高中数学人教A版（2019）必修第二册分层练习8..5空间直线、平面的平行A（含答案）

一、单选题
1．若直线平面，，且直线与点位于的两侧，，，，分别交平面于点，，若，，，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．
2．已知直线a、b和平面，下面说法正确的是( )
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，则
3．若，是空间中两条不相交的直线，则过且平行于的平面（ ）
A．有且仅有一个 B．有一个或无数个 C．至多有一个 D．有无数个
4．已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点 ，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．线段上存在点 使得
B．平面
C．的面积与的面积相等
D．三棱锥的体积不为定值
二、多选题
7．设有下列四个命题正确的是（ ）
A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
B．过空间中任意三点有且仅有一个平面
C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行
D．若直线平行平面，则平面内有无数条直线与平行
8．已知、是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ）
A．“经过两条平行直线，有且仅有一个平面”是平面的基本事实之一
B．“若，，则”是平面与平面平行的性质定理
C．“若，，，则”是直线与平面平行的判定定理
D．若，，，，则
三、填空题
9．如果直线直线n，且平面，那么n与的位置关系是______．
10．如图，在正方体中，点，，分别是，，的中点，给出下列5个推断：
①平面； ②平面；
③平面； ④平面平面；
⑤平面平面.
其中推断正确的序号是_________.
11．如图，在长方体中，过的中点作一个与平面平行的平面交于点，交于点，则_________．
12．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，点是棱上一点，，若且满足平面，则______．
四、解答题
13．如图所示，在三棱柱中，D为的中点，连接求证平面.
14．如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，，D为AC的中点，，.
(1)求证：平面；
(2)求三棱柱的表面积
15．四面体ABCD如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面，分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H．证明：E、F、G、H四点共面且四边形EFGH是平行四边形．
16．如图，正方体中，、、、分别是相应棱的中点，证明：平面平面．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据线面平行可得线线平行，从而可求.
【详解】∵，平面，平面，
∴，∴，即，∴.
故选：B.
2．C
【分析】根据线面平行的判定定理和线面平行的性质即可判断．
【详解】对于A，若，，则或，故A错误；
对于B，若，，则或，故B错误；
对于C，若，，，则，故C正确；
对于D，若，，则，a与b相交，或a与b异面，故D错误．
故选：C．
3．B
【分析】根据空间中两条直线的位置关系，可以得到，两直线平行或者异面，当，平行时，根据线面平行的判定定理可知过直线且平行于直线的平面有无数个，当，异面时，在上取一点O，过O作，则 ,确定平面，则，此时过直线且平行于直线的平面有且只有一个．
【详解】∵，是空间中两条不相交的直线，∴，只可能平行或者异面．
当，平行时，则过直线且平行于直线的平面有无数个；
当，异面时，如图，
在上取一点O，过O作，则,确定平面，
∴，此时过直线且平行于直线的平面有且只有一个．
故选：B．
4．B
【解析】设点为的中点，取的中点，连接，，然后证明平面即可.
【详解】如图，设点为的中点，取的中点，连接，，
则，又平面，平面，∴平面，
易知，故平面与平面是同一个平面，
∴平面，此时，
故选：B
5．A
【分析】利用线面平行判定定理可知B，C，D均不满足题意，A选项可证明出直线AB与平面MNQ不平行，从而可得答案.
【详解】对于选项B，如图1，连接CD，
因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CDMQ，
由于ABCD，所以ABMQ，
因为平面，平面，所以AB平面MNQ，
B选项不满足题意；
对于选项C，如图2，连接CD，
因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CDMQ，
由于ABCD，所以ABMQ，
因为平面，平面，所以AB平面MNQ，
C选项不满足题意；
对于选项D，如图3，连接CD，
因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CDNQ，
由于ABCD，所以ABNQ，
因为平面，平面，所以AB平面MNQ，
可知D不满足题意；
如图4，取BC的中点D，连接QD，
因为Q是AC的中点，
所以QDAB，
由于QD与平面MNQ相交，故AB与平面MNQ不平行，
A正确.
故选：A
6．B
【分析】利用异面直线的定义可判断A；根据线面平行判定定理可判断B；根据三角形的高不相等可判断C；直接计算体积可判断D.
【详解】线段上不存在点 使得，
因为在平面平面外，在平面内，
所以，是异面直线，所以A不正确；
连接，几何体是正方体，所以，平面，平面，可知平面，所以B正确.
到的距离为，到的距离大于上下底面中心的连线，
则到的距离大于1，
∴的面积大于的面积，故C错误；
到平面的距离为，的面积为定值，
∴三棱锥的体积为定值，故D不正确.
故选：B.
7．AD
【分析】根据平面的有关知识，线线平行、线面平行的有关知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】A选项，两两相交且不过同一点的三条直线，共有个不在一条直线上的个交点，确定一个平面，A选项正确.
B选项，空间中任意三点，若三点共线，则过空间中的这三点有无数个平面，B选项错误.
C选项，空间两条直线不相交，可能异面，C选项错误.
D选项，直线平行平面，则过直线l的平面与平面的交线都与平行，而这样的交线有无数条，所以D选项正确.
故选：AD
8．CD
【分析】根据立体几何中的公理可判断A选项；利用平面与平面平行的性质定理可判断B选项；利用线面平行的判定定理可判断C选项；分和两种情况进行讨论，由线面平行的性质和判定定理可判断D选项
【详解】解：“经过两条平行直线，有且仅有一个平面”是平面的基本事实的一个推论，故A错误；
“若，，则”是平面与平面平行的一个性质，故B错误；
“若，，，则”是直线与平面平行的判定定理，故C正确；
若，设过直线m的平面分别交，于直线a，b，如图所示：
∵，，，∴，
∵，，，
∴，∴，
∵，∴，∵，，∴；
若，，，则，故D正确，
故选：CD．
9．或.
【分析】利用线面平行的判定定理和直线与平面的位置关系即可得出结果.
【详解】由题意知，直线直线，且平面，
当不在平面内时，平面内存在直线，
则，符合线面平行的判定定理，所以；
当在平面内时，也符合条件，
所以与的位置关系为或在平面内.
故答案为：或.
10．①③⑤
【解析】根据线面平行和面面平行的判断方法依次判断即可.
【详解】对于①，可知在正方体中，平面平面，且平面，平面，故①正确；
对于②，，是，的中点，，与平面相交，故与平面不平行，故②错误；
对于③， ，是，的中点，，平面，平面，平面，故③正确；
对于④，由②得与平面不平行，则平面与平面不平行，故④错误；
对于⑤，由①得，平面，平面，平面，由③得，平面，平面，平面，，平面平面，故⑤正确.
故答案为：①③⑤.
【点睛】本题考查线面平行和面面平行的判断，解题的关键是正确理解线面平行和面面平行的判定定理，正确找出图中的平行关系.
11．##
【分析】由线面平行的性质可得，，再由为的中点，可得，分别为，的中点，然后利用三角形中位线定理可得结果.
【详解】∵平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，
∴由两个平面平行的性质定理可得，．
∴，
又∵为的中点，
∴，分别为，的中点，
∴，即．
故答案为：
12．
【解析】如图，连接，交于点，连接，在线段取一点使得，连接，可证平面平面，从而可得.
【详解】如图，连接，交于点，连接，则，
在线段取一点使得，则.
连接，则，
又因为平面，平面，
所以平面.
因为平面且满足，故平面平面.
因为平面平面，平面平面，则.
所以，即为所求.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：已知线面平行，则可以得到两类平行关系-线线平行和面面平行，前者可找过已知线的平面，该平面和已知平面的交线与已知直线平行，后面可构造过已知的直线的平面，它与已知的平面的平行.
13．见解析
【分析】要证平面，只要证与平面内某条直线平行即可.因为D是边的中点，所以考虑从中位线入手，在平面内找与平行的直线，再结合线面平行的判定定理，证得平面.
【详解】如图，连接，设，连接.
由题意知四边形是平行四边形，
所以O是的中点.
又D是的中点，所以是的中位线，即.
又平面，平面，所以平面.
【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.
14．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于点，连接，可证得∥，然后利用线面平行的判定定理可证得结论，
（2）由已知条件可得三个侧面是矩形，两个底面为直角三角形，然后根据已知的数据可求得答案
（1）
证明：连接交于点，连接，
因为四边形为矩形，
所以为的中点，
因为，D为AC的中点，所以∥，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）
因为侧棱底面ABC，
所以三棱柱为直三棱柱，
所以侧面均为矩形，
因为，所以底面均为直角三角形，
因为，，所以,
所以三棱柱的表面积为
15．证明见解析
【分析】根据线面平行的性质定理，分别证得∥，∥，则得∥，从而可证得E、F、G、H四点共面，同理可证得∥，再根据平行四边形的判定定理可得结论
【详解】因为∥平面，平面平面，平面平面，
所以∥，∥，
所以∥，
所以E、F、G、H四点共面，
同理可证得∥，∥，
所以∥，
所以四边形EFGH是平行四边形．
16．证明见解析
【分析】利用线面平行的判定可得平面，再证明平面，然后利用面面平行的判定可得平面平面．
【详解】证明：连接，由题得，
又
所以四边形是平行四边形，所以，
所以，
平面，平面，
平面，
在正方形中，，分别是棱，的中点，
且，
又 且，
且，
四边形是平行四边形，
，
又平面，平面，
平面，
平面，平面，且，
平面平面．
答案第1页，共2页
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