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16.2 二次根式的乘除
第十六章 二次根式
第1课时 二次根式的乘法
下面是意大利艺术家列奥纳多·达·芬奇所创作世界名画，请根据不同的已知条件，分别表示出它的面积.
(1)当长为2m，宽为3n,则面积S= ;
(2)当长为 , 宽为 时，则S= ;
6mn
你知道这是什么运算？又如何进行计算呢？
课堂导入
二次根式的乘法
一
1.计算下列各式:
6
6
20
20
30
30
观察计算结果,你发现什么规律？
合作交流
用你发现的规律填空：
猜一猜：当a≥0,b≥0时， 与 大小关系？
=
=
合作交流
证一证：
根据积的乘方法则，有
所以
就是ab的算术平方根.
而 也表示ab算术平方根.
即
合作交流
二次根式的乘法法则
文字叙述
算术平方根的乘积等于各个被开方数积的算术平方根.
要点提醒
a,b都必须是非负数.
合作交流
例1 计算
解:
（1）（2）属于两个二次根式的乘法，按照法则进行计算即可；（3）只需其中两个结合就可实现转化进行计算.(3）说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，即 .
归纳
例题讲解
试回顾如何计算3a2·2a3= .
还记得单项式乘以单项式的法则吗？
想一想： 如何计算呢？
6a5
解：
形如 的乘法
二
归纳总结
二次根式的乘法扩充法则
第一步：根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数；
使用说明
第二步：根式和根式按公式相乘.
利用它可以进行二次根式的化简.
合作交流
积的算术平方根的性质及应用
三
反过来：
（a≥0，b≥0）
（a≥0，b≥0）
一般的：
在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数．
这个性质在有的地方称之为“积的算术平方根的性质”
合作交流
例2 化简:
解：
议一议：在化简 时，小明是这样进行的：
解：
假如你是他的数学老师，你认为他做对了吗？为什么？如果不对，请改正过来！
答：不对.被开方数的两个因数是负数，不能直接套用积的算术平方根的性质.
正确解法：
例题讲解
要点提醒
在使用上述积的算术平方根的性质进行计算时，一定要注意前提条件即被开方数的每个因数都必须为非负数.对于不能直接用的，一定要先进行适当转化.
例3 化简:
解：
化简二次根式就是要把被开方数中平方数(或平方式）从根号里开出来.其步骤如下：第一步：被开方数尽可能分解成几个平方数；第二步：应用 ；第三步：将平方项应用 化简.
归纳
例题讲解
例4 A.抢答：
B.陷阱题：
C.综合题：
当被开方数是多项式时，先要因式分解化为积的形式.
归纳
例题讲解
1.下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.填空：
D
2
练习巩固
5. 如图，在△ABC中，∠C=90°,AC=10cm, BC=24cm,求AB.
A
B
C
解：
∵AB2=AC2+BC2,
3. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）.
＞
＜
4. 若 成立，则x的取值范围是 .
练习巩固
二次根式乘法
法则
性质
拓展法则：
课堂小结
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2二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法
学习目标
1、理解·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简.
2、通过学习和掌握知识目标的整个过程，培养学生对数学化简题目的敏锐度，同时培养学生的计算能力.
重点：掌握二次根式乘法法则和积的算术平方根的性质.
难点：会用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简.
学习过程
1．填空：
（1）×=____，=____； ×__
（2）×=____，=___； ×__
（3）×=___，=___． ×__
2、学生交流活动总结规律．
一般地，对二次根式的乘法规定为：
·＝．（a≥0，b≥0 反过来: =·（a≥0，b≥0）
例1、计算
（1）× （2）× （3）3×2 （4）·
例2、化简
（1） （3） （4） （5）
3、巩固练习
（1）计算：
① × ②5×2 ③·
（2）化简:
; ; ; ;
4、判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1）
（2）×
=4××
=4×
=4
=8
请大家讨论：对于×的运算中不必把它变成后再进行计算，你有什么好办法？
注：
1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数.
2、化简二次根式达到的要求：
（1）被开方数进行因数或因式分解.
（2）分解后把能开尽方的开出来.
5、小结
（1）通过本节课的学习，你的收获是？
（2）通过本节课的学习，你认为需要提醒同伴注意些什么？
（3）你还有问题要请教同学或老师吗？
6、达标测试
1.下列计算正确的是（ ）
A.==
B.==(-3)×(-2)=6
C.=
D.==2|a|
2.如果=，则实数a的取值范围是（ ）
A.a≥0 B.0≤a≤2 C.-2≤a≤0 D.a≤-2
3.把a根号外的因式移入根号内的结果是（ ）
A. B. C. D.
4．化简：=__________;
5.﹒=____________.
6.设=a，=b，请用含有a、b的式子表示=_______．
7.若y=-+x2,则的结果是______.
8.定义运算“@”的运算法则为：x@y=，则（2@6）@8=_____．
9.计算：
（1）××； （2）××.
10.某公路规定行驶汽车的速度每小时不得超过70千米，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v=16，其中v表示车速（单位：千米/小时），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示磨擦因数．经测量，d=20米，f=1.25，请你帮助判断一下，肇事汽车当时的速度是否超出了规定的速度？
11.小明在微机课上设计了一幅矩形图片，矩形的周长是cm，宽是cm，他又想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助小明求出圆的半径.
参考答案
1.D 解析：===2|a|.
2.C 解析：由题意得：=，则可得出a≤0，而a+2≥0，解得：-2≤a≤0，故选C．
3.B 解析：因为a＜0，所以a=－=.
4.ab 解析：（1）==3ab；
5. 解析：﹒=﹒=.
6.3ab 解析：因为=3××，=a，=b，所以=3ab．
7. 解析：根据题意，得x-3≥0，3-x≥0，则x=3．所以y=9．所以==．
8.6 解析：因为x@y=，所以（2@6）@8=@8=4@8==6．
9.（1）原式=××=；（2）原始==.
10.解：v=16=16×=16×5=80＞70．答：肇事汽车当时的速度超出了规定的速度．
11.解：设圆的半径为rcm，根据题意，得r2=×==
=2×5×7×=70，所以r2=70，因为r＞0，所以r=（cm）.所以要设计的圆的半径是cm.
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