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5.1 相交线
5.1.2 垂线
学习目标
1.理解垂线、垂线段的概念,掌握点到直线的距离的概念和垂线的性质.
2.会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线;会度量点到直线的距离;会利用所学知识进行简单的推理.
自主探索
问题1:如下图,
(1)∠AOC的对顶角是哪个角 这两个角的关系怎样
(2)∠AOC的邻补角有几个 是哪几个角
问题2:如下图,当∠AOC=90°时,∠BOD,∠AOD,∠BOC等于多少度 为什么
自主练习
1.两条直线相交所成的四个角中,下列条件中能判定两条直线垂直的是( )
A.有两个角相等 B.有两对角相等
C.有三个角相等 D.有四对邻补角
2.下面四种判定两条直线的垂直的方法,正确的有( )
(1)两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角,则这两条直线互相垂直
(2)两条直线相交,只要有一组邻补角相等,则这两条直线互相垂直
(3)两条直线相交,所成的四个角相等,这两条直线互相垂直
(4)两条直线相交,有一组对顶角互补,则这两条直线互相垂直
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
3.如图所示,若直线m,n相交于点O,∠1=90°,则 .
4.若直线AB,CD相交于点O,且AB⊥CD,那么∠BOD= .
5.如图所示,BO⊥AO,∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5,那么∠COA= ,∠BOC的补角为 .
第3题图 第5题图
6.如图所示,直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,∠1=125°.求∠COE的度数.
7.如图所示,在铁路旁边有一张庄,现在要建一火车站,为了使张庄人乘火车最方便(即距离最近),请你在铁路上选一点来建火车站,并说明理由.
8.如图所示,∠ABC=90°,∠1=60°,过B作AC的垂线BO,垂足是O,过O作BC的垂线,垂足是D,若∠1=∠2,求∠ABO,∠BOD.
达标检测
点O是直线AB上的一点,OC是射线,OE平分∠AOC,OF平分∠BOC,试确定OE与OF的位置关系.并说明理由.
参考答案
自主探索
问题1:(1)∠BOD,相等 (2)两个,∠AOD和∠BOC
问题2:都是90°,根据邻补角互补、对顶角相等得出结论.
自主练习
1.C 2.A
3.∠COE=90°-(180°-125°)=35°
4.点N 垂线段最短
5.解:∠ABO=∠ABC-∠1=90°-60°=30°,
∠BOD=180°-90°-∠2=90°-∠1=90°-60°=30°.
6.m⊥n
7.90°
8.75° 165°
达标检测
解:OE⊥OF,理由如下:
∵∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOC+∠BOC= (∠AOC+∠BOC)= ×180°=90°,
∴OE⊥OF.
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5.1 相交线
第五章 相交线与平行线
5.1.2 垂 线
日常生活中，如下图中的两条直线的关系很常见，你能再举出其他例子吗？
导入新课
情境引入
活动：在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当b的位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
讲授新课
垂线的概念
一
问题 如图,当∠AOC＝90°时，∠BOD、∠AOD、∠BOC等于多少度？为什么？
A
B
C
D
O
由对顶角和邻补角的性质，知当∠AOC＝90°时，∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°.
1.垂线的定义：当两条直线AB和CD所成的四个角中，如果有一个角是直角，其他三个角也都为直角，此时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线.
2.垂直用符号 “⊥”来表示，读作“垂直于”.
如“直线AB垂直于直线CD”，就记作“AB⊥CD”.
O
A
B
C
D
3.交点O叫做垂足.
4.垂直是相交的特殊情况.
一、垂线的概念
A
B
C
D
O
符号语言：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为点O.
①判定：∵∠AOD=90°,（已知）
∴AB⊥CD.（垂直的定义）
符号语言：
反之，若直线AB与CD垂直,垂足为点O，那么∠AOD=90°.
②性质：∵ AB⊥CD ,（已知）
∴ ∠AOD=90° .（垂直的定义）
(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
二、垂线的符号语言
例1(1)如图1，若直线m，n相交于点O,∠1＝90°,
则 ；
(2)若直线AB，CD相交于点O，且AB⊥CD，那么
∠BOD =______；
(3)如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比
为1∶5，那么∠COA＝____,∠BOC的补角为 .
O
m
n
1
B
C
A
O
m⊥n
90°
72°
162°
典例精析
图1
图2
问题:
(1)画已知直线l的垂线能画几条
(2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能
画几条
(3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能
画几条
垂线的画法及基本事实
二
A
.B
l
.
问题：这样画l的垂线可以画几条？
1.放
2.靠
3.画
l
O
如图，已知直线 l,作l的垂线.
A
无数条
l
A
B
1.放
2.靠
3.移
4.画
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.
问题：这样画l的垂线可以画几条？
一条
l
A
B
1.放
2.靠
3.移
4.画
如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
根据以上操作，你能得出什么结论
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
（1）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可
以在已知直线外；
（2）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指
唯一性.
注意：
总结归纳
C
D
E
l
垂线段及点到直线的距离
三
1.线段AB, AC, AD , AE谁最短？
2.你能用一句话表示这个结论吗？
说一说：
如图，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段.
B
A
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短.简单说成：垂线段最短
线段AD的长度叫做点A到直线l的距离.
总结归纳
特别规定：
D
l
A
例2 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
m
垂线段最短
典例精析
1.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判
定两条直线垂直的是( )
A. 有两个角相等 B.有两对角相等
C. 有三个角相等 D.有四对邻补角
C
2.如图, AB⊥CD, ∠ACB=90° ,线段AC，BC，CD中最短的是 ( )
A. AC B. BC
C. CD D. 不能确定
D
A
B
C
C
当堂练习
3.过点P 向线段AB 所在直线引垂线，正确的是（ ）
A B C D
C
5.如图，已知直线AB，CD都经过O
点，OE为射线，若∠1＝35°,∠2＝
55°，则OE与AB的位置关系 是 .
垂直
D
C
A
B
O
E
1
2
4.下列说法正确的是（ ）
A.线段AB叫做点B到直线AC的距离
B.线段AB的长度叫做点A到直线AC的距离
C.线段BD的长度叫做点D到直线BC的距离
D.线段BD的长度叫做点B到直线AC的距离
A
B
C
D
D
6.如图,AB⊥CD,垂足为点O,EF为过点O的一条直线,则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ）
A.相等 B.互余
C.互补 D.互为对顶角
A
B
C
D
E
F
O
1
2
D
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
1.垂线的定义
2.垂线的画法
3.垂线的性质
(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
一、放；二、靠；三、移 ；四、画.
4.点到直线的距离
(2)垂线段最短
课堂小结
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