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5.3 平行线的性质
第五章 相交线与平行线
5.3.1 平行线的性质
第1课时 平行线的性质
两直线平行
1.同位角相等
2.内错角相等
3.同旁内角互补
问题 平行线的判定方法是什么？
思考 反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢
导入新课
回顾与思考
画两条平行线a//b，然后画一条截线c与a、b相交，标出如图的角. 度量所形成的8个角的度数，把结果填入下表：
角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4
度数
角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8
度数
讲授新课
平行线的性质
b
1
2
a
c
5
6
7
8
3
4
一、平行线的基本性质1
观察 ∠1~ ∠8中，哪些是同位角？它们的度数
之间有什么关系？说出你的猜想：
猜想 两条平行线被第三条直线所截，同位角＿＿＿.
相等
b
1
2
a
c
5
6
7
8
3
4
a
b
d
再任意画一条截线d，同样度量并计算各个角的度数，你的猜想还成立吗？
如果两直线不平行，上述结论还成立吗？
一般地，平行线具有如下性质：
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
b
1
2
a
c
∴∠1=∠2
（两直线平行，同位角相等）
∵a∥b（已知）
应用格式:
总结归纳
思考：在上一节中，我们利用“同位角相等，两直线平行线”推出了“内错角相等，两直线平行线”，类似的，已知两直线平行，同位角相等， 那么能否得到内错角之间的数量关系？
二、平行线的基本性质2
如图，已知a//b,那么 2与 3相等吗？为什么
解 ∵ a∥b(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等).
又∵ ∠1=∠3(对顶角相等),
∴ ∠2=∠3(等量代换).
b
1
2
a
c
3
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
b
1
2
a
c
3
∴∠2=∠3
（两直线平行，内错角相等）
∵a∥b（已知）
应用格式:
总结归纳
如图,已知a//b,那么 2与 4有什么关系呢？为什么
b
1
2
a
c
4
解: ∵a//b （已知）,
∴ 1= 2
（两直线平行，同位角相等）.
∵ 1+ 4=180° （邻补角定义）,
∴ 2+ 4=180° （等量代换）.
思考：类似的，已知两直线平行，能否可以得到同旁内角之间的数量关系？
三、平行线的基本性质3
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
b
1
2
a
c
4
∴∠2+∠4=180 °
（两直线平行，内错角相等）
∵a∥b（已知）
应用格式:
总结归纳
例 如图，是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，
∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度？
A
B
C
D
解：因为梯形上、下底互相平行，所以
∠A与∠D互补， ∠B与∠C互补.
所以梯形的另外两个角分别是80° 、 65°.
于是∠D=180 °-∠A=180°-100°=80°，
∠C= 180 °-∠B=180°-115°=65°
典例精析
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
平行线的判定
平行线的性质
线的关系
角的关系
性质
角的关系
线的关系
判定
讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是什么？它与判定有什么区别？（分组讨论）
四、平行线的判定与性质
1.如图，已知平行线AB，CD被直线AE所截
(1)从 ∠1=110o可以知道∠2 是多少度,为什么？
(2)从∠1=110o可以知道 ∠3是多少度,为什么？
(3)从 ∠1=110o可以知道∠4 是多少度,为什么？
2
3
E
1
4
A
B
D
C
解：(1)∠2=110o
∵两直线行，内错角相等；
（2）∠3=110o
∵两直线平行, 同位角相等；
（3）∠4=70o
∵两直线平行,同旁内角互补.
当堂练习
2.如图，一条公路两次拐弯前后两条路互相平行.第
一次拐的∠B是142o，第二次拐的∠C是多少度？
为什么？
解：∠C=142o
∵两直线平行,内错角相等.
B
C
3.如图直线 a ∥ b,直线b垂直于直线c，则直线a垂直
于直线c吗
a
b
c
解： a⊥c .
∵两直线平行, 同位角相等
4.如果有两条直线被第三条直线所截，那么必定有（ ）
A.内错角相等 B.同位角相等
C.同旁内角互补 D.以上都不对
D
解: ∠A =∠D.理由：
∵ AB∥DE( )
∴∠A=_______ ( )
∵AC∥DF( )
∴∠D=______ ( )
∴∠A=∠D ( )
5.如图1,若AB∥DE , AC∥DF，请说出∠A和∠D之
间的数量关系，并说明理由.
P
F
C
E
B
A
D
图１
已知
∠CPE
两直线平行,同位角相等
已知
∠CPE
两直线平行,同位角相等
等量代换
解: ∠A+∠D=180o. 理由：
∵ AB∥DE( )
∴∠A= ______ ( )
∵AC∥DF( )
∴∠D+ _______=180o ( )
∴∠A+∠D=180o（ ）
如图2,若AB∥DE , AC∥DF，请说出∠A和∠D之间的数量关系，并说明理由.
图2
F
C
E
B
A
D
P
已知
∠CPD
两直线平行,同位角相等
已知
∠CPD
两直线平行,同旁内角互补
等量代换
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
判定
性质
已知
得到
得到
已知
课堂小结
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5.3 平行线的性质
5.3.1 平行线的性质
第1课时 平行线的性质
学习目标
1.掌握平行线的三个性质.
2.会用平行线的性质进行有关的简单推理和计算.
3.通过对比,理解平行线的性质和判定的区别.
自主探索
一、设计问题,创设情境
已知直线AB及其外一点P,过点P画出AB的平行线.
问题1:平行线的判定方法有哪三种 它们是先知道什么、后知道什么
问题2:根据同位角相等可以判定两直线平行,反过来,如果两直线平行,同位角之间有什么关系呢 内错角、同旁内角之间又有什么关系呢
二、动手实践,探索规律
动手画一画:
(1)用直尺和三角尺画出两条平行线a,b,再画一条截线c,使之与直线a,b相交,并标出所形成的八角.
(2)测量上面八个角的大小,记录下来.从中你能发现什么
探究性质2:
如图所示,已知a∥b,那么∠3与∠2有什么关系
探究性质3:
如图所示,已知a∥b,那么∠2与∠3有什么关系呢
归纳:平行线的三条性质
问:如果两条直线不平行,也被第三条直线所截,同位角、内错角还相等吗 同样,同旁内角还互补吗
三、跟踪练习,巩固新知
1.如图所示,AB∥CD,∠1=45°,∠D=∠C,依次求出∠D,∠C,∠B的度数.
2.在下图所示的3个图中,a∥b,分别计算∠1的度数.
(1) (2) (3)
四、变式训练,巩固提高
【例题】 小青不小心把家里的梯形玻璃块打碎了,还剩下梯形上底的一部分(如图).要订造一块新的玻璃,已经量得∠A=115°,∠D=100°,你想一想,梯形另外两个角各是多少度
[巩固提高]
1.如图所示,已知∠1=∠2;试说明:∠BCD+∠D=180°.
2.如图所示,AB∥CD,∠1=140°,求∠2,∠3,∠4.
3.如图所示,已知∠ADE=60°,∠B=60°,∠AED=40°.
(1)试说明DE∥BC;
(2)求∠C的度数.
达标检测
1.如图所示,直线a∥b,∠1=54°,那么∠2,∠3,∠4各是多少度
2.如图所示,BD是一条直线,∠A=75°,∠1=53°,∠2=75°,求∠B的度数.
3.如图所示,点D,E,F分别在△ABC的边AB,AC,BC上,且BE∥BC,∠B=48°.
(1)求∠ADE的度数;
(2)如果∠DEF=48°,那么EF与AB平行吗
参考答案
自主探索
一、设计问题,创设情境
问题1:同位角相等、内错角相等、同旁内角互补,两直线平行;先知道角的关系,后知道两直线平行.
问题2:猜测:可以得到同位角相等、内错角相等、同旁内角互补.
二、动手实践,探索规律
答案略,学生会得到角的度数,其中同位角相等.
探究性质2:
通过两直线平行同位角相等,得到∠1=∠2,再根据对顶角的知识得到∠1=∠3,从而得到∠3=∠2;
探究性质3:
通过两直线平行同位角相等,得到∠1=∠2,再根据邻补角的知识得到∠1+∠3=180°,从而得到∠3+∠2=180°;
平行线的三条性质:两直线平行
如果两直线不平行,也被第三条直线所截,同位角、内错角不相等,同旁内角不互补.
三、跟踪练习,巩固新知
1.∠D=45°,∠C=45°,∠B=135°,2.(1)90°;(2)144°;(3)120°.
四、变式训练,巩固提高
【例题】 ∠B=65°,∠C=80°
巩固提高:
1.解:∵∠1=∠2,
∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行),
∴∠BCD+∠D=180°(两直线平行,同旁内角互补).
2.解:∵AB∥CD,
∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等),
∠1=∠3(两直线平行,同位角相等),
∠1+∠4=180°(两直线平行,同旁内角互补),
又∵∠1=140°,
∴∠2=140°,∠3=140°,∠4=40°.
3.解:(1)∵∠ADE=60°,∠B=60°.
∴∠ADE=∠B.
∴DE∥BC.
(2)∵DE∥BC(已证),
∴∠AED=∠C(两直线平行,同位角相等),
又∵∠AED=40°,
∴∠C=40°(等量代换).
达标检测
1.∠2=54°,∠3=126°,∠4=54°
2.∠B=53°
3.(1)∠ADE=48°;(2)EF与AB平行.
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