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5.3 平行线的性质
5.3．2 命题、定理、证明
学习目标
1.对命题、真命题、假命题等概念有所理解.
2.理解几何命题的组成,能够区分命题的题设和结论两部分,并能将命题改写成“如果……,那么……”的形式.
3.会判断一些命题的真假.
4.通过学习讨论与教师的讲解,明确命题及其含义,正确区分真假命题.
自主探索
一、设计问题,创设情境
1.让学生随意说一句完整的话,每个小组可以派一名同学说.
2.找出哪些是判断某一件事情的句子
二、学生探究,明确概念
(一)命题的概念
下列语句在表述形式上,哪些是对事情作了判断 哪些没有对事情作出判断
1.对顶角相等; 2.画一个角等于已知角; 3.两直线平行,同位角相等;
4.a,b两条直线平行吗 5.温柔的李明明; 6.玫瑰花是动物;
7.若a2=4,求a的值; 8.若a2=b2,则a=b.
(二)命题的组成:
指出下列各命题的题设和结论,并改写成“如果……,那么……”的形式.
1.对顶角相等;
2.内错角相等;
3.两平线被第三直线所截,同位角相等;
4.3<2;
5.平行于同一直线的两直线平行;
6.直角三角形的两个锐角互余;
7.等角的补角相等;
8.正数与负数的和为0.
(三)命题的分类
下列句子哪些是命题 是命题的,指出是真命题还是假命题.
1.猪有四只脚;2.内错角相等;
3.画一条直线;4.四边形是正方形;
5.你的作业做完了吗 6.同位角相等,两直线平行;
7.对顶角相等;8.垂直于同一直线的两直线平行;
9.过点P画线段MN的垂线;10.x>2.
(四)公理与定理
公理举例:
1.直线公理:
2.线段公理:
3.平行公理:
定理举例:
1.补角的性质:
2.余角的性质:
3.对顶角的性质:
4.垂线的性质:
5.平行公理的推论:
6.平行线的判定定理:
7.平行线的性质定理:
达标检测
(1)指出下列语句中的命题.
①学习几何不难.②奇数不能被2整除.③能被5整除的数,末位一定是0.
(2)找出下列各句中的真命题.
①90°的角一定是直角.②凡是相等的角都是直角.
(3)将下列命题写成“如果……,那么……”的形式.
①偶数都能被2整除.
②两个单项式的和是多项
参考答案
自主探索
一、设计问题,创设情境
(1)我是中国人.是
(2)我家住在北京.是
(3)你吃饭了吗 不是
(4)两条直线平行,内错角相等.是
(5)画一个45°的角.不是
(6)平角与周角一定不相等.是
二、学生探究,明确概念
(一)命题的概念
1.是;2.不是;3.是;4.不是;5.不是;6.是;7.不是;8.是.
(二)命题的组成:
1.如果两个角是对顶角,那么这两个角相等;
2.如果两个角是内错角,那么这两个角相等;
3.如果两条平行线被第三直线所截,那么得到的同位角相等;
4.如果两个数是3和2,那么3<2;
5.如果两条直线平行于同一条直线,那么这两条直线也互相平行;
6.如果有一个直角三角形,那么它的两个锐角互余;
7.如果两个角相等,那么它们的补角也相等;
8.如果有两个数一个是正数一个是负数,那么这两个数的和为0.
(三)命题的分类
1.真命题;2.假命题;3.不是命题;4.假命题;5.不是命题;6.真命题;7.真命题;8.假命题;9.不是命题;10.不是命题.
达标检测
(1)①②③都是命题
(2)①是真命题
(3)①如果一个数是偶数,那么这个数能被2整除.②如果两个单项式相加,那么它们的和是多项式.
5.4 平移
自主探索
位置改变,大小形状不变,平移变化.
自主练习
1.可以把一张半透明的纸盖在图5.42上,先描出一个雪人,然后按同一方向陆续移动这张纸,再描出第二个、第三个.
2.A运动到A',B运动到B',C运动到C',它们之间是对应点.
3.可以发现:AA'∥BB'∥CC',并且AA'=BB'=CC'.
4.(1)③ (2)③ (3)⑤
变式训练
1.
2.
3.点A,B,E的对应点分别为点C,D,F,因为经过平移,对应点所连的线段平行且相等,所以AC∥BD∥EF,且AC=BD=EF.由于平移不改变图形的形状和大小,所以△ABE≌△CDF.
达标检测
1.AB∥EF,AC∥EG,AE∥BG,且AB=EF,AC=EG,AE=BF,AE=CG.
2.65°
3.⑤
4.共有5个
5.能由△AOB平移而得的图形是:△FOE,△ODC
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第五章 相交线与平行线
5.3 平行线的性质
5.3.2 命题、定理、证明
下列语句在表述形式上，有什么共同特点？
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这
两条直线也互相平行；
（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（3）对顶角相等；
（4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式．
你的发现：这些语句都是对一件事情作出了判断.
导入新课
观察与思考
2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么
它就不是命题.
如：画线段AB=CD.
1.只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题.
如：相等的角是对顶角.
注意：
像这样判断一件事情的语句，叫作命题（proposition）.
讲授新课
命题的定义与结构
一
一、命题的概念
例1 判断下列四个语句中，哪个是命题， 哪个不是命题？并说明理由：
（1）对顶角相等吗？
（2）画一条线段AB=2cm;
（3）两条直线平行，同位角相等；
（4）相等的两个角，一定是对顶角.
典例精析
解：（3）（4）是命题，（1）（2）不是命题.
理由如下：（1）是问句，故不是命题；（2）是做一件事情，也不是命题.
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特
征？与同伴交流.
（1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形的周长相等；
（2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；
（3）如果一个数的平方等于9，那么这个数是3.
都是“如果……那么……”的形式
二、命题的结构
命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式.
1.“如果”后接的部分是题设,
2.“那么”后接的部分是结论.
如命题：熊猫没有翅膀.改写为：
如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀.
注意：添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套.
命题
题设
结论
已知事项
由已知事项推出的事项
两直线平行， 同位角相等
题设（条件）
结论
命题的组成：
总结归纳
把下列命题改写成“如果……那么……”的形式.并指出它的题设和结论.
1.对顶角相等；
2.内错角相等；
3.两直线被第三条直线所截，同位角相等；
4.同平行于一直线的两直线平行；
5.等角的补角相等.
练一练
特别规定：
正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.
命题1：“如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除”
真命题与假命题
二
观察下列命题,你能发现这些命题有什么不同的特点吗？
命题1是一个正确的命题;命题2是一个错误的命题.
命题2：“如果两个角互补，那么它们是邻补角”
（1）同旁内角互补（ ）
（4）两点可以确定一条直线（ ）
（7）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直（ ）
（2）一个角的补角大于这个角（ ）
判断下列命题的真假.真的用“√”，假的用“× 表示.
（5）两点之间线段最短（ ）
（3）相等的两个角是对顶角（ ）
×
√
（6）同角的余角相等（ ）
×
√
√
√
×
练一练
1.数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出
来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，
这样的真命题叫做公理.
证明与举反例
三
两点确定一条直线.
两点间线段最短.
经过直线外的一点有且仅有一条直线与已知直线平行.
两直线平行，同位角相等.
同位角相等，两直线平行.
直线公理：
线段公理：
平行线公理：
平行线性质公理：
平行线判定公理：
三、公理的概念
2.有些命题是基本事实，还有些命题它们的正确性是经
过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.定理也
可以作为继续推理的依据.
同角或等角的补角相等.
2.余角的性质：
同角或等角的余角相等.
4.垂线的性质：
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
1.补角的性质：
3.对顶角的性质：
对顶角相等.
②垂线段最短.
学过的定理：
四、定理的概念
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.
注意：
证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.
五、证明的概念
例2 已知：b∥c， a⊥b ．
求证：a⊥c．
证明： ∵ a ⊥b（已知）
∴ ∠1=90°（垂直的定义）
又 b ∥ c（已知）
∴ ∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）
∴ a ⊥ c（垂直的定义）.
a
b
c
1
2
典例精析
确定一个命题是假命题的方法：
例如，要判定命题“相等的角是对顶角”是假命题 ，可以举出如下反例：
如图，OC是∠AOB的平分线， ∠1=∠2，但它们不是对顶角.
）
）
1
2
A
O
C
B
只要举出一个例子（反例）：它符合命题的题设，但不满足结论即可.
思考：如何判定一个命题是假命题呢？
六、举反例
当堂练习
1.下列语句中，不是命题的是( )
A.两点之间线段最短
B.对顶角相等
C.不是对顶角不相等
D.过直线AB外一点P作直线AB的垂线
D
2.下列命题中，是真命题的是( )
A.若a·b＞0，则a＞0，b＞0
B.若a·b＜0，则a＜0，b＜0
C. 若a·b＝0，则a＝0且b＝0
D.若a·b＝0，则a＝0或b＝0
D
3.举反例说明下列命题是假命题．
(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
(2)若ab＝0，则a＋b＝0.
解：(1)两条直线平行形成的内错角，这两个角不
是对顶角，但是它们相等；
(2)当a＝5，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0.
证明：∵AB∥CD(已知)，
∴∠BPQ＝∠CQP(两直线平行,内错角相等)．
又∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP(已知)，
∴∠GPQ＝ ∠BPQ,∠HQP＝ ∠CQP(角平
分线的定义)，
∴∠GPQ＝∠HQP(等量代换)，
∴PG∥HQ(内错角相等，两直线平行)．
4.如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直线MN所截，
交点分别为P，Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，
求证：PG∥HQ.
A
B
C
D
M
N
P
Q
H
G
真命题
假命题
公理
定理
（只需举一个反例）
（不需证明）
（由推理证实）
1.命题的定义:
2.命题的组成:
3.命题的分类：
判断一件事情的句子
题设和结论
课堂小结
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