高中数学人教A版（2019）必修第二册分层练习8..5空间直线、平面的平行C（含答案）

一、单选题
1．已知正方体的棱长为分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若面，则线段的长度范围是（ ）
A． B． C． D．
2．在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是（ ）
A． B．
C． D．
3．体积为216的正方体中，点M是线段的中点，点N在线段上，，则正方体被平面AMN所截得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，在直角梯形中，，分别是上的点，且，（如图1）.将四边形沿折起，连接，，（如图2）.在折起的过程中，则下列表述：
①平面；
②四点B、C、E、F可能共面；
③，则平面平面；
④平面与平面可能垂直.
其中正确的是（ ）
A．①④ B．①③ C．②③④ D．①②④
5．如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是
A． B． C． D．
6．在棱长为1的正方体中，动点P在棱上，动点Q在线段上、若，则三棱锥的体积（ ）
A．与无关，与有关 B．与有关，与无关
C．与都有关 D．与都无关
二、多选题
7．如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，过的平面与棱，分别交于点.设.下列结论正确的是（ ）
A．四边形一定是菱形
B．平面
C．四棱锥的体积为定值
D．四边形的面积在区间上单调递增
8．如图，在直三棱柱中，，，，点M是棱的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．异面直线BC与所成的角为 B．在上存在点D，使平面ABC
C．二面角的大小为 D．
三、填空题
9．如图，一张矩形白纸，，，，分别为，的中点，现分别将，沿，DF折起，且、在平面同侧，下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的序号）
①平面平面时，
②当平面平面时，平面
③当、重合于点时，
④当、重合于点时，三棱锥的外接球的半径为
10．正方体中，分别是棱的中点，点在对角线上，给出以下命题：
①当在上运动时，恒有面；
②若三点共线，则；
③若，则面
④过M N Q三点的平面截正方体所得的截面是正六边形；
⑤若过点且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有条；过点且与直线和所成的角都为的直线有条，则．
其中正确命题为_____．(填写正确命题的编号)
11．在长方体中，，点分别为的中点，点在棱上，若平面，则四棱锥的外接球的体积为__________．
12．如图,一张矩形白纸ABCD,AB=10,AD=,E,F分别为AD,BC的中点,现分别将△ABE,△CDF沿BE,DF折起,且A、C在平面BFDE同侧,下列命题正确的是____________(写出所有正确命题的序号)
①当平面ABE∥平面CDF时,AC∥平面BFDE
②当平面ABE∥平面CDF时,AE∥CD
③当A、C重合于点P时,PG⊥PD
④当A、C重合于点P时,三棱锥P-DEF的外接球的表面积为150
四、解答题
13．正方体中：
（1）求AC与所成角的大小；
（2）若F分别为AD的中点，求与CF所成角的余弦值.
14．如图所示，在正方体中，点在棱上，且，点、、分别是棱、、的中点，为线段上一点，.
（1）若平面交平面于直线，求证：；
（2）若直线平面，
①求三棱锥的表面积；
②试作出平面与正方体各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹设平面与棱交于点，求三棱锥的体积.
15．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90 °，AB=BC=AA1=2，M，N分别是棱BC，A1C1的中点，点P在线段B1N上，，AC1交A1C于点S，若PS∥面B1AM.
（1）证明: PS//B1Q;
（2）求三棱锥P- B1AM的体积.
16．如图，在三棱柱中，，四边形为正方形，分别为与的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据题意，找去过与平面平行的平面，则可得到所在的平面，进而得到答案.
【详解】由题意，取的中点，的中点，连接，，，，，
作图如下：
在正方体中，易知，，，
则共面，平面，平面，
平面，同理可得：平面，
，平面平面，
当平面时，平面，
正方体的棱长为，
在中，，解得，同理，
在中，，解得，
则中边上的高，
即，
故选：D.
2．D
【分析】为确定F点位置，先找过与平面平行且与平面相交的平面，分别取的中点，连接，可知平面平面，故F在线段上，可知线面角为，分析其正切值即可求出.
【详解】设平面与直线交于点，连接，则为的中点.
分别取的中点，连接，则，
∵平面，平面，
∴平面，同理可得平面.
∵是平面内的两条相交直线，
∴平面平面，且平面，
可得直线平面，即点是线段上的动点.
设直线与平面所成角为，运动点并加以观察，可得：
当点与点（或）重合时，与平面所成角等于，此时所成角达到最小值，满足；
当点与中点重合时，与平面所成角达到最大值，
此时，∴与平面所成角的正切值构成的集合为，故选D.
【点睛】本题主要考查了面面平行的判定与性质，线面角，及线面角正切的最值问题，属于难题.
3．B
【解析】根据体积求出正方体棱长，根据面面平行性质补齐截面图形即可求解面积.
【详解】依题意得，N是的中点，，
则，
延长直线MN于P，延长交直线MN于Q，
连接AP交于E，连接AQ交于F，
作出截面AFNME如下图所示，
则中，
，
故的面积
=，
四边形MNFE的面积
，
故所求截面面积为.
故选:B.
【点睛】此题考查面面平行的性质的应用，根据性质补齐截面图形.
4．B
【分析】连接、交于点，取的中点，证明四边形为平行四边形，可判断命题①的正误；利用线面平行的性质定理和空间平行线的传递性可判断命题②的正误；连接，证明出，结合线面垂直和面面垂直的判定定理可判断命题③的正误；假设平面与平面垂直，利用面面垂直的性质定理可判断命题④的正误.综合可得出结论.
【详解】对于命题①，连接、交于点，取的中点、，连接、，如下图所示：
则且，四边形是矩形，且，为的中点，
为的中点，且，且，
四边形为平行四边形，，即，
平面，平面，平面，命题①正确；
对于命题②，，平面，平面，平面，
若四点、、、共面，则这四点可确定平面，则，平面平面，由线面平行的性质定理可得，则，但四边形为梯形且、为两腰，与相交，矛盾，所以，命题②错误；
对于命题③，连接、，设，则，
在中，，，则为等腰直角三角形，
且，，，且，
由余弦定理得，，
，又，，平面，
平面，，
，、为平面内的两条相交直线，所以，平面，
平面，平面平面，命题③正确；
对于命题④，假设平面与平面垂直，过点在平面内作，
平面平面，平面平面，，平面，
平面，
平面，，
，，，，，
又，平面，平面，，
，平面，平面，，
，，显然与不垂直，命题④错误.
所以正确的选项为：①③，
故选：B.
5．B
【详解】分析：先判断出点的位置，确定使得取得最大值和最小值时点的位置，然后再通过计算可求得线段长度的取值范围．
详解：如下图所示，分别取棱的中点M、N，连MN，，
∵分别为所在棱的中点，则，
∴MN∥EF，又MN 平面AEF，EF 平面AEF，
∴MN∥平面AEF．
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又平面AEF，AE 平面AEF，
∴∥平面AEF，
又，
∴平面∥平面AEF．
∵P是侧面内一点，且∥平面AEF，
∴点P必在线段MN上．
在中，．
同理，在中，可得，
∴为等腰三角形．
当点P为MN中点O时，，此时最短；点P位于M、N处时，最长．
∵，．
∴线段长度的取值范围是．
故选B．
点睛：本题难度较大，解题时要借助几何图形判断得出使得取得最值时的点P的位置，然后再根据勾股定理进行计算．
6．D
【分析】根据得出平面，所以点到平面的距离也即到平面的距离，得到点到平面的距离为定值，而底面的面积也是定值，并补随的变化而变化，进而得到答案.
【详解】因为为正方体，所以
因为平面，平面，所以平面，
所以点到平面的距离也即到平面的距离，也即点到平面的距离不随的变化而变化，设点到平面的距离为，过点作，根据正方体的特征可知：平面，因为平面，所以，，所以平面，则有，
因为且，所以四边形为平行四边形，所以，
所以点到的距离也即到的距离，且距离为1，所以（定值），
所以（定值），
则三棱锥的体积不随与的变化而变化，也即与与都无关.
故选：.
7．ABC
【分析】A．根据线线平行关系去证明；B．根据的位置关系结合线面平行的判定定理进行证明；C．根据等体积转化将变形为，然后根据条件去分析；D．根据线段长度以及勾股定理表示出，然后借助二次函数分析其单调性.
【详解】A．因为平面平面，且平面平面，平面平面，所以，
同理可知：，所以四边形为平行四边形，
又由题意可知，所以四边形为菱形，故A正确；
B．因为分别是棱的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，故正确；
C．由条件可知：，，，
因为，所以平面，所以到平面的距离即为，
又因为平面，平面，所以平面，
又，所以到平面的距离为，同理到平面的距离为，
所以，为定值，故C正确；
D．当，由对称性可知，所以，过作交于点，
所以，所以四边形为平行四边形，所以，
所以，所以，
所以，
所以，又在上单调递减，
所以在上单调递减，故D错误；
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：立体几何中求几何体体积常用的方法：
（1）直接法：所给的是规范几何体，且已知条件比较集中时，就按所给图象的方位用公式直接计算体积；
（2）等体积法（换底法）：当按所给图象的方位不易计算体积，可选择其中较集中的面作为底面，以便计算底面积和高；
（3）割补法：所给的是非规范的几何体，通过对图象的割补或体积变换，化为与已知条件直接联系的规范几何体，并作体积的加减法.
8．ABC
【分析】选项，连接，易知，故即为所求,再结合线面垂直的判定定理与性质定理即可证得，即；
选项，连接，交于点，连接，再取的中点，连接、，再由线面平行的判定定理即可得证；
选项，取的中点，连接、，则即为所求，求出的值，从而得解；
选项，在中，利用勾股定理分别算出、和的长，判断其结果是否满足即可．
【详解】选项，连接，由三棱柱的性质可知，，
即为异面直线与．
，，，即，
由直三棱柱的性质可知，平面，
平面，，
又，、平面，平面，
，即，选项正确；
选项，连接，交于点，连接，再取的中点，连接、，则，，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面，即选项正确；
选项，取的中点，连接、，
平面，即为二面角的平面角．
在中，，，，，即选项正确；
选项，在中，，，，
显然，即与不垂直，选项错误．
故选：．
【点睛】本题考查空间中线面的位置关系、角的求法，要求学生熟练掌握空间中线与面平行或垂直的判定定理与性质定理，以及通过平移的思想找出异面直线的平面角，并理解二面角的定义，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9．②
【分析】分别作出平面平面时，、重合于点时几何体图形，根据线面位置关系和长度关系证明判定，利用补图法求外接球的半径．
【详解】由题：矩形中，，，，分别为，的中点，
，
所以，同理可得，，
，
中，，所以，
由余弦定理，
当平面平面时，如图：
所以在折叠后的图形中，，
可得平面，平面，由于，
平面与平面都经过，则平面与平面重合，
所以四边形为平行四边形，，平面，平面
所以平面，所以②正确；
假设，则四边形为平行四边形，可得与矛盾，所以①矛盾；
当、重合于点时，如图：
由题可得：，，
，所以不可能，所以③错误；
三棱锥中，，
所以为直角三角形，，
，所以为直角三角形，
为直角三角形，
由补图法可知三棱锥的与以为长宽高的长方体外接球相同，
其直径为，
所以外接球的半径为，所以④不正确；
故答案为：②
【点睛】此题考查折叠问题中的位置关系的判断，关键在于根据折叠关系，找准不变的和变化的量，涉及外接球的问题，需要掌握常见几何体外接球大小的求法．
10．②③④⑤
【分析】①MN中点R，AC的中点S，设BD1与RS的交点是Q，若P与Q重合时，此时MN在平面PAC内，即可判断出正误；
②若A，P，M三点共线，由，由平行线的性质可得，，即可判断出正误；
③若，由②可得A，P，M三点共线，设对角线可得四边形OQC1M是平行四边形，于是C1Q∥OM，即可判断出正误；
④作出截面MNQ，可判断正误；
⑤若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有，4条．过点P且与直线和所成的角都为60°的直线有且只有3条，即可判断出正误．
【详解】①，可得MN∥AC， 由MN，AC确定的平面若经过P， 此时MN在平面PAC内，故①错误；
②若A，P，M三点共线， 由D1M∥AB， ，
则，故②正确．
③若，由②可得A，P，M三点共线，
设对角线BD∩AC=O， 连接OM，OQ，
则四边形OQC1M是平行四边形，C1Q∥OM， 而M点在平面APC内，
C1Q∥平面APC，因此③正确；
④作出过M，N，Q的截面，
可得正六边形MNKLQT，故④正确；
⑤若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有，4条，连接B1C，A1C1∥AC，
由正方体的性质可得△AB1C是等边三角形，
则点P取点D1，
则直线AD1，CD1 D1B1满足条件，
过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有且只有3条，则m+n=7条，
因此⑤正确．
故答案为：②③④⑤．
【点睛】本题主要考查了正方体的性质 平行线分线段成比例定理 线面平行的判定与性质定理 空间角，考查了空间想象能力 推理能力与计算能力，属于难题．
11．
【详解】如图，
取AB中点H，连接CH，HG，则CH∥AE，CH∥平面AEF，
又CG∥平面AEF，
∴平面CGH∥平面AEF，
可得EF∥GH，则G为AA1 的中点，
∴AG＝1，
则四棱锥G﹣ABCD的外接球的直径为以AB，AD，AH为棱的长方体的对角线，长为，
半径为，
则四棱锥G﹣ABCD的外接球的体积为．
故答案为.
12．①④
【详解】 在中，，在中，，所以，
由题意，将沿折起,且在平面同侧，
此时四点在同一平面内，平面平面，
平面平面，当平面平面时，得到,
显然，所以四边形是平行四边形，所以,
进而得到平面，所以①正确的；
由于折叠后，直线与直线为异面直线，所以与不平行，所以②错误的；
折叠后，可得,，其中,ZE ，所以和 不垂直，所以③不正确；
当重合于点时,在三棱锥中，和均为直角三角形，
所以为外接球的直径，即,
则三棱锥的外接球的表面积为，所以④是正确，
综上正确命题的序号为①④.
点睛：本题考查了命题的真假判定，空间直线与平面平行、垂直的位置关系的综合应用，以及球的组合体问题，对于求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径.
13．（1）；（2）.
【分析】（1）由是正方体，可得从而与所成的角就是与所成的角，根据三角形的几何性质即可求解.
（2）连接，交于，作交于，所以与所成的角就是与所成的角，在中利用余弦定理可求得与所成角的余弦值.
【详解】（1）如图所示，连接，，由是正方体，
易知，从而与所成的角就是与所成的角，
，，
即与所成的角为．
（2）连接，交于，作交于，所以与所成的角就是与所成的角，在底面正方形中，由正方形性质可知，是的三等分点，也是的三等分点，由可知是的三等分点，设正方体边长为2，得，，利用勾股定理可知,,,在中，，，，利用余弦定理可得
【点睛】本题考查空间中异面直线所成的角求法，解题的关键在于通过平移找到线线角,并根据几何性质，构造三角形利用余弦定理求解，属于中档题.
14．（1）答案见详解；（2）①；②作图步骤见解析，三棱锥 的体积为．
【分析】（1）根据面面平行的性质即可得到，再结合线线平行的传递性即可证明结论；
（2）①先根据直线平面得到，进而得到是的中点，然后依次求出三棱锥的四个面的面积再相加即可得到三棱锥的表面积；②根据公理“一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内”作出平面与正方体各个面的交线即可；根据四点共面，且三角形与三角形面积相等，那么三棱锥的体积等于三棱锥的体积，直接利用三棱锥的体积公式求解即可．
【详解】（1）在正方体中，
因为平面平面，平面平面，
所以，
因为点、 分别是棱、 的中点，
所以，
所以．
（2）①因为直线平面，平面，
所以，又因为△，
所以，
所以，
因为，
，
，
所以三棱锥的表面积为．
②作图步骤如下：
连接，过点作于点，连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点交的延长线于点，
再连接交于点，连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点，再连接，，，
则图中，，，，，即为平面与正方体各个面的交线．
设，由题知
，
所以，所以，
解得，
因为，
，，
所以，
如上图，设为线段的中点，可证点在平面内，且三角形与三角形面积相等，
所以，三棱锥的体积三棱锥的体积三棱锥的体积，
所以三棱锥 的体积为．
【点睛】本题考查面面平行的性质定理和线面平行的性质定理的应用，直线与平面垂直以及几何体的表面积和体积的求法，考查空间想象能力记忆计算能力，属于难题．
15．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据直三棱柱的性质，利用空间直线平行，垂直的性质分别进行判断即可；
（2）先证明，再证明是矩形，这样到平面与到平面的距离相等，因此．
【详解】（1）证明：连接交于点，连接，则由，，且是中点，
所以点是的重心，因此可得必过点，且，
因为平面，面，而面面，所以.
（2），，
，，即，
，
，
又，是矩形，
所以到平面与到平面的距离相等，
．
【点睛】关键点睛：第（1）问的关键是通过线面平行证明线线平行，第（2）问的关键是转化思想.
16．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）取AB中点O，连接OE，，通过证明四边形为平行四边形得出即可；
（2）求直线与平面所成角即可，过作于，可得平面平面，即即为直线与平面所成角，即可求解.
【详解】（1）取AB中点O，连接OE，，
在三棱柱中，四边形为平行四边形，F为中点，
，，
又分别为中点，，，
，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面；
（2）由（1），则直线与平面所成角即为直线与平面所成角，
，满足，
则，为等腰直角三角形，
过作于，是中点，，
四边形为正方形，，
，平面，，平面，
平面，，
又，，，
在中，，
所以，
，
，平面，
平面，平面平面，
即为直线与平面所成角，
，，，
，
，
故直线与平面所成角的正弦值.
【点睛】关键点睛：本题考查线面角的求解，解题的关键是转化为直线与平面所成角，通过证明平面平面得出即为直线与平面所成角.
答案第1页，共2页
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