又，面， 面，
所以 面，
面，面， ，
所以面面.
又面，故直线平面，所以B正确.
对选项C：，
，故C正确D不正确；
故选：ABC
9．②③
【解析】对四个选项进行逐一分析即可.
【详解】对①：根据公理可知，只有不在同一条直线上的三点才能确定一个平面，故错误；
对②：三条平行线，可以确定平面的个数为1个或者3个，故正确；
对③：垂直于同一个平面的两条直线平行，故正确；
对④：一个平面中，只有相交的两条直线平行于另一个平面，两平面才平行，故错误.
综上所述，正确的有②③.
故答案为：②③.
【点睛】本题考查立体几何中的公理、线面平行的判定，属综合基础题.
10．②③④．
【分析】利用空间线线、线面平行及面面平行的性质定理和判定定理分别分析四个命题，得到正确答案.
【详解】对于①，，b∥，，则b，或者异面，故①错误；
对于②，过作平面与平面交于，则，又，
故，又，则，故②正确；
对于③，故作平面与平面交于，则，，即重合，所以，故③正确；
对于④，根据面面平行的两个平面都与另一个平行，则这两个平面没有公共点，所以这两个平面平行，故④正确.
故答案为：②③④.
11．
【分析】取的中点，的中点，由面面平行的性质证明点轨迹就是线段，求出等腰底边上的高即得最小值．
【详解】如图，取的中点，的中点，连接，并连接，
由于点分别是棱的中点，
所以，
平面，平面，平面，
与，平行且相等，则是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
面，平面，
所以平面平面，
平面，平面，且平面平面，
所以，即点轨迹是线段，
正方形棱长为4，则，，
所以的最小值即为底边上高等于．
故答案为：．
12．
【分析】作出正方体，取的中点P，的中点，连接，，，易证平面平面，进而判断，由几何关系求得三边长，易判断到直线距离为线段MN的最小值，结合三角函数得解.
【详解】取的中点P，的中点，连接，，，如图所示．
∵P，N分别为，的中点，∴，
又平面，平面，平面，
P，Q分别为，的中点，∴．
又，四边形为平行四边形，，，
又平面，平面，平面，
，∴平面平面，∵平面，
∴平面，又点在平面内运动，
∴点在平面和平面的交线上即．
在中，，，．
∴，∴，
∴点到的最小距离，
∴线段的最小值为．
故答案为：
13．(1)，证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）结合点线面的位置关系即可证得结论；
（2）结合点线面的位置关系即可证得结论.
（1）
，
证明：，，，，．，．
（2）
，
证明：，，，，又，，．
14．证明见解析
【分析】过直线a作平面 ，使得，，根据线面平行的性质定理，得、，所以，根据线面平行的判定定理得，再根据线面平行的性质定理得，继而得证.
【详解】如图，过直线a作平面 ，使得，.
因为，，，所以.
同理可得，所以，又m不在平面上，而，所以.
因为，，所以，又，所以.
15．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）取BB1的中点M，连接MH，MC1，得HD1∥MC1，再证得MC1∥BF，可得结论；
（2）取BD的中点O，连接EO，D1O，先证明与平行且相等，可得GE∥D1O，从而可得线面平行．
【详解】证明：（1）如图所示，取BB1的中点M，连接MH，MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形，
所以HD1∥MC1．
又因为在平面BCC1B1中，BMFC1，BM=FC1
所以四边形BMC1F为平行四边形，
所以MC1∥BF，
所以BF∥HD1．
（2）取BD的中点O，连接EO，D1O，
则OE∥DC且OE＝DC，
又D1G∥DC且D1G＝DC，
所以OED1G，OE=D1G
所以四边形OEGD1是平行四边形，
所以GE∥D1O．
又D1O 平面BB1D1D，GE平面BB1D1D，
所以EG∥平面BB1D1D．
【点睛】易错点睛：本题考查证明线线平行与线面平行，解题关键是掌握线面平行的判定定理，解题时需要列出定理的所有条件，缺一不可，否则易出现错误．
16．（1）；（2）存在，.
【分析】（1）根据等体积转化法求解即可；
（2）取中点，连接，过作直线交于，连接，再证明此时满足平面，在根据几何关系求解即可.
【详解】解：（1）因为，，
所以，
因为平面，
所以
（2）取中点，连接，则，
因为平面，平面，
所以平面，
过作直线交于，连接，
因为平面，平面，
所以平面，
因为，
所以平面平面，所以平面，
因为，四边形是平行四边形，
所以
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