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5.1 相交线
第五章 相交线与平行线
5.1.1 相交线
观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系.
导入新课
情境引入
直线与直线相交于一点，并形成了四个角.
你发现了什么？
活动：握紧把手时，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角也相应变小直到剪开布片.如果把剪刀的构造看作两条相交的直线，这就关系到两条相交直线所成的角的问题.
讲授新课
邻补角与对顶角的概念
一
思考 剪刀剪东西的过程中,你能说说∠AOC与∠AOD,
∠AOC与∠BOD这两对角的位置保持怎样的关系吗？
A
O
C
B
D
∠AOC和∠BOD有公共顶点，且∠AOC的两边分别是∠BOD两边的反向延长线.
∠AOC和∠AOD有一条公共边AO，且∠AOC的另一边是∠AOD另一边的反向延长线.
1
2
3
4
A
B
C
D
O
邻补角：如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为____________，那么这两个角互为邻补角.图中∠1的邻补角有___________.
反向延长线
∠2, ∠4
一、邻补角的概念
1
2
3
4
A
B
C
D
O
对顶角：如果一个角的两边是另一个角的两边的 ，那么这两个角互为对顶角.图中∠1的对顶角是______.
反向延长线
∠3
二、对顶角的概念
猜想：对顶角相等
C
O
A
B
D
4
3
2
1
问题：∠1 与∠3在数量上又有什么关系呢？
邻补角与对顶角的性质
二
思考：你能利用有关知识来验证∠1 与∠3的数量关系吗？
在上学期我们已经知道互为补角的两个角和为180°，因而互为邻补角的两个角和为180°.
O
A
B
C
D
4
3
2
1
已知：直线AB与CD相交于O点(如图),试说明:∠1=∠3， ∠2=∠4.
解：∵直线AB与CD相交于O点,
∴∠1+∠2=180°
∠2+∠3=180°，
∴∠1=∠3.
同理可得∠2=∠4.
应用格式：∵直线AB与CD相交于O点
∴∠1=∠3.
B
A
C
D
O
1
2
3
4
1.有公共顶点
归类
∠1和∠2、∠2和∠3、∠3和∠4、∠4和∠1
∠1和∠3、
∠2和∠4、
1.有公共顶点
位置关系
邻补角
对顶角
2.有一条公共边
3.另一边互为反向延长线
2.没有公共边
两直线相交
3.两边互为反向延长线
名称
考虑角的位置关系可以从角的顶点和角边入手!
数量关系
对
顶
角
相
等
邻
补
角
互
补
总结归纳
∴∠2=180°－∠1=140°,
a
b
）
（
1
3
4
2
）
（
例 如图,直线a,b相交,∠1=40°,求 ∠2,∠3,∠4的度数
∵∠3=∠1,
∠1=40°,
∴∠3=40°,
解:
∴∠4=∠2=140°.
变式1：若∠2是∠1的3倍，求∠3的度数.
变式2：若∠2-∠1=40°，求∠4的度数.
典例精析
掌握邻补角和对顶角的性质是解题的关键!
方法
1.下列各图中， ∠1 ，∠2是对顶角吗？
(
)
1
2
(
)
1
2
(
)
2
1
2.下列各图中， ∠1 ，∠2是邻补角吗？
(
1
（
2
(
)
1
2
(
)
1
2
当堂练习
不是
是
不是
不是
是
不是
）
）
3.找出图中∠AOE的邻补角及对顶角,若没有请画出.
A
B
C
O
D
E
）
F
4.如图,直线AB，CD，EF相交于点O.
(1)写出∠AOC, ∠BOE的邻补角；
(2)写出∠DOA, ∠EOC的对顶角；
(3)如果∠AOC =50°,求∠BOD ，∠COB的度数.
A
E
D
B
F
C
O
解:(1)∠AOC的邻补角是∠AOD和
∠COB;∠BOE的邻补角是
∠EOA和∠BOF.
(2)∠DOA的对顶角是∠COB;
∠EOC的对顶角是∠DOF.
(3)∠BOD=∠AOC= 50°;
∠COB=180°-∠AOC=130°.
5. （应用题）在下图中，花坛转角按图纸要求这个角（红色标注的角）为135°；施工结束后，要求你检测它是否合格？请你设计检测的方法.
1
2
6.如图,直线AB,CD相交于点O， ∠EOC=70°，
OA平分∠EOC，求∠BOD的度数.
A
B
C
D
E
O
解：∵OA平分∠EOC,
∴∠AOC= ∠EOC=35°,
∴∠BOD=∠AOC=35°.
拓展题：观察下列各图，寻找对顶角（不含平角)
⑴ 如图a，图中共有 对对顶角；
⑵ 如图b，图中共有 对对顶角；
⑶ 如图c，图中共有 对对顶角；
⑷ 研究⑴～⑶小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成 对对顶角；
⑸ 若有10条直线相交于一点，则可形成 对对顶角.
图a
图b
图c
2
6
12
n(n-1)
90
角的
名称 特 征 性 质 相 同 点 不 同 点
对
顶
角
邻
补
角
对顶
角相
等
邻补
角互
补
②有公共顶点;
③没有公共边
①两条直线相交形成的角；
①两条直线相交而成；
②有公共顶点;
③有一条公共边
①都是两条直线相交而成的角；
③都是成对出现的
②都有一个公共顶点；
②两直线相交时，对顶角只有两对，邻补角有四对
①有无公共边；
课堂小结
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第五章 相交线与平行线
5.1 相交线
5.1.1 相交线
学习目标
1.理解相交线、邻补角、对顶角的概念;理解对顶角相等的性质.
2.通过学习邻补角、对顶角等概念,体会它们在解决实际问题中的作用,并能用它们解释生活中的一些现象.
自主探索
1.学生欣赏图片,阅读其中的文字.在我们生活的中,蕴涵着大量的相交线和平行线.那么两条直线相交形成哪些角 这些角又有什么特征
2.画直线AB,CD相交于点O,并说出图中4个角,两两相配共能组成几对角 各对角的位置关系如何 根据不同的位置怎么将它们分类 学生思考并在小组内交流,全班交流.
3.用量角器分别量一量各个角的度数,以发现各类角的度数之间有什么关系.
两直线相交 归类 特征 名称 大小关系
自主练习
1.下列各图中∠1,∠2是邻补角吗 为什么
2.下列各图中∠1,∠2是对顶角吗 为什么
3.下列图中∠1的对顶角是 ;∠1的邻补角是 ;一个角的对顶角有 个,邻补角最多有 个. 结论:∠2=( ),∠1=( ).文字语言叙述为 .
变式训练
1.如图,直线a,b相交,∠1=40°,求∠2,∠3,∠4的度数.
变式1:若∠2是∠1的3倍,求∠3的度数.
变式2:若∠2-∠1=40°,求∠4的度数.
2.如图,直线AB,CD交于点O,OE为射线,那么( )
A.∠AOC和∠BOE是对顶角 B.∠COE和∠AOD是对顶角
C.∠BOC和∠AOD是对顶角 D.∠AOE和∠DOE是对顶角
3.如上图中直线AB,CD交于点O,OE是∠BOC的平分线且∠COE=50°,那么∠AOE等于( )
A.80° B.100° C.130° D.150°
4.如上图,直线AB,CD交于点O,OE是∠BOC的平分线,请你补充一个条件,求出∠DOE.你补充的条件是 ,∠DOE= .
5.临海是一座历史文化古城,拥有很多的历史古迹.其中就有巾山双塔,为了实地测量古塔(如图1)外墙底角(如图2中∠ABC)的大小,李霞同学设计了两种测量方案:
方案1:延长AB到点D,量出∠CBD的度数,便知∠ABC的度数;
方案2:延长AB到点D,延长CB到点E,量出∠DBE的度数,便知∠ABC的度数.
请你解释方案1、方案2所应用的数学道理.
图1 图2
参考答案
自主探索
1.对顶角、邻补角;这些角都是两条直线相交形成的.
2.6对,相对或相邻,分成两类.
3.
两直线相交 归类 特征 名称 大小关系
∠1和∠2,∠2和∠3,∠3和∠4,∠4和∠1 1.有公共顶点2.有一条公共边3.另一边互为反向延长线 邻补角 和为180°
∠1和∠3,∠2和∠4 1.有公共顶点2.没有公共边3.两边互为反向延长线 对顶角 相等
自主练习
1.中间图形两角是邻补角
2.都不是
3.∠3 ∠2和∠4 1 2 ∠4 ∠3 对顶角相等
变式训练
1.解:∠3=∠1=40°,∠2=180°-∠1=180°-40°=140°,∠4=∠2=140°.
变式1:∠3=45°,
变式2:∠4=110°,
2.C
3.C
4.∠BOD=50° 15°
5.略
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